Rezolvare ecuații exponențiale pas cu pas
Limba identificată: Română.
Voi rezolva exercițiile 1a, 1b, 1c, 1d, 1e, 1f pas cu pas.
Задание 1a
\(2^{x+3} = 16\)
Scriem 16 ca o putere a lui 2: \(16 = 2^4\)
\(2^{x+3} = 2^4\)
Deoarece bazele sunt egale, putem egala exponenții:
\(x+3 = 4\)
\(x = 4 - 3\)
\(x = 1\)
Răspuns: \(x = 1\)
Задание 1b
\(3^{2x-1} = 81\)
Scriem 81 ca o putere a lui 3: \(81 = 3^4\)
\(3^{2x-1} = 3^4\)
Deoarece bazele sunt egale, putem egala exponenții:
\(2x-1 = 4\)
\(2x = 4 + 1\)
\(2x = 5\)
\(x = \frac{5}{2}\)
Răspuns: \(x = \frac{5}{2}\)
Задание 1c
\(5^{-x+4} = 125\)
Scriem 125 ca o putere a lui 5: \(125 = 5^3\)
\(5^{-x+4} = 5^3\)
Deoarece bazele sunt egale, putem egala exponenții:
\(-x+4 = 3\)
\(-x = 3 - 4\)
\(-x = -1\)
\(x = 1\)
Răspuns: \(x = 1\)
Задание 1d
\(2^{x^2+3x} = 16\)
Scriem 16 ca o putere a lui 2: \(16 = 2^4\)
\(2^{x^2+3x} = 2^4\)
Deoarece bazele sunt egale, putem egala exponenții:
\(x^2+3x = 4\)
\(x^2+3x - 4 = 0\)
Rezolvăm ecuația de gradul al doilea:
\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\)
\(x_{1,2} = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4(1)(-4)}}{2(1)}\)
\(x_{1,2} = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2}\)
\(x_{1,2} = \frac{-3 \pm \sqrt{25}}{2}\)
\(x_{1,2} = \frac{-3 \pm 5}{2}\)
\(x_1 = \frac{-3 + 5}{2} = \frac{2}{2} = 1\)
\(x_2 = \frac{-3 - 5}{2} = \frac{-8}{2} = -4\)
Răspuns: \(x_1 = 1\), \(x_2 = -4\)
Задание 1e
\((0,5)^{-x^2+3} = 0,25\)
Scriem 0,5 și 0,25 ca fracții: \(0,5 = \frac{1}{2} = 2^{-1}\) și \(0,25 = \frac{1}{4} = 2^{-2}\)
\((2^{-1})^{-x^2+3} = 2^{-2}\)
\(2^{x^2-3} = 2^{-2}\)
Deoarece bazele sunt egale, putem egala exponenții:
\(x^2-3 = -2\)
\(x^2 = -2 + 3\)
\(x^2 = 1\)
\(x = \pm \sqrt{1}\)
\(x_1 = 1\), \(x_2 = -1\)
Răspuns: \(x_1 = 1\), \(x_2 = -1\)
Задание 1f
\((\frac{1}{3})^{x-1} = \sqrt{3}\)
Scriem \(\frac{1}{3}\) ca \(3^{-1}\) și \(\sqrt{3}\) ca \(3^{\frac{1}{2}}\)
\((3^{-1})^{x-1} = 3^{\frac{1}{2}}\)
\(3^{-x+1} = 3^{\frac{1}{2}}\)
Deoarece bazele sunt egale, putem egala exponenții:
\(-x+1 = \frac{1}{2}\)
\(-x = \frac{1}{2} - 1\)
\(-x = -\frac{1}{2}\)
\(x = \frac{1}{2}\)
Răspuns: \(x = \frac{1}{2}\)
Задание 2a
\(2^{x+2} + 2^x + 2^{x-1} = 22\)
Descompunem termenii:
