Okrąg tworzy dwa główne rodzaje kątów: środkowy — z wierzchołkiem w środku, i wpisany — z wierzchołkiem na samym okręgu. Zależność między nimi jest prosta: kąt środkowy równa się łukowi, na którym jest oparty, a kąt wpisany — połowie tego łuku. Na tej stronie znajdziesz definicje, twierdzenie o kącie wpisanym ze wszystkimi wnioskami, czytelne rysunki, rozwiązania zadań krok po kroku i interaktywny trenażer, na którym od razu sprawdzisz swoją wiedzę.
Rodzaje kątów w okręgu: środkowy i wpisany
Poprowadźmy w okręgu dwa odcinki z jednego punktu — powstanie kąt. W zależności od tego, gdzie leży jego wierzchołek, wyróżnia się dwa główne rodzaje kątów w okręgu:
- Kąt środkowy — kąt, którego wierzchołek leży w środku okręgu \(O\). Jego ramiona to promienie.
- Kąt wpisany — kąt, którego wierzchołek leży na okręgu, a ramiona przecinają go (czyli są cięciwami).
Każdy z tych kątów jest oparty na łuku — części okręgu leżącej wewnątrz kąta. To właśnie łuk łączy kąt środkowy i wpisany: przez jego miarę stopniową wyraża się oba.
Jeśli wierzchołek kąta znajdzie się wewnątrz koła (ale nie w środku) lub na zewnątrz niego — to już nie jest ani kąt wpisany, ani środkowy: dla takich kątów istnieją własne wzory, o których mowa na końcu strony.
∠AOC = łuk AC = 120°
∠ABC = ½ łuku AC = 60°
Twierdzenie o kącie wpisanym i miara kąta wpisanego
Kąt środkowy jest równy łukowi, na którym jest oparty — w ten sposób wprowadza się miarę stopniową łuku. Jeśli \(\angle AOC = 120°\), to łuk \(AC\) również wynosi \(120°\).
Twierdzenie o kącie wpisanym: kąt wpisany jest mierzony połową łuku, na którym jest oparty:
Stąd wynika główna zależność między kątem wpisanym a środkowym: kąt wpisany jest dwa razy mniejszy od kąta środkowego, opartego na tym samym łuku:
Miara kąta wpisanego nie zależy od tego, gdzie dokładnie na okręgu znajduje się jego wierzchołek — liczy się tylko łuk, na którym jest oparty. Dlatego rysunek poniżej warto zapamiętać jako „obraz roboczy” całego tematu: zielony łuk i dwa kąty patrzące na niego.
Kąt wpisany i środkowy: własności i wnioski
Z twierdzenia o kącie wpisanym bezpośrednio wynikają własności, na których opiera się większość zadań szkolnych:
- Kąty wpisane oparte na tym samym łuku są równe. Każdy z nich jest równy połowie tego samego łuku — a więc są równe także sobie nawzajem, niezależnie od tego, gdzie leżą ich wierzchołki.
- Kąt wpisany oparty na średnicy jest kątem prostym. Średnica dzieli okrąg na dwa półokręgi po \(180°\), dlatego taki kąt równa się \(180° : 2 = 90°\). Prawdziwe jest też twierdzenie odwrotne: jeśli kąt wpisany jest prosty, to jest oparty na średnicy.
- Kąt wpisany może być rozwarty. Jeśli łuk jest większy niż \(180°\), kąt jest większy niż \(90°\) — wzór „połowa łuku” działa bez wyjątków.
Te własności działają też „w drugą stronę”: na przykład na podstawie równości kątów opartych na tym samym odcinku dowodzi się, że cztery punkty leżą na jednym okręgu.
Kąt wpisany i kąt opisany: czworokąt w okręgu
Jeśli wszystkie cztery wierzchołki czworokąta leżą na okręgu, nazywa się go wpisanym w okrąg (a okrąg — opisanym na nim). Kąty takiego czworokąta są kątami wpisanymi, dlatego działa dla nich to samo twierdzenie.
