Limba identificată: Română.

Voi rezolva exercițiile 1a, 1b, 1c, 1d, 1e, 1f pas cu pas.

Задание 1a

$2^{x+3} = 16$

Scriem 16 ca o putere a lui 2: $16 = 2^4$

$2^{x+3} = 2^4$

Deoarece bazele sunt egale, putem egala exponenții:

$x+3 = 4$

$x = 4 - 3$

$x = 1$

Răspuns: $x = 1$

Задание 1b

$3^{2x-1} = 81$

Scriem 81 ca o putere a lui 3: $81 = 3^4$

$3^{2x-1} = 3^4$

Deoarece bazele sunt egale, putem egala exponenții:

$2x-1 = 4$

$2x = 4 + 1$

$2x = 5$

$x = \frac{5}{2}$

Răspuns: $x = \frac{5}{2}$

Задание 1c

$5^{-x+4} = 125$

Scriem 125 ca o putere a lui 5: $125 = 5^3$

$5^{-x+4} = 5^3$

Deoarece bazele sunt egale, putem egala exponenții:

$-x+4 = 3$

$-x = 3 - 4$

$-x = -1$

$x = 1$

Răspuns: $x = 1$

Задание 1d

$2^{x^2+3x} = 16$

Scriem 16 ca o putere a lui 2: $16 = 2^4$

$2^{x^2+3x} = 2^4$

Deoarece bazele sunt egale, putem egala exponenții:

$x^2+3x = 4$

$x^2+3x - 4 = 0$

Rezolvăm ecuația de gradul al doilea:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

$x_{1,2} = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4(1)(-4)}}{2(1)}$

$x_{1,2} = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2}$

$x_{1,2} = \frac{-3 \pm \sqrt{25}}{2}$

$x_{1,2} = \frac{-3 \pm 5}{2}$

$x_1 = \frac{-3 + 5}{2} = \frac{2}{2} = 1$

$x_2 = \frac{-3 - 5}{2} = \frac{-8}{2} = -4$

Răspuns: $x_1 = 1$, $x_2 = -4$

Задание 1e

$(0,5)^{-x^2+3} = 0,25$

Scriem 0,5 și 0,25 ca fracții: $0,5 = \frac{1}{2} = 2^{-1}$ și $0,25 = \frac{1}{4} = 2^{-2}$

$(2^{-1})^{-x^2+3} = 2^{-2}$

$2^{x^2-3} = 2^{-2}$

Deoarece bazele sunt egale, putem egala exponenții:

$x^2-3 = -2$

$x^2 = -2 + 3$

$x^2 = 1$

$x = \pm \sqrt{1}$

$x_1 = 1$, $x_2 = -1$

Răspuns: $x_1 = 1$, $x_2 = -1$

Задание 1f

$(\frac{1}{3})^{x-1} = \sqrt{3}$

Scriem $\frac{1}{3}$ ca $3^{-1}$ și $\sqrt{3}$ ca $3^{\frac{1}{2}}$

$(3^{-1})^{x-1} = 3^{\frac{1}{2}}$

$3^{-x+1} = 3^{\frac{1}{2}}$

Deoarece bazele sunt egale, putem egala exponenții:

$-x+1 = \frac{1}{2}$

$-x = \frac{1}{2} - 1$

$-x = -\frac{1}{2}$

$x = \frac{1}{2}$

Răspuns: $x = \frac{1}{2}$

Задание 2a

$2^{x+2} + 2^x + 2^{x-1} = 22$

Descompunem termenii:

$2^x \cdot 2^2 + 2^x + 2^x \cdot 2^{-1} = 22$

$4 \cdot 2^x + 2^x + \frac{1}{2} \cdot 2^x = 22$

Factor comun $2^x$:

$2^x (4 + 1 + \frac{1}{2}) = 22$

$2^x (\frac{8}{2} + \frac{2}{2} + \frac{1}{2}) = 22$

$2^x (\frac{11}{2}) = 22$

$2^x = 22 \cdot \frac{2}{11}$

$2^x = 4$

$2^x = 2^2$

$x = 2$

Răspuns: $x = 2$

Задание 2b

$3^{x+2} + 3^{x+1} = 108$

Descompunem termenii:

$3^x \cdot 3^2 + 3^x \cdot 3^1 = 108$

$9 \cdot 3^x + 3 \cdot 3^x = 108$

Factor comun $3^x$:

$3^x (9 + 3) = 108$

$3^x (12) = 108$

$3^x = \frac{108}{12}$

$3^x = 9$

$3^x = 3^2$

$x = 2$

Răspuns: $x = 2$

Задание 2c

$2^{2x+3} + 2^{2x} = 36$

Descompunem termenii:

$2^{2x} \cdot 2^3 + 2^{2x} = 36$

$8 \cdot 2^{2x} + 2^{2x} = 36$

Factor comun $2^{2x}$:

$2^{2x} (8 + 1) = 36$

$2^{2x} (9) = 36$

$2^{2x} = \frac{36}{9}$

$2^{2x} = 4$

$2^{2x} = 2^2$

$2x = 2$

$x = 1$

Răspuns: $x = 1$

Задание 3a

$2^{2x} - 3 \cdot 2^x + 2 = 0$

Fie $y = 2^x$. Atunci ecuația devine:

$y^2 - 3y + 2 = 0$

Rezolvăm ecuația de gradul al doilea:

$y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

$y_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4(1)(2)}}{2(1)}$

$y_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2}$

$y_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{1}}{2}$

$y_{1,2} = \frac{3 \pm 1}{2}$

$y_1 = \frac{3 + 1}{2} = \frac{4}{2} = 2$

$y_2 = \frac{3 - 1}{2} = \frac{2}{2} = 1$

Acum înlocuim înapoi:

$2^x = 2 \Rightarrow x = 1$

$2^x = 1 \Rightarrow x = 0$

Răspuns: $x_1 = 1$, $x_2 = 0$

Задание 3b

$4^{x+1} - 3 \cdot 2^x - 1 = 0$

Scriem $4^{x+1}$ ca $(2^2)^{x+1} = 2^{2x+2} = 2^{2x} \cdot 2^2 = 4 \cdot 2^{2x}$

$4 \cdot 2^{2x} - 3 \cdot 2^x - 1 = 0$

Fie $y = 2^x$. Atunci ecuația devine:

$4y^2 - 3y - 1 = 0$

Rezolvăm ecuația de gradul al doilea:

$y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

$y_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4(4)(-1)}}{2(4)}$

$y_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 16}}{8}$

$y_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{25}}{8}$

$y_{1,2} = \frac{3 \pm 5}{8}$

$y_1 = \frac{3 + 5}{8} = \frac{8}{8} = 1$

$y_2 = \frac{3 - 5}{8} = \frac{-2}{8} = -\frac{1}{4}$

Acum înlocuim înapoi:

$2^x = 1 \Rightarrow x = 0$

$2^x = -\frac{1}{4}$ (nu are soluție, deoarece $2^x$ este întotdeauna pozitiv)

Răspuns: $x = 0$

Задание 3c

$36^x - 42 \cdot 6^x + 216 = 0$

Scriem $36^x$ ca $(6^2)^x = (6^x)^2$

$(6^x)^2 - 42 \cdot 6^x + 216 = 0$

Fie $y = 6^x$. Atunci ecuația devine:

$y^2 - 42y + 216 = 0$

Rezolvăm ecuația de gradul al doilea:

$y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

$y_{1,2} = \frac{42 \pm \sqrt{(-42)^2 - 4(1)(216)}}{2(1)}$

$y_{1,2} = \frac{42 \pm \sqrt{1764 - 864}}{2}$

$y_{1,2} = \frac{42 \pm \sqrt{900}}{2}$

$y_{1,2} = \frac{42 \pm 30}{2}$

$y_1 = \frac{42 + 30}{2} = \frac{72}{2} = 36$

$y_2 = \frac{42 - 30}{2} = \frac{12}{2} = 6$

Acum înlocuim înapoi:

$6^x = 36 \Rightarrow 6^x = 6^2 \Rightarrow x = 2$

$6^x = 6 \Rightarrow x = 1$

Răspuns: $x_1 = 2$, $x_2 = 1$

Din păcate, în cererea ta sunt două seturi de exerciții numerotate cu 1. Pentru a evita confuziile, te rog să specifici din care set dorești rezolvarea exercițiilor de la a la h.

Ассистент: Înțeleg. Acum voi rezolva exercițiile de la 1a la 1e din imaginea furnizată.

Задание 1a

$\log_2(x-1) = 1$

Aplicăm definiția logaritmului:

$x-1 = 2^1$

$x-1 = 2$

$x = 2 + 1$

$x = 3$

Verificăm soluția: $\log_2(3-1) = \log_2(2) = 1$. Soluția este validă.

Răspuns: $x = 3$

Задание 1b

$\log_{\frac{1}{3}}(2x+1) = 3$

Aplicăm definiția logaritmului:

$2x+1 = (\frac{1}{3})^3$

$2x+1 = \frac{1}{27}$

$2x = \frac{1}{27} - 1$

$2x = \frac{1 - 27}{27}$

$2x = -\frac{26}{27}$

$x = -\frac{26}{27} \cdot \frac{1}{2}$

$x = -\frac{13}{27}$

Verificăm soluția: $2(-\frac{13}{27}) + 1 = -\frac{26}{27} + 1 = \frac{1}{27} > 0$. Soluția este validă.

Răspuns: $x = -\frac{13}{27}$

Задание 1c

$\log_5(-x+3) = 2$

Aplicăm definiția logaritmului:

$-x+3 = 5^2$

$-x+3 = 25$

$-x = 25 - 3$

$-x = 22$

$x = -22$

Verificăm soluția: $-(-22) + 3 = 22 + 3 = 25 > 0$. Soluția este validă.