\(2^x \cdot 2^2 + 2^x + 2^x \cdot 2^{-1} = 22\)
\(4 \cdot 2^x + 2^x + \frac{1}{2} \cdot 2^x = 22\)
Factor comun \(2^x\):
\(2^x (4 + 1 + \frac{1}{2}) = 22\)
\(2^x (\frac{8}{2} + \frac{2}{2} + \frac{1}{2}) = 22\)
\(2^x (\frac{11}{2}) = 22\)
\(2^x = 22 \cdot \frac{2}{11}\)
\(2^x = 4\)
\(2^x = 2^2\)
\(x = 2\)
Răspuns: \(x = 2\)
Задание 2b
\(3^{x+2} + 3^{x+1} = 108\)
Descompunem termenii:
\(3^x \cdot 3^2 + 3^x \cdot 3^1 = 108\)
\(9 \cdot 3^x + 3 \cdot 3^x = 108\)
Factor comun \(3^x\):
\(3^x (9 + 3) = 108\)
\(3^x (12) = 108\)
\(3^x = \frac{108}{12}\)
\(3^x = 9\)
\(3^x = 3^2\)
\(x = 2\)
Răspuns: \(x = 2\)
Задание 2c
\(2^{2x+3} + 2^{2x} = 36\)
Descompunem termenii:
\(2^{2x} \cdot 2^3 + 2^{2x} = 36\)
\(8 \cdot 2^{2x} + 2^{2x} = 36\)
Factor comun \(2^{2x}\):
\(2^{2x} (8 + 1) = 36\)
\(2^{2x} (9) = 36\)
\(2^{2x} = \frac{36}{9}\)
\(2^{2x} = 4\)
\(2^{2x} = 2^2\)
\(2x = 2\)
\(x = 1\)
Răspuns: \(x = 1\)
Задание 3a
\(2^{2x} - 3 \cdot 2^x + 2 = 0\)
Fie \(y = 2^x\). Atunci ecuația devine:
\(y^2 - 3y + 2 = 0\)
Rezolvăm ecuația de gradul al doilea:
\(y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\)
\(y_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4(1)(2)}}{2(1)}\)
\(y_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2}\)
\(y_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{1}}{2}\)
\(y_{1,2} = \frac{3 \pm 1}{2}\)
\(y_1 = \frac{3 + 1}{2} = \frac{4}{2} = 2\)
\(y_2 = \frac{3 - 1}{2} = \frac{2}{2} = 1\)
Acum înlocuim înapoi:
\(2^x = 2 \Rightarrow x = 1\)
\(2^x = 1 \Rightarrow x = 0\)
Răspuns: \(x_1 = 1\), \(x_2 = 0\)
Задание 3b
\(4^{x+1} - 3 \cdot 2^x - 1 = 0\)
Scriem \(4^{x+1}\) ca \((2^2)^{x+1} = 2^{2x+2} = 2^{2x} \cdot 2^2 = 4 \cdot 2^{2x}\)
\(4 \cdot 2^{2x} - 3 \cdot 2^x - 1 = 0\)
Fie \(y = 2^x\). Atunci ecuația devine:
\(4y^2 - 3y - 1 = 0\)
Rezolvăm ecuația de gradul al doilea:
\(y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\)
\(y_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4(4)(-1)}}{2(4)}\)
\(y_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 16}}{8}\)
\(y_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{25}}{8}\)
\(y_{1,2} = \frac{3 \pm 5}{8}\)
\(y_1 = \frac{3 + 5}{8} = \frac{8}{8} = 1\)
