Twierdzenie cosinusów: wzór, dowód i zadania

Twierdzenie cosinusów działa w każdym trójkącie — kąt prosty nie jest mu potrzebny. Wiąże ono trzy boki i jeden kąt, dlatego pozwala znaleźć bok, gdy znane są dwa pozostałe boki i kąt między nimi.

Sformułowanie. Kwadrat boku trójkąta jest równy sumie kwadratów dwóch pozostałych boków pomniejszonej o podwojony iloczyn tych boków i cosinus kąta między nimi.

Tutaj \(a\), \(b\), \(c\) — boki trójkąta, a \(C\) — kąt między bokami \(a\) i \(b\); bok \(c\) leży naprzeciwko tego kąta. Litery można wziąć dowolne — wzór jest symetryczny, dlatego ma trzy równoprawne zapisy:

Główna zasada podstawienia: kąt bierzemy ten, który jest zawarty między bokami z iloczynu, a znajdujemy bok leżący naprzeciwko niego. Jeśli weźmiemy kąt „sąsiedni”, wszystkie liczby będą z warunków zadania, a odpowiedź — błędna.

Podstawmy do wzoru kąt prosty, czyli \(C = 90°\). Cosinus kąta prostego jest równy zero, dlatego trzeci człon zeruje się całkowicie:

Otrzymaliśmy dokładnie twierdzenie Pitagorasa, znane z 8 klasy. Dlatego twierdzenie cosinusów nazywa się jego uogólnieniem: Pitagoras to „szczególny przypadek dla 90°”, a twierdzenie cosinusów działa dla wszystkich kątów naraz.

Wyrażenie \(-2ab\cos C\) wygodnie jest rozumieć jako korektę kąta nieprostego:