Równanie kwadratowe to równanie postaci
gdzie \(a \neq 0\). Liczbę jego pierwiastków określa wyróżnik \(D = b^2 - 4ac\), a same pierwiastki oblicza się ze wzoru \(x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\). Na tej stronie zebraliśmy wszystko na temat: postaci standardowej i współczynników, trzech rodzajów równań niezupełnych, wyróżnika i trzech przypadków, wzoru na pierwiastki i jego „parzystego” wariantu, równania znormalizowanego i twierdzenia Viète'a, rozkładu na czynniki i równań dwukwadratowych — z przykładami krok po kroku, analizą częstych błędów i interaktywnym trenażerem.
Co to jest równanie kwadratowe
Równanie kwadratowe to równanie postaci
gdzie \(x\) jest niewiadomą, a \(a\), \(b\), \(c\) to liczby (współczynniki), przy czym \(a \neq 0\). Taka postać nazywana jest postacią standardową równania kwadratowego: po lewej stronie składniki są uporządkowane według malejącej potęgi, po prawej stronie jest zero.
Warunek \(a \neq 0\) nie jest formalnością. To właśnie składnik \(ax^2\) czyni równanie kwadratowym: gdy \(a = 0\), pozostaje \(bx + c = 0\), czyli zwykłe równanie liniowe z jednym pierwiastkiem. Dlatego w zadaniach z parametrem najpierw sprawdza się, czy współczynnik najwyższego stopnia nie zeruje się.
Można prawie zawsze doprowadzić równanie do postaci standardowej: opuścić nawiasy, przenieść wszystkie składniki na lewą stronę i zredukować wyrazy podobne. Na przykład, \(5x^2 = 3x - 2\) po przeniesieniu staje się \(5x^2 - 3x + 2 = 0\), skąd \(a = 5\), \(b = -3\), \(c = 2\). Termin „równanie kwadratowe” oznacza dokładnie to samo — to po prostu inna nazwa.
Równania zupełne i niezupełne
Jeśli wszystkie trzy współczynniki są różne od zera, równanie nazywa się zupełnym. Jeśli \(b\) lub \(c\) (lub oba) są równe zero — niezupełnym. Istnieją dokładnie trzy rodzaje równań niezupełnych i żaden z nich nie wymaga wyróżnika: każde rozwiązuje się w jednej lub dwóch linijkach, co jest najszybszym sposobem na zaoszczędzenie czasu na sprawdzianie.
Kluczowa idea dla \(ax^2 + bx = 0\) to wyciągnięcie wspólnego czynnika. Iloczyn \(x(ax + b)\) jest równy zero wtedy i tylko wtedy, gdy przynajmniej jeden z czynników jest równy zero, stąd od razu dwa pierwiastki. Dla \(ax^2 + c = 0\) idea jest inna: wyrazić \(x^2\) i spojrzeć na znak otrzymanej liczby — kwadrat liczby rzeczywistej nie może być ujemny.
| Rodzaj równania | Jak rozwiązać |
|---|---|
| ax2 + c = 02x2 − 50 = 0 | Przenieś c na prawą stronę i podziel przez a: x2 = −c/a. Wyciągnij pierwiastek, nie zapominając o drugim znaku.x = 5 i x = −5 |
| ax2 + bx = 0x2 + 7x = 0 | Wyciągnij x przed nawias: x(ax + b) = 0. Iloczyn jest równy zero, gdy jeden z czynników jest równy zero.x = 0 i x = −7 |
| ax2 = 09x2 = 0 | Podziel przez a i wyciągnij pierwiastek z zera. Pierwiastek jest zawsze dokładnie jeden.x = 0 |
Wyróżnik: jak obliczyć i ile będzie pierwiastków
Wyróżnik to liczba, którą oblicza się ze współczynników równania zupełnego:
Samo słowo oznacza „rozróżniacz”: wyróżnik niczego nie rozwiązuje, jedynie rozróżnia trzy sytuacje — pierwiastki są dwa, jeden lub nie ma ich wcale. Dlatego pytanie „ile pierwiastków ma równanie” rozwiązuje się bez obliczania samych pierwiastków.