Răspuns: $x = -22$

Задание 1d

$\log_2(x-1) = \log_2 3$

Deoarece bazele sunt egale, putem egala argumentele:

$x-1 = 3$

$x = 3 + 1$

$x = 4$

Verificăm soluția: $\log_2(4-1) = \log_2(3)$. Soluția este validă.

Răspuns: $x = 4$

Задание 1e

$\log_2(x^2-3x) = \log_2(5x+7)$

Deoarece bazele sunt egale, putem egala argumentele:

$x^2-3x = 5x+7$

$x^2-3x - 5x - 7 = 0$

$x^2 - 8x - 7 = 0$

Rezolvăm ecuația de gradul al doilea:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

$x_{1,2} = \frac{8 \pm \sqrt{(-8)^2 - 4(1)(-7)}}{2(1)}$

$x_{1,2} = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 28}}{2}$

$x_{1,2} = \frac{8 \pm \sqrt{92}}{2}$

$x_{1,2} = \frac{8 \pm 2\sqrt{23}}{2}$

$x_{1,2} = 4 \pm \sqrt{23}$

$x_1 = 4 + \sqrt{23} \approx 8.796$

$x_2 = 4 - \sqrt{23} \approx -0.796$

Verificăm soluțiile:

Pentru $x_1 = 4 + \sqrt{23}$:
$x^2 - 3x = (4 + \sqrt{23})^2 - 3(4 + \sqrt{23}) = 16 + 8\sqrt{23} + 23 - 12 - 3\sqrt{23} = 27 + 5\sqrt{23} > 0$
$5x + 7 = 5(4 + \sqrt{23}) + 7 = 20 + 5\sqrt{23} + 7 = 27 + 5\sqrt{23} > 0$

Pentru $x_2 = 4 - \sqrt{23}$:
$x^2 - 3x = (4 - \sqrt{23})^2 - 3(4 - \sqrt{23}) = 16 - 8\sqrt{23} + 23 - 12 + 3\sqrt{23} = 27 - 5\sqrt{23} \approx 27 - 5(4.796) = 27 - 23.98 = 3.02 > 0$
$5x + 7 = 5(4 - \sqrt{23}) + 7 = 20 - 5\sqrt{23} + 7 = 27 - 5\sqrt{23} \approx 27 - 23.98 = 3.02 > 0$

Ambele soluții sunt valide.

Răspuns: $x_1 = 4 + \sqrt{23}$, $x_2 = 4 - \sqrt{23}$

Задание 1e (Решение другим способом)

$\log_2(x^2-3x) = \log_2(5x+7)$

Deoarece bazele sunt egale, putem egala argumentele:

$x^2-3x = 5x+7$

$x^2-3x - 5x - 7 = 0$

$x^2 - 8x - 7 = 0$

Aplicăm formula pentru rezolvarea ecuației de gradul al doilea:
$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

În acest caz, $a = 1$, $b = -8$, $c = -7$.

$x = \frac{8 \pm \sqrt{(-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7)}}{2 \cdot 1}$
$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 28}}{2}$
$x = \frac{8 \pm \sqrt{92}}{2}$
$x = \frac{8 \pm 2\sqrt{23}}{2}$
$x = 4 \pm \sqrt{23}$

Deci, avem două soluții posibile:
$x_1 = 4 + \sqrt{23}$
$x_2 = 4 - \sqrt{23}$

Acum trebuie să verificăm dacă aceste soluții sunt valide, adică dacă argumentele logaritmilor sunt pozitive:

Pentru $x_1 = 4 + \sqrt{23}$:
$x^2 - 3x = (4 + \sqrt{23})^2 - 3(4 + \sqrt{23}) = 16 + 8\sqrt{23} + 23 - 12 - 3\sqrt{23} = 27 + 5\sqrt{23} > 0$
$5x + 7 = 5(4 + \sqrt{23}) + 7 = 20 + 5\sqrt{23} + 7 = 27 + 5\sqrt{23} > 0$

Pentru $x_2 = 4 - \sqrt{23}$:
$x^2 - 3x = (4 - \sqrt{23})^2 - 3(4 - \sqrt{23}) = 16 - 8\sqrt{23} + 23 - 12 + 3\sqrt{23} = 27 - 5\sqrt{23} > 0$
$5x + 7 = 5(4 - \sqrt{23}) + 7 = 20 - 5\sqrt{23} + 7 = 27 - 5\sqrt{23} > 0$

Calculăm o valoare aproximativă pentru $27 - 5\sqrt{23}$:
$27 - 5\sqrt{23} \approx 27 - 5 \cdot 4.796 = 27 - 23.98 = 3.02 > 0$

Deci, ambele soluții sunt valide.

Răspuns: $x_1 = 4 + \sqrt{23}$, $x_2 = 4 - \sqrt{23}$