Wzory skróconego mnożenia (WSM) to gotowe tożsamości algebraiczne, które pozwalają na szybkie mnożenie nawiasów i rozkładanie wyrażeń na czynniki bez długiego wymnażania. Na tej stronie znajdziesz tabelę wszystkich siedmiu wzorów: kwadrat sumy i różnicy, różnica kwadratów, sześcian sumy i różnicy, suma i różnica sześcianów. Każdy wzór omawiamy wraz z wyprowadzeniem i przykładami, a na końcu znajduje się interaktywny trener, gdzie możesz od razu poćwiczyć stosowanie WSM.
Czym są wzory skróconego mnożenia
Wzory skróconego mnożenia to tożsamości, które otrzymujemy, jeśli raz starannie wymnożymy wielomiany i zapamiętamy wynik. Dzięki temu nie trzeba za każdym razem mnożyć nawiasów: wystarczy rozpoznać „schemat” i podstawić swoje liczby lub litery.
W programie algebry w klasie 7 WSM stosuje się w dwóch kierunkach:
- od lewej do prawej — aby szybko wymnożyć nawiasy i podnieść wyrażenie do kwadratu lub sześcianu;
- od prawej do lewej — aby rozłożyć wielomian na czynniki (jest to potrzebne do skracania ułamków i rozwiązywania równań).
Łącznie zapamiętuje się siedem wzorów. Poniżej znajduje się tabela pomocnicza, a następnie szczegółowe omówienie każdego wzoru.
Tabela wzorów skróconego mnożenia
Wszystkie siedem wzorów skróconego mnożenia warto mieć przed oczami w jednej tabeli. Litery \(a\) i \(b\) oznaczają tutaj dowolne wyrażenia: liczbę, zmienną lub cały jednomian, np. \(2x\).
| Wzór | Zapis |
|---|---|
| Kwadrat sumy | (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 |
| Kwadrat różnicy | (a − b)2 = a2 − 2ab + b2 |
| Różnica kwadratów | a2 − b2 = (a − b)(a + b) |
| Sześcian sumy | (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 |
| Sześcian różnicy | (a − b)3 = a3 − 3a2b + 3ab2 − b3 |
| Suma sześcianów | a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2) |
| Różnica sześcianów | a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2) |
Kwadrat sumy i kwadrat różnicy
Kwadrat sumy otrzymujemy, mnożąc \((a+b)\) przez siebie:
Słownie: kwadrat sumy równa się kwadratowi pierwszego wyrażenia plus podwojony iloczyn pierwszego przez drugie plus kwadrat drugiego. Dokładnie tak samo wyprowadza się kwadrat różnicy — znak przy środkowym wyrazie zmienia się na minus:
Najważniejsze to nie zgubić środkowego wyrazu \(2ab\): to właśnie przez niego \((a+b)^2 \neq a^2 + b^2\). Kwadrat sumy i kwadrat różnicy różnią się tylko znakiem przed \(2ab\), a skrajne wyrazy \(a^2\) i \(b^2\) zawsze mają znak plus.
Przykład. \((x+3)^2 = x^2 + 2\cdot x\cdot 3 + 3^2 = x^2 + 6x + 9.\)
Kwadrat sumy ma przejrzystą interpretację geometryczną: to pole dużego kwadratu o boku \((a+b)\).
Różnica kwadratów
Jeśli wymnożymy sumę i różnicę tych samych wyrażeń, środkowe wyrazy zredukują się:
Otrzymujemy wzór na różnicę kwadratów: \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\). Jest to najbardziej przydatny wzór do rozkładu na czynniki: gdy tylko widzisz różnicę dwóch kwadratów — od razu rozkładaj na iloczyn.
Przykład (mnożenie nawiasów). \((x-7)(x+7) = x^2 - 49.\)
Przykład (rozkład na czynniki). \(x^2 - 16 = x^2 - 4^2 = (x-4)(x+4).\)
Ważne: suma kwadratów \(a^2 + b^2\) nie rozkłada się na czynniki według tego wzoru — działa tylko różnica.
Sześcian sumy, sześcian różnicy, suma i różnica sześcianów
Sześcian sumy i sześcian różnicy zawierają już cztery składniki:
W sześcianie różnicy znaki zmieniają się naprzemiennie: \(+\,-\,+\,-\). I znów częsta pułapka: \((a+b)^3 \neq a^3 + b^3\) — nie można po prostu „rozdzielić” potęgi, nie wolno zgubić środkowych wyrazów \(3a^2b\) i \(3ab^2\).
Przykład. \((x+2)^3 = x^3 + 3x^2\cdot 2 + 3x\cdot 2^2 + 2^3 = x^3 + 6x^2 + 12x + 8.\)
Osobno stoją suma i różnica sześcianów — one, przeciwnie, rozkładają wyrażenie na czynniki:
Drugi czynnik nazywamy niepełnym kwadratem sumy lub różnicy. Znak w jego środkowym wyrazie jest zawsze przeciwny do znaku w pierwszym nawiasie: przy sumie sześcianów jest \(-ab\), przy różnicy sześcianów jest \(+ab\).
Przykład. \(x^3 - 8 = x^3 - 2^3 = (x-2)(x^2 + 2x + 4).\)
Przykłady stosowania wzorów skróconego mnożenia
Przykład 1. Pomnóż nawiasy: kwadrat sumy
Zadanie. Podnieś do kwadratu \((2x+5)^2\).
Krok 1. Rozpoznajemy wzór na kwadrat sumy: \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\), gdzie \(a = 2x\), \(b = 5\).