- Suma przeciwległych kątów czworokąta wpisanego w okrąg wynosi \(180°\). Kąty \(A\) i \(C\) są oparte na dwóch łukach, które razem tworzą cały okrąg (\(360°\)), dlatego \(\angle A + \angle C = 360° : 2 = 180°\).
- Kąt zewnętrzny czworokąta wpisanego w okrąg jest równy kątowi wewnętrznemu przy przeciwległym wierzchołku. Kąt zewnętrzny uzupełnia swój kąt wewnętrzny do \(180°\) — dokładnie tak, jak kąt przeciwległy.
- Własność sumy kątów to zarazem kryterium: jeśli w czworokącie sumy przeciwległych kątów wynoszą po \(180°\), można na nim opisać okrąg. Dlatego każdy prostokąt można wpisać w okrąg, a romb (poza kwadratem) — nie.
Obok kątów wpisanych w zadaniach pojawiają się też kąty opisane — kąty między dwiema stycznymi poprowadzonymi z jednego punktu poza okręgiem. Kąt opisany jest równy połowie różnicy łuków, które wyznacza na okręgu.
Przykłady rozwiązywania zadań z kątem wpisanym i środkowym
Przykład 1. Kąt wpisany na podstawie łuku
Zadanie. Kąt wpisany \(ABC\) jest oparty na łuku \(AC\) równym \(120°\). Znajdź \(\angle ABC\).
Krok 1. Przypominamy twierdzenie: kąt wpisany jest równy połowie łuku, na którym jest oparty.
Krok 2. Podstawiamy: \(\angle ABC = \frac{1}{2} \cdot 120° = 60°\).
Odpowiedź: \(60°\).
Przykład 2. Kąt środkowy na podstawie wpisanego
Zadanie. Kąt wpisany \(ABC\) jest równy \(40°\). Znajdź kąt środkowy \(AOC\), oparty na tym samym łuku \(AC\).
Krok 1. Kąt środkowy jest dwa razy większy od kąta wpisanego opartego na tym samym łuku: \(\angle AOC = 2 \cdot \angle ABC\).
Krok 2. Obliczamy: \(\angle AOC = 2 \cdot 40° = 80°\). Przy okazji poznaliśmy łuk: \(AC = 80°\).
Odpowiedź: \(80°\).
Przykład 3. Kąt oparty na średnicy
Zadanie. \(AC\) to średnica okręgu, punkt \(B\) leży na okręgu, \(\angle BAC = 35°\). Znajdź \(\angle BCA\).
Krok 1. Kąt \(ABC\) jest oparty na średnicy \(AC\), więc \(\angle ABC = 90°\) — trójkąt \(ABC\) jest prostokątny.
Krok 2. Suma kątów trójkąta wynosi \(180°\): \(\angle BCA = 180° - 90° - 35° = 55°\).
Odpowiedź: \(55°\).
Przykład 4. Czworokąt wpisany w okrąg
Zadanie. Czworokąt \(ABCD\) jest wpisany w okrąg, \(\angle A = 70°\), \(\angle B = 80°\). Znajdź kąty \(C\) i \(D\).
Krok 1. Sumy przeciwległych kątów czworokąta wpisanego w okrąg wynoszą \(180°\): \(\angle C = 180° - \angle A = 180° - 70° = 110°\).
Krok 2. Analogicznie \(\angle D = 180° - \angle B = 180° - 80° = 100°\).
Sprawdzenie. \(70° + 80° + 110° + 100° = 360°\) — suma kątów czworokąta się zgadza.
Odpowiedź: \(\angle C = 110°\), \(\angle D = 100°\).
Częste błędy w zadaniach o kątach w okręgu
-
Mylenie kąta wpisanego z kątem środkowym: dla kąta z wierzchołkiem w środku bierze się połowę łuku (lub odwrotnie).