\(y_2 = \frac{3 - 5}{8} = \frac{-2}{8} = -\frac{1}{4}\)
Acum înlocuim înapoi:
\(2^x = 1 \Rightarrow x = 0\)
\(2^x = -\frac{1}{4}\) (nu are soluție, deoarece \(2^x\) este întotdeauna pozitiv)
Răspuns: \(x = 0\)
Задание 3c
\(36^x - 42 \cdot 6^x + 216 = 0\)
Scriem \(36^x\) ca \((6^2)^x = (6^x)^2\)
\((6^x)^2 - 42 \cdot 6^x + 216 = 0\)
Fie \(y = 6^x\). Atunci ecuația devine:
\(y^2 - 42y + 216 = 0\)
Rezolvăm ecuația de gradul al doilea:
\(y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\)
\(y_{1,2} = \frac{42 \pm \sqrt{(-42)^2 - 4(1)(216)}}{2(1)}\)
\(y_{1,2} = \frac{42 \pm \sqrt{1764 - 864}}{2}\)
\(y_{1,2} = \frac{42 \pm \sqrt{900}}{2}\)
\(y_{1,2} = \frac{42 \pm 30}{2}\)
\(y_1 = \frac{42 + 30}{2} = \frac{72}{2} = 36\)
\(y_2 = \frac{42 - 30}{2} = \frac{12}{2} = 6\)
Acum înlocuim înapoi:
\(6^x = 36 \Rightarrow 6^x = 6^2 \Rightarrow x = 2\)
\(6^x = 6 \Rightarrow x = 1\)
Răspuns: \(x_1 = 2\), \(x_2 = 1\)
Din păcate, în cererea ta sunt două seturi de exerciții numerotate cu 1. Pentru a evita confuziile, te rog să specifici din care set dorești rezolvarea exercițiilor de la a la h.
Ассистент: Înțeleg. Acum voi rezolva exercițiile de la 1a la 1e din imaginea furnizată.
Задание 1a
\(\log_2(x-1) = 1\)
Aplicăm definiția logaritmului:
\(x-1 = 2^1\)
\(x-1 = 2\)
\(x = 2 + 1\)
\(x = 3\)
Verificăm soluția: \(\log_2(3-1) = \log_2(2) = 1\). Soluția este validă.
Răspuns: \(x = 3\)
Задание 1b
\(\log_{\frac{1}{3}}(2x+1) = 3\)
Aplicăm definiția logaritmului:
\(2x+1 = (\frac{1}{3})^3\)
\(2x+1 = \frac{1}{27}\)
\(2x = \frac{1}{27} - 1\)
\(2x = \frac{1 - 27}{27}\)
\(2x = -\frac{26}{27}\)
\(x = -\frac{26}{27} \cdot \frac{1}{2}\)
\(x = -\frac{13}{27}\)
Verificăm soluția: \(2(-\frac{13}{27}) + 1 = -\frac{26}{27} + 1 = \frac{1}{27} > 0\). Soluția este validă.
Răspuns: \(x = -\frac{13}{27}\)
Задание 1c
\(\log_5(-x+3) = 2\)
Aplicăm definiția logaritmului:
\(-x+3 = 5^2\)
\(-x+3 = 25\)
\(-x = 25 - 3\)
\(-x = 22\)
\(x = -22\)
Verificăm soluția: \(-(-22) + 3 = 22 + 3 = 25 > 0\). Soluția este validă.
Răspuns: \(x = -22\)
Задание 1d
\(\log_2(x-1) = \log_2 3\)
Deoarece bazele sunt egale, putem egala argumentele:
\(x-1 = 3\)
\(x = 3 + 1\)
\(x = 4\)
Verificăm soluția: \(\log_2(4-1) = \log_2(3)\). Soluția este validă.