Obliczaj \(D\) dokładnie: \(b^2\) jest zawsze dodatnie, nawet jeśli samo \(b\) jest ujemne, a znaki \(a\) i \(c\) wchodzą do iloczynu \(4ac\) tak, jak są. Weźmy \(x^2 + 4x - 5 = 0\): tutaj \(a = 1\), \(b = 4\), \(c = -5\), zatem \(D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36\). Wyróżnik jest dodatni, więc pierwiastki będą dwa.
Wzór na pierwiastki równania kwadratowego
Gdy \(D \ge 0\), pierwiastki oblicza się ze głównego wzoru tematu:
Znak \(\pm\) oznacza dwa obliczenia: raz ze dodawaniem, drugi raz z odejmowaniem. Przy \(D = 0\) oba obliczenia dają tę samą liczbę \(x = -\dfrac{b}{2a}\) — ten pierwiastek nazywa się dwukrotnym.
Dwa miejsca, gdzie najczęściej popełnia się błędy: w liczniku jest minus \(b\) (dla \(b = -7\) to \(+7\)), a w mianowniku — \(2a\), a nie samo \(2\). Przy \(a = 1\) różnica jest niewidoczna, dlatego błąd wychodzi właśnie tam, gdzie współczynnik wiodący jest różny od jedynki.
Rozwiążmy \(2x^2 - 9x - 5 = 0\): \(D = (-9)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 81 + 40 = 121\), \(\sqrt{D} = 11\), zatem \(x_1 = \dfrac{9 + 11}{4} = 5\) i \(x_2 = \dfrac{9 - 11}{4} = -0{,}5\).
Parzysty drugi współczynnik: wzór z D₁
Jeśli \(b\) jest liczbą parzystą, wygodnie jest zapisać je jako \(b = 2k\) i obliczyć „zmniejszony” wyróżnik:
Liczby w obliczeniach stają się cztery razy mniejsze (\(D = 4D_1\)), a znak \(D_1\) jest taki sam jak \(D\) — oznacza to, że wniosek o liczbie pierwiastków się nie zmienia.
Przykład: \(3x^2 + 8x - 3 = 0\). Tutaj \(b = 8\), czyli \(k = 4\), i \(D_1 = 4^2 - 3 \cdot (-3) = 16 + 9 = 25\), \(\sqrt{D_1} = 5\). Wtedy \(x_1 = \dfrac{-4 + 5}{3} = \dfrac{1}{3}\) i \(x_2 = \dfrac{-4 - 5}{3} = -3\). Zwykły wzór wymagałby pracy z \(D = 100\) — wynik ten sam, ale arytmetyki więcej.
Równanie znormalizowane i twierdzenie Viète'a
Równanie z \(a = 1\) nazywa się znormalizowanym i zapisuje jako \(x^2 + px + q = 0\). Każde równanie kwadratowe można sprowadzić do takiej postaci przez podzielenie przez \(a\): na przykład, \(4x^2 - 12x + 8 = 0\) po podzieleniu przez 4 staje się \(x^2 - 3x + 2 = 0\).
Postać znormalizowana jest cenna, ponieważ dla niej działa twierdzenie Viète'a: suma pierwiastków jest równa \(-p\), a iloczyn jest równy \(q\). Dla \(x^2 - 7x + 10 = 0\) potrzebujemy dwóch liczb o sumie 7 i iloczynie 10 — są to 2 i 5, i nie trzeba było obliczać wyróżnika.
Dobieranie według Viète'a przydaje się, gdy pierwiastki są całkowite i niewielkie, a także bezpłatnie sprawdza odpowiedź znalezioną przez wyróżnik: suma powinna dać \(-p\), iloczyn — \(q\). Wzory dla postaci ogólnej, twierdzenie odwrotne i algorytm doboru są omówione w osobnym materiale — twierdzenie Viète'a.
