Limba identificată: Romanian

Задание 1

a) Pentru a determina dacă este posibil ca Radu să aibă 61 de bomboane, trebuie să verificăm dacă 61 dă restul 5 la împărțirea cu 7, 14 și 21.

• Împărțirea la 7: $61 = 7 \cdot 8 + 5$. Restul este 5.
• Împărțirea la 14: $61 = 14 \cdot 4 + 5$. Restul este 5.
• Împărțirea la 21: $61 = 21 \cdot 2 + 19$. Restul este 19, nu 5.

Deoarece 61 nu dă restul 5 la împărțirea cu 21, nu este posibil ca Radu să aibă 61 de bomboane.

Răspuns: Nu, nu este posibil.

Ассистент: Limba identificată: Romanian

Pentru a determina numărul total de bomboane, trebuie să găsim un număr care să dea restul 5 la împărțirea cu 7, 14 și 21. Acest număr trebuie să fie mai mare decât 5.

Putem începe prin a găsi cel mai mic multiplu comun (cmmmc) al numerelor 7, 14 și 21.

• $7 = 7$
• $14 = 2 \cdot 7$
• $21 = 3 \cdot 7$

Cel mai mic multiplu comun este $2 \cdot 3 \cdot 7 = 42$.

Deci, numărul de bomboane poate fi de forma $42k + 5$, unde $k$ este un număr întreg.

Pentru $k = 1$, numărul de bomboane este $42 \cdot 1 + 5 = 47$.
Pentru $k = 2$, numărul de bomboane este $42 \cdot 2 + 5 = 89$.
Pentru $k = 3$, numărul de bomboane este $42 \cdot 3 + 5 = 131$.

Și așa mai departe.

Deci, numărul total de bomboane poate fi 47, 89, 131, etc. Fără alte informații, nu putem determina un singur număr.

Răspuns: Numărul total de bomboane poate fi 47, 89, 131, etc.

Ассистент: Ассистент: Limba identificată: Romanian

Pentru a determina numărul exact de bomboane, avem nevoie de informații suplimentare. Problema ne spune doar că numărul de bomboane dă restul 5 la împărțirea cu 7, 14 și 21. Așa cum am arătat mai sus, există mai multe numere care satisfac această condiție (47, 89, 131, etc.).

Dacă am avea o altă informație, cum ar fi un interval în care se află numărul de bomboane sau faptul că este cel mai mic număr posibil, am putea determina numărul exact.

De exemplu, dacă ni s-ar spune că Radu are mai puțin de 50 de bomboane, atunci am putea concluziona că are 47 de bomboane.

Răspuns: Nu se poate determina numărul exact de bomboane fără informații suplimentare.

Ассистент: Limba identificată: Romanian

Dacă dorim să găsim cel mai mic număr natural care dă restul 5 la împărțirea cu 7, 14 și 21, trebuie să găsim cel mai mic număr de forma $42k + 5$, unde $k$ este un număr întreg, iar rezultatul este un număr natural.

Pentru $k = 0$, numărul de bomboane este $42 \cdot 0 + 5 = 5$. Dar problema spune că îi rămân 5 bomboane, deci trebuie să aibă mai mult de 5 bomboane.

Pentru $k = 1$, numărul de bomboane este $42 \cdot 1 + 5 = 47$.

Deci, cel mai mic număr natural de bomboane pe care le poate avea Radu este 47.

Răspuns: Cel mai mic număr natural de bomboane este 47.

Ассистент: Limba identificată: Romanian

Pentru a găsi cel mai mic număr de 3 cifre care dă restul 5 la împărțirea cu 7, 14 și 21, trebuie să găsim cel mai mic număr de forma $42k + 5$ care este mai mare sau egal cu 100.

Trebuie să găsim cel mai mic număr întreg $k$ astfel încât $42k + 5 \geq 100$.

$42k \geq 95$
$k \geq \frac{95}{42} \approx 2.26$

Deoarece $k$ trebuie să fie un număr întreg, cel mai mic număr întreg care satisface această inegalitate este $k = 3$.

Deci, numărul de bomboane este $42 \cdot 3 + 5 = 126 + 5 = 131$.

Răspuns: Cel mai mic număr de 3 cifre de bomboane este 131.

Ассистент: Limba identificată: Romanian

Pentru a verifica dacă 131 dă restul 5 la împărțirea cu 7, 14 și 21, vom efectua împărțirile:

• Împărțirea la 7: $131 = 7 \cdot 18 + 5$. Restul este 5.
• Împărțirea la 14: $131 = 14 \cdot 9 + 5$. Restul este 5.
• Împărțirea la 21: $131 = 21 \cdot 6 + 5$. Restul este 5.

Deci, 131 dă restul 5 la împărțirea cu 7, 14 și 21.

Răspuns: Da, 131 dă restul 5 la împărțirea cu 7, 14 și 21.