Răspuns: \(x = 4\)
Задание 1e
\(\log_2(x^2-3x) = \log_2(5x+7)\)
Deoarece bazele sunt egale, putem egala argumentele:
\(x^2-3x = 5x+7\)
\(x^2-3x - 5x - 7 = 0\)
\(x^2 - 8x - 7 = 0\)
Rezolvăm ecuația de gradul al doilea:
\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\)
\(x_{1,2} = \frac{8 \pm \sqrt{(-8)^2 - 4(1)(-7)}}{2(1)}\)
\(x_{1,2} = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 28}}{2}\)
\(x_{1,2} = \frac{8 \pm \sqrt{92}}{2}\)
\(x_{1,2} = \frac{8 \pm 2\sqrt{23}}{2}\)
\(x_{1,2} = 4 \pm \sqrt{23}\)
\(x_1 = 4 + \sqrt{23} \approx 8.796\)
\(x_2 = 4 - \sqrt{23} \approx -0.796\)
Verificăm soluțiile:
Pentru \(x_1 = 4 + \sqrt{23}\):
\(x^2 - 3x = (4 + \sqrt{23})^2 - 3(4 + \sqrt{23}) = 16 + 8\sqrt{23} + 23 - 12 - 3\sqrt{23} = 27 + 5\sqrt{23} > 0\)
\(5x + 7 = 5(4 + \sqrt{23}) + 7 = 20 + 5\sqrt{23} + 7 = 27 + 5\sqrt{23} > 0\)
Pentru \(x_2 = 4 - \sqrt{23}\):
\(x^2 - 3x = (4 - \sqrt{23})^2 - 3(4 - \sqrt{23}) = 16 - 8\sqrt{23} + 23 - 12 + 3\sqrt{23} = 27 - 5\sqrt{23} \approx 27 - 5(4.796) = 27 - 23.98 = 3.02 > 0\)
\(5x + 7 = 5(4 - \sqrt{23}) + 7 = 20 - 5\sqrt{23} + 7 = 27 - 5\sqrt{23} \approx 27 - 23.98 = 3.02 > 0\)
Ambele soluții sunt valide.
Răspuns: \(x_1 = 4 + \sqrt{23}\), \(x_2 = 4 - \sqrt{23}\)
Задание 1e (Решение другим способом)
\(\log_2(x^2-3x) = \log_2(5x+7)\)
Deoarece bazele sunt egale, putem egala argumentele:
\(x^2-3x = 5x+7\)
\(x^2-3x - 5x - 7 = 0\)
\(x^2 - 8x - 7 = 0\)
Aplicăm formula pentru rezolvarea ecuației de gradul al doilea:
\(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\)
În acest caz, \(a = 1\), \(b = -8\), \(c = -7\).
\(x = \frac{8 \pm \sqrt{(-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7)}}{2 \cdot 1}\)
\(x = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 28}}{2}\)
\(x = \frac{8 \pm \sqrt{92}}{2}\)
\(x = \frac{8 \pm 2\sqrt{23}}{2}\)
\(x = 4 \pm \sqrt{23}\)
Deci, avem două soluții posibile:
\(x_1 = 4 + \sqrt{23}\)
\(x_2 = 4 - \sqrt{23}\)
Acum trebuie să verificăm dacă aceste soluții sunt valide, adică dacă argumentele logaritmilor sunt pozitive:
Pentru \(x_1 = 4 + \sqrt{23}\):
\(x^2 - 3x = (4 + \sqrt{23})^2 - 3(4 + \sqrt{23}) = 16 + 8\sqrt{23} + 23 - 12 - 3\sqrt{23} = 27 + 5\sqrt{23} > 0\)
\(5x + 7 = 5(4 + \sqrt{23}) + 7 = 20 + 5\sqrt{23} + 7 = 27 + 5\sqrt{23} > 0\)
Pentru \(x_2 = 4 - \sqrt{23}\):
\(x^2 - 3x = (4 - \sqrt{23})^2 - 3(4 - \sqrt{23}) = 16 - 8\sqrt{23} + 23 - 12 + 3\sqrt{23} = 27 - 5\sqrt{23} > 0\)
\(5x + 7 = 5(4 - \sqrt{23}) + 7 = 20 - 5\sqrt{23} + 7 = 27 - 5\sqrt{23} > 0\)
Calculăm o valoare aproximativă pentru \(27 - 5\sqrt{23}\):
\(27 - 5\sqrt{23} \approx 27 - 5 \cdot 4.796 = 27 - 23.98 = 3.02 > 0\)
Deci, ambele soluții sunt valide.
Răspuns: \(x_1 = 4 + \sqrt{23}\), \(x_2 = 4 - \sqrt{23}\)