Rozkład trójmianu kwadratowego na czynniki
Jeśli pierwiastki \(x_1\) i \(x_2\) zostały znalezione, trójmian kwadratowy rozkłada się na czynniki:
Nie wolno zapomnieć o czynniku \(a\) — bez niego równość przestaje być prawdziwa. Sprawdzenie rozkładu jest zawsze łatwe: opuścić nawiasy i porównać z pierwotnym trójmianem. Powiedzmy, że dla \(x^2 + 2x - 8\) pierwiastki wynoszą 2 i \(-4\), więc \(x^2 + 2x - 8 = (x - 2)(x + 4)\).
Działa również droga odwrotna: jeśli udało się rozłożyć trójmian ustnie, pierwiastki są widoczne od razu i wyróżnik nie jest potrzebny. Pomagają w tym wzory skróconego mnożenia — na przykład, \(x^2 - 16 = (x - 4)(x + 4)\) daje pierwiastki \(4\) i \(-4\) natychmiast.
Trzeci sposób obejścia się bez wzoru na pierwiastki to wyodrębnienie pełnego kwadratu. W \(x^2 + 6x + 5 = 0\) pierwsze dwa składniki uzupełniają się do kwadratu sumy: \((x + 3)^2 - 9 + 5 = 0\), czyli \((x + 3)^2 = 4\), skąd \(x + 3 = \pm 2\) i \(x = -1\) lub \(x = -5\). Właśnie tą metodą wzór na pierwiastki jest wyprowadzany w postaci ogólnej.
Równania sprowadzalne do kwadratowych: dwukwadratowe
Równanie dwukwadratowe ma postać \(ax^4 + bx^2 + c = 0\): potęgi są tylko parzyste. Rozwiązuje się je przez podstawienie \(t = x^2\), przy czym obowiązkowo z warunkiem \(t \ge 0\) — kwadrat liczby rzeczywistej nie może być ujemny.
Po podstawieniu otrzymujemy zwykłe równanie kwadratowe \(at^2 + bt + c = 0\). Rozwiązuje się je za pomocą wyróżnika, a następnie dla każdego nieujemnego pierwiastka \(t\) wracamy do \(x = \pm\sqrt{t}\). Stąd liczba pierwiastków: do czterech.
Na przykład, \(x^4 - 5x^2 + 4 = 0\) po podstawieniu daje \(t^2 - 5t + 4 = 0\) z pierwiastkami \(t = 1\) i \(t = 4\). Oba są dodatnie, więc \(x = \pm 1\) i \(x = \pm 2\) — w sumie cztery pierwiastki. Gdyby jeden z \(t\) okazał się ujemny, zostałby po prostu odrzucony.
Tą samą metodą rozwiązuje się równania wymierne (po sprowadzeniu do wspólnego mianownika i odrzuceniu wartości niedozwolonych) oraz równania z podstawieniem postaci \(t = x^2 + 3x\).
Przykłady rozwiązywania równań kwadratowych
Przykład 1. Równanie zupełne, D > 0
Rozwiąż \(3x^2 - 7x + 2 = 0\).
Krok 1. Równanie jest już w postaci standardowej: \(a = 3\), \(b = -7\), \(c = 2\).
Krok 2. \(D = (-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 49 - 24 = 25 > 0\) — pierwiastki są dwa.
Krok 3. \(\sqrt{D} = 5\), zatem \(x_{1,2} = \dfrac{7 \pm 5}{6}\): \(x_1 = \dfrac{12}{6} = 2\), \(x_2 = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}\).
Krok 4. Sprawdzenie przez podstawienie. \(3 \cdot 2^2 - 7 \cdot 2 + 2 = 12 - 14 + 2 = 0\); \(3 \cdot \left(\tfrac{1}{3}\right)^2 - 7 \cdot \tfrac{1}{3} + 2 = \tfrac{1}{3} - \tfrac{7}{3} + 2 = 0\).
Odpowiedź: \(x_1 = 2\), \(x_2 = \dfrac{1}{3}\).
Przykład 2. Wyróżnik równy zero
Rozwiąż \(4x^2 - 12x + 9 = 0\).
Krok 1. \(a = 4\), \(b = -12\), \(c = 9\).
Krok 2. \(D = (-12)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 9 = 144 - 144 = 0\) — pierwiastek jest jeden.
Krok 3. \(x = -\dfrac{b}{2a} = \dfrac{12}{8} = 1{,}5\).
Krok 4. Sprawdzenie. \(4 \cdot 1{,}5^2 - 12 \cdot 1{,}5 + 9 = 9 - 18 + 9 = 0\).
Odpowiedź: \(x = 1{,}5\). Zauważ: lewa strona to pełny kwadrat \((2x - 3)^2\), dlatego pierwiastek wyszedł jeden.
Przykład 3. Wyróżnik ujemny
Rozwiąż \(2x^2 + 3x + 5 = 0\).
Krok 1. \(a = 2\), \(b = 3\), \(c = 5\).
Krok 2. \(D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot 5 = 9 - 40 = -31 < 0\).
Krok 3. Wyróżnik jest ujemny, zatem nie można wyciągnąć \(\sqrt{D}\) wśród liczb rzeczywistych. Nie trzeba stosować wzoru na pierwiastki — rozwiązanie jest zakończone.
Odpowiedź: brak pierwiastków rzeczywistych. To pełna odpowiedź, a nie oznaka błędu: wykres funkcji \(y = 2x^2 + 3x + 5\) po prostu nie przecina osi \(x\).
Przykład 4. Równanie niezupełne postaci ax² + c = 0
Rozwiąż \(3x^2 - 27 = 0\).
Krok 1. Przenosimy wyraz wolny: \(3x^2 = 27\).
Krok 2. Dzielimy przez 3: \(x^2 = 9\).
Krok 3. Kwadrat liczby 9 mają dwie liczby: \(x = 3\) i \(x = -3\). Drugi znak najczęściej się traci.
Krok 4. Sprawdzenie. \(3 \cdot 3^2 - 27 = 0\); \(3 \cdot (-3)^2 - 27 = 27 - 27 = 0\).
Odpowiedź: \(x_1 = 3\), \(x_2 = -3\). Porównaj z równaniem \(2x^2 + 8 = 0\): tam \(x^2 = -4\), i brak pierwiastków rzeczywistych.
Przykład 5. Równanie niezupełne postaci ax² + bx = 0
Rozwiąż \(5x^2 - 15x = 0\).
Krok 1. Wyciągamy wspólny czynnik: \(5x(x - 3) = 0\).
Krok 2. Iloczyn jest równy zero, gdy jeden z czynników jest równy zero: \(5x = 0\) lub \(x - 3 = 0\).
Krok 3. Stąd \(x_1 = 0\), \(x_2 = 3\).
Krok 4. Sprawdzenie. \(5 \cdot 0^2 - 15 \cdot 0 = 0\); \(5 \cdot 3^2 - 15 \cdot 3 = 45 - 45 = 0\).
Odpowiedź: \(x_1 = 0\), \(x_2 = 3\). Jeśli skrócimy pierwotne równanie przez \(x\), zostanie tylko \(x = 3\) — pierwiastek \(x = 0\) zniknie. Nie wolno dzielić przez wyrażenie z niewiadomą.
Przykład 6. Parzysty drugi współczynnik
Rozwiąż \(5x^2 - 22x + 8 = 0\).
Krok 1. \(b = -22\) — jest parzyste, więc \(k = -11\), a \(a = 5\), \(c = 8\).
