Jasne, rozwiążmy te zadania krok po kroku.
Zestaw 1
Zadanie 1
Musimy znaleźć dwie liczby spośród $x$, $y$, i $z$, które są swoimi odwrotnościami. Oznacza to, że ich iloczyn musi być równy 1.
- $x = 2^{4\sqrt{2}}$
- $y = 4^{\frac{\sqrt{2}}{2}} = (2^2)^{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 2^{\sqrt{2}}$
- $z = 8^{\frac{\sqrt{2}}{3}} = (2^3)^{\frac{\sqrt{2}}{3}} = 2^{\sqrt{2}}$
Sprawdzamy, czy iloczyn którejkolwiek pary liczb daje 1:
- $x \cdot y = 2^{4\sqrt{2}} \cdot 2^{\sqrt{2}} = 2^{5\sqrt{2}} \neq 1$
- $x \cdot z = 2^{4\sqrt{2}} \cdot 2^{\sqrt{2}} = 2^{5\sqrt{2}} \neq 1$
- $y \cdot z = 2^{\sqrt{2}} \cdot 2^{\sqrt{2}} = 2^{2\sqrt{2}} \neq 1$
Jednakże, zauważmy, że $y = z = 2^{\sqrt{2}}$. To oznacza, że żadna z tych liczb nie jest odwrotnością innej z podanych. Sprawdźmy, czy któraś z nich podniesiona do potęgi -1 da inną z liczb.
$y^{-1} = (2^{\sqrt{2}})^{-1} = 2^{-\sqrt{2}}$
$z^{-1} = (2^{\sqrt{2}})^{-1} = 2^{-\sqrt{2}}$
Żadna z liczb nie jest odwrotnością innej. Wygląda na to, że w zadaniu jest błąd lub nie ma pary liczb spełniających warunki zadania.
Odpowiedź: Brak pary liczb, z których jedna jest odwrotnością drugiej.
Zadanie 2
Oblicz: $6^{\sqrt{3}} \cdot 3^{1-\sqrt{3}} \cdot 2^{-\sqrt{3}}$
$6^{\sqrt{3}} \cdot 3^{1-\sqrt{3}} \cdot 2^{-\sqrt{3}} = (2 \cdot 3)^{\sqrt{3}} \cdot 3^{1-\sqrt{3}} \cdot 2^{-\sqrt{3}} = 2^{\sqrt{3}} \cdot 3^{\sqrt{3}} \cdot 3^{1-\sqrt{3}} \cdot 2^{-\sqrt{3}} = 2^{\sqrt{3}-\sqrt{3}} \cdot 3^{\sqrt{3}+1-\sqrt{3}} = 2^0 \cdot 3^1 = 1 \cdot 3 = 3$
Odpowiedź: 3
Zadanie 3
Punkt $P(2,2)$ należy do wykresu funkcji $f(x) = a^x$. Czy punkt $Q(4,4)$ też należy do wykresu funkcji $f$?
Skoro $P(2,2)$ należy do wykresu funkcji $f(x) = a^x$, to znaczy, że $f(2) = 2$. Zatem:
$a^2 = 2$
$a = \sqrt{2}$
Teraz sprawdzamy, czy punkt $Q(4,4)$ należy do wykresu funkcji $f(x) = (\sqrt{2})^x$:
$f(4) = (\sqrt{2})^4 = (2^{\frac{1}{2}})^4 = 2^{\frac{1}{2} \cdot 4} = 2^2 = 4$
Ponieważ $f(4) = 4$, punkt $Q(4,4)$ należy do wykresu funkcji $f(x)$.
Odpowiedź: Tak, punkt $Q(4,4)$ należy do wykresu funkcji $f$.