Krok 2. Obliczamy każdy wyraz:
- \(a^2 = (2x)^2 = 4x^2\);
- \(2ab = 2\cdot 2x\cdot 5 = 20x\);
- \(b^2 = 5^2 = 25\).
Odpowiedź. \((2x+5)^2 = 4x^2 + 20x + 25.\)
Przykład 2. Zwiń do wzoru na różnicę kwadratów
Zadanie. Znajdź iloczyn \((3x-4)(3x+4)\).
Krok 1. Mamy przed sobą iloczyn różnicy i sumy tych samych wyrażeń — to różnica kwadratów \((a-b)(a+b) = a^2 - b^2\), gdzie \(a = 3x\), \(b = 4\).
Krok 2. Podnosimy do kwadratu każde wyrażenie: \(a^2 = (3x)^2 = 9x^2\), \(b^2 = 4^2 = 16\).
Odpowiedź. \((3x-4)(3x+4) = 9x^2 - 16.\)
Przykład 3. Rozłóż na czynniki
Zadanie. Rozłóż na czynniki \(x^2 - 36\) oraz \(x^3 + 27\).
Różnica kwadratów. \(x^2 - 36 = x^2 - 6^2 = (x-6)(x+6).\)
Suma sześcianów. Zauważamy, że \(27 = 3^3\), więc \(x^3 + 27 = x^3 + 3^3\). Stosujemy wzór \(a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)\) dla \(a = x\), \(b = 3\):
Zwróć uwagę na znak \(-3x\) w niepełnym kwadracie — przy sumie sześcianów środkowy wyraz ma znak minus.
Przykład 4. Sześcian sumy
Zadanie. Pomnóż nawiasy \((x+2)^3\).
Krok 1. Wzór na sześcian sumy: \((a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\), gdzie \(a = x\), \(b = 2\).
Krok 2. Obliczamy wyrazy po kolei:
- \(a^3 = x^3\);
- \(3a^2b = 3\cdot x^2\cdot 2 = 6x^2\);
- \(3ab^2 = 3\cdot x\cdot 2^2 = 12x\);
- \(b^3 = 2^3 = 8\).
Odpowiedź. \((x+2)^3 = x^3 + 6x^2 + 12x + 8.\)
Częste błędy przy pracy z WSM
-
Zapominanie o podwojonym iloczynie: pisanie $(a+b)^2 = a^2 + b^2$.
W kwadracie sumy i różnicy zawsze występuje środkowy wyraz \(2ab\): \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\). Łatwo to sprawdzić — wymnóż \((a+b)(a+b)\) pisemnie, a środkowy wyraz pojawi się sam.
-
Mylenie znaków w kwadracie różnicy i różnicy kwadratów.
W kwadracie różnicy minus stoi tylko przy środkowym wyrazie: \((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\) (skrajne mają plus). A w różnicy kwadratów minus znajduje się między samymi kwadratami: \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\). To różne wzory.
-
„Rozdzielanie” potęgi przy sześcianie: $(a+b)^3 = a^3 + b^3$.
Tak nie wolno robić. Sześcian sumy zawiera cztery wyrazy: \((a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\). Wzór \(a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)\) to coś zupełnie innego (suma sześcianów), służy on do rozkładu na czynniki.
-
W niepełnym kwadracie sumy/różnicy sześcianów wstawianie podwojonego iloczynu $2ab$.
Niepełny kwadrat to \(a^2 \pm ab + b^2\), bez dwójki przed \(ab\). Znak jest przeciwny do znaku w pierwszym nawiasie: suma sześcianów \((a+b)(a^2 - ab + b^2)\), różnica sześcianów \((a-b)(a^2 + ab + b^2)\).
-
Próby rozkładu sumy kwadratów $a^2 + b^2$ na czynniki.
Na czynniki rozkłada się tylko różnica kwadratów \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\). Suma kwadratów \(a^2 + b^2\) w programie szkolnym nie rozkłada się na czynniki.
Pytania i odpowiedzi
Ile jest łącznie wzorów skróconego mnożenia?
Siedem: kwadrat sumy, kwadrat różnicy, różnica kwadratów, sześcian sumy, sześcian różnicy, suma sześcianów i różnica sześcianów. Wszystkie zebrano w tabeli powyżej.
Ile wynosi kwadrat sumy?
Kwadratowi pierwszego wyrażenia plus podwojony iloczyn pierwszego przez drugie plus kwadrat drugiego: \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\). W kwadracie różnicy środkowy wyraz ma znak minus: \((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\).
Jak rozłożyć różnicę kwadratów na czynniki?
Według wzoru \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\). Na przykład \(x^2 - 25 = x^2 - 5^2 = (x-5)(x+5)\). Wystarczy zauważyć, że oba składniki są pełnymi kwadratami, a między nimi stoi minus.
Dlaczego $(a+b)^2$ nie równa się $a^2 + b^2$?
Ponieważ przy mnożeniu \((a+b)(a+b)\) pojawiają się jeszcze dwa identyczne składniki \(ab\), które dają środkowy wyraz \(2ab\). Nie można go pominąć: poprawnie \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\).
Czym różni się sześcian sumy od sumy sześcianów?
Sześcian sumy \((a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\) to mnożenie nawiasów. Suma sześcianów \(a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)\) to odwrotnie, rozkład wyrażenia na czynniki. To różne wzory, nie myl ich.
W której klasie przerabia się wzory skróconego mnożenia?
Zazwyczaj w klasie 7 na lekcjach algebry: najpierw kwadrat sumy i różnicy, różnica kwadratów, potem wzory dla sześcianów. Są one aktywnie wykorzystywane później przy upraszczaniu wyrażeń, skracaniu ułamków i rozwiązywaniu równań.