Krok 2. \(D_1 = k^2 - ac = (-11)^2 - 5 \cdot 8 = 121 - 40 = 81\), \(\sqrt{D_1} = 9\).
Krok 3. \(x_{1,2} = \dfrac{-k \pm \sqrt{D_1}}{a} = \dfrac{11 \pm 9}{5}\): \(x_1 = 4\), \(x_2 = \dfrac{2}{5} = 0{,}4\).
Krok 4. Sprawdzenie. \(5 \cdot 4^2 - 22 \cdot 4 + 8 = 80 - 88 + 8 = 0\); \(5 \cdot 0{,}4^2 - 22 \cdot 0{,}4 + 8 = 0{,}8 - 8{,}8 + 8 = 0\).
Odpowiedź: \(x_1 = 4\), \(x_2 = 0{,}4\). Zwykły wyróżnik dałby \(D = 324\) — ten sam wynik, ale obliczenia byłyby dłuższe.
Przykład 7. Najpierw doprowadzić do postaci standardowej
Rozwiąż \((x - 3)(x + 5) = 9\).
Krok 1. Opuść nawiasy: \(x^2 + 5x - 3x - 15 = 9\), czyli \(x^2 + 2x - 15 = 9\).
Krok 2. Przenieś dziewiątkę na lewą stronę: \(x^2 + 2x - 24 = 0\). Dopiero teraz można wypisać współczynniki: \(a = 1\), \(b = 2\), \(c = -24\).
Krok 3. \(D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 4 + 96 = 100\), \(\sqrt{D} = 10\), \(x_{1,2} = \dfrac{-2 \pm 10}{2}\): \(x_1 = 4\), \(x_2 = -6\).
Krok 4. Sprawdzenie w pierwotnym równaniu. \((4 - 3)(4 + 5) = 1 \cdot 9 = 9\); \((-6 - 3)(-6 + 5) = (-9) \cdot (-1) = 9\).
Odpowiedź: \(x_1 = 4\), \(x_2 = -6\). Częsty błąd tutaj to przyrównanie każdego nawiasu do 9: zasada „iloczyn jest równy zero” działa tylko dla zera.
Przykład 8. Rozkład trójmianu na czynniki
Rozłóż \(2x^2 - 5x - 3\) na czynniki.
Krok 1. Przyrównaj trójmian do zera i znajdź pierwiastki: \(D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49\), \(\sqrt{D} = 7\), \(x_{1,2} = \dfrac{5 \pm 7}{4}\): \(x_1 = 3\), \(x_2 = -\dfrac{1}{2}\).
Krok 2. Podstaw do wzoru \(a(x - x_1)(x - x_2)\): \(2(x - 3)\left(x + \tfrac{1}{2}\right)\).
Krok 3. Dwójkę wygodnie jest wnieść do drugiego nawiasu: \((x - 3)(2x + 1)\).
Krok 4. Sprawdzenie przez opuszczenie nawiasów. \((x - 3)(2x + 1) = 2x^2 + x - 6x - 3 = 2x^2 - 5x - 3\).
Odpowiedź: \(2x^2 - 5x - 3 = (x - 3)(2x + 1)\).
Przykład 9. Równanie dwukwadratowe
Rozwiąż \(x^4 - 13x^2 + 36 = 0\).
Krok 1. Podstawienie \(t = x^2\), gdzie \(t \ge 0\). Równanie zamienia się na \(t^2 - 13t + 36 = 0\).
Krok 2. \(D = (-13)^2 - 4 \cdot 36 = 169 - 144 = 25\), \(\sqrt{D} = 5\), \(t_{1,2} = \dfrac{13 \pm 5}{2}\): \(t_1 = 9\), \(t_2 = 4\).
Krok 3. Oba wartości są nieujemne, więc wracamy do \(x\): z \(x^2 = 9\) otrzymujemy \(x = \pm 3\), z \(x^2 = 4\) — \(x = \pm 2\).