Najpierw spójrz na wierzchołek. Wierzchołek w środku \(O\) — kąt środkowy, równy całemu łukowi. Wierzchołek na okręgu — kąt wpisany, równy połowie łuku.
-
Wybieranie niewłaściwego łuku: dla kąta wpisanego liczy się łuk, na którym leży jego wierzchołek.
Kąt wpisany jest oparty na łuku, który leży „wewnątrz” kąta — wierzchołek zawsze znajduje się na drugim łuku. W zapisie \(\angle ABC\) kąt jest oparty na łuku \(AC\), który nie zawiera punktu \(B\).
-
Mnożenie i dzielenie przez 2 „w złą stronę”: przy przejściu od kąta wpisanego do środkowego dzieli się zamiast mnożyć.
Zapamiętaj: kąt wpisany jest „mały” (połowa łuku), kąt środkowy jest „duży” (cały łuk). Od wpisanego do środkowego — mnożymy przez 2, od środkowego do wpisanego — dzielimy.
-
Uznawanie za wpisany dowolnego kąta, którego ramiona przecinają okrąg — na przykład kąta między cięciwami przecinającymi się wewnątrz koła.
Kąt wpisany musi mieć wierzchołek na samym okręgu. Kąt z wierzchołkiem wewnątrz koła jest równy połowie sumy wyznaczonych łuków, a z wierzchołkiem poza kołem — połowie różnicy: to inne wzory.
-
W czworokącie wpisanym w okrąg przyrównywanie do $180°$ sumy kątów sąsiednich zamiast przeciwległych.
Własność działa tylko dla przeciwległych wierzchołków: \(\angle A + \angle C = 180°\) i \(\angle B + \angle D = 180°\). Kąty sąsiednie czworokąta wpisanego w okrąg mogą być dowolne.
Pytania i odpowiedzi
Ile wynosi kąt wpisany?
Kąt wpisany jest równy połowie łuku, na którym jest oparty. Na przykład, jeśli łuk wynosi 120°, kąt wpisany wynosi 60°. To właśnie twierdzenie o kącie wpisanym — główny wzór tego tematu.
Jak są powiązane kąt wpisany i kąt środkowy oparte na tym samym łuku?
Kąt środkowy jest dwa razy większy od kąta wpisanego: ∠AOC = 2·∠ABC. Kąt środkowy jest równy samemu łukowi, a kąt wpisany — jego połowie.
Dlaczego kąt wpisany oparty na średnicy jest równy 90°?
Średnica wyznacza półokrąg — łuk o mierze 180°. Kąt wpisany jest równy połowie łuku: 180° : 2 = 90°. Dlatego każdy trójkąt, w którym jeden bok jest średnicą okręgu opisanego, jest trójkątem prostokątnym.
Czy kąt wpisany może być rozwarty?
Tak. Jeśli łuk, na którym jest oparty kąt, jest większy niż 180°, kąt jest rozwarty: na przykład łukowi 210° odpowiada kąt wpisany 105°. Kąt wpisany jest jednak zawsze mniejszy niż 180°.
Czym jest kąt opisany i czym różni się od kąta wpisanego?
Kąt opisany tworzą dwie styczne poprowadzone do okręgu z jednego punktu zewnętrznego. Jego wierzchołek leży poza okręgiem, a jego miara jest równa połowie różnicy wyznaczonych łuków. Kąt wpisany ma wierzchołek na okręgu i jest równy połowie jednego łuku.
Jakie jeszcze rodzaje kątów w okręgu istnieją?
Oprócz kąta środkowego i wpisanego rozpatruje się kąt między cięciwami (wierzchołek wewnątrz koła — połowa sumy łuków), kąt między siecznymi z punktu zewnętrznego (połowa różnicy łuków) oraz kąt między styczną a cięciwą (połowa łuku zawartego wewnątrz). Wszystkie one wyrażają się przez łuki okręgu.