Krok 4. Sprawdzenie. \(3^4 - 13 \cdot 3^2 + 36 = 81 - 117 + 36 = 0\); \(2^4 - 13 \cdot 2^2 + 36 = 16 - 52 + 36 = 0\). Dla wartości ujemnych potęgi parzyste dają te same liczby.
Odpowiedź: \(x = \pm 2\) i \(x = \pm 3\) — cztery pierwiastki.
Częste błędy przy rozwiązywaniu równań kwadratowych
-
Obliczanie wyróżnika bez doprowadzenia równania do postaci standardowej: dla $2x^2 + 3x = x^2 + 5$ od razu bierze się $a = 2$, $b = 3$, $c = 0$.
Najpierw przenosimy wszystko na lewą stronę i redukujemy wyrazy podobne: \(2x^2 + 3x - x^2 - 5 = 0\), czyli \(x^2 + 3x - 5 = 0\). Dopiero stąd \(a = 1\), \(b = 3\), \(c = -5\). Wzór na pierwiastki działa wyłącznie z postacią standardową.
-
Tracenie znaku przy podnoszeniu $b$ do kwadratu: dla $x^2 - 9x + 14 = 0$ pisze się $D = -81 - 56$.
Kwadrat dowolnej liczby jest nieujemny: \((-9)^2 = 81\), a nie \(-81\). Poprawnie \(D = 81 - 56 = 25\), pierwiastki \(x = \dfrac{9 \pm 5}{2}\), czyli 7 i 2. Sprawdzenie: \(49 - 63 + 14 = 0\) i \(4 - 18 + 14 = 0\).
-
W liczniku zamiast $b$ zostawia się $b$ zamiast $-b$: dla $x^2 + 5x - 6 = 0$ oblicza się $x = \dfrac{5 \pm 7}{2}$.
We wzorze jest \(-b\), dlatego przy \(b = 5\) w liczniku będzie \(-5\): \(x = \dfrac{-5 \pm 7}{2}\), skąd \(x_1 = 1\), \(x_2 = -6\). Podstawienie potwierdza: \(1 + 5 - 6 = 0\) i \(36 - 30 - 6 = 0\).
-
Przy $D = 0$ pisze się „brak pierwiastków”: dla $x^2 + 14x + 49 = 0$ wyróżnik jest zerowy, i rozwiązanie się przerywa.
Brak pierwiastków jest tylko przy \(D < 0\). Przy \(D = 0\) pierwiastek jest dokładnie jeden: \(x = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{14}{2} = -7\). Sprawdzenie: \(49 - 98 + 49 = 0\).
-
Skracanie równania $4x^2 - 9x = 0$ przez $x$ i otrzymanie jedynego pierwiastka $x = 2{,}25$.
Nie wolno dzielić przez wyrażenie z niewiadomą: \(x\) może być zerem, i pierwiastek \(x = 0\) się traci. Poprawnie jest wyciągnąć czynnik: \(x(4x - 9) = 0\), skąd \(x_1 = 0\) i \(x_2 = 2{,}25\). Sprawdzenie: \(4 \cdot 2{,}25^2 - 9 \cdot 2{,}25 = 20{,}25 - 20{,}25 = 0\).
-
W równaniu $x^2 = 16$ zapisuje się tylko $x = 4$.
Kwadrat liczby 16 mają również \(-4\). Należy zapisać oba pierwiastki: \(x = \pm 4\). Pewniej jest rozwiązywać przez postać standardową \(x^2 - 16 = 0\), czyli \((x - 4)(x + 4) = 0\) — wtedy oba czynniki są od razu widoczne.
-
Nie sprawdza się warunku $a \neq 0$ w równaniu z parametrem: dla $(m - 2)x^2 + 3x - 1 = 0$ od razu oblicza się wyróżnik.
Dla \(m = 2\) współczynnik wiodący zeruje się, a równanie staje się liniowe \(3x - 1 = 0\) z jedynym pierwiastkiem \(x = \dfrac{1}{3}\). Przypadek \(m = 2\) rozpatruje się osobno, a wzór na pierwiastki stosuje się tylko dla \(m \neq 2\).
Pytania i odpowiedzi
Co to jest równanie kwadratowe?
Jest to równanie postaci \(ax^2 + bx + c = 0\), gdzie \(a\), \(b\), \(c\) to liczby i \(a \neq 0\). Niewiadoma występuje w nim w drugiej potędze, dlatego pierwiastków może być dwa, jeden lub żaden.
Jak wygląda postać standardowa równania kwadratowego?
Postać standardowa (ogólna) to \(ax^2 + bx + c = 0\): wszystkie składniki są zebrane po lewej stronie według malejącej potęgi, po prawej stronie jest zero. Do niej doprowadza się każde równanie kwadratowe przed obliczeniem wyróżnika.
Jak obliczyć wyróżnik?
Ze wzoru \(D = b^2 - 4ac\), podstawiając współczynniki wraz z ich znakami. Na przykład, dla \(x^2 + 3x - 10 = 0\) otrzymujemy \(D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49\), a pierwiastki wynoszą \(\dfrac{-3 \pm 7}{2}\), czyli 2 i \(-5\).
Jaki jest wzór na pierwiastki równania kwadratowego?
\(x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\), lub krócej \(x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\). Stosuje się go dla \(D \ge 0\); w mianowniku jest właśnie \(2a\), a nie 2.
Ile pierwiastków może mieć równanie kwadratowe?
Nie więcej niż dwa. Dla \(D > 0\) pierwiastki są dwa, dla \(D = 0\) — jeden (dwukrotny), dla \(D < 0\) pierwiastków rzeczywistych brak.
Co to jest niezupełne równanie kwadratowe?
Jest to równanie, w którym \(b = 0\), \(c = 0\) lub oba jednocześnie: \(ax^2 + c = 0\), \(ax^2 + bx = 0\), \(ax^2 = 0\). Wszystkie trzy rozwiązuje się bez wyróżnika — przez przeniesienie składnika lub wyciągnięcie \(x\) przed nawias.
Jak rozwiązywać równania kwadratowe bez wyróżnika?
Istnieją trzy sposoby: dobieranie pierwiastków według twierdzenia Viète'a dla równania znormalizowanego, rozkład na czynniki i wyodrębnienie pełnego kwadratu. Najszybciej działa dobieranie, gdy pierwiastki są małymi liczbami całkowitymi.
Co zrobić, gdy wyróżnik jest ujemny?
Napisać, że brak pierwiastków rzeczywistych i zakończyć rozwiązanie. Ujemny wyróżnik to normalna odpowiedź: wykres odpowiedniej paraboli nie przecina osi \(x\). Pierwiastki w takim przypadku istnieją tylko wśród liczb zespolonych, a te są omawiane później.
Jak sprawdzić znalezione pierwiastki?
Podstawić każdy pierwiastek do pierwotnego równania — powinno wyjść prawdziwe równanie. Dla równania znormalizowanego istnieje też szybkie sprawdzenie według twierdzenia Viète'a: suma pierwiastków jest równa \(-p\), iloczyn jest równy \(q\).
Czy równanie kwadratowe i równanie kwadratowe to to samo?
Tak, to dwie nazwy tego samego obiektu \(ax^2 + bx + c = 0\). Nie mylić go z funkcją kwadratową \(y = ax^2 + bx + c\): pierwiastki równania to właśnie odcięte punktów, w których wykres funkcji przecina oś \(x\).
W której klasie omawia się równania kwadratowe?
W 8 klasie na lekcjach algebry: najpierw równania niezupełne, następnie wyróżnik, wzór na pierwiastki i twierdzenie Viète'a. Temat pojawia się dalej w funkcji kwadratowej, nierównościach, zadaniach OGE i ЕГЭ.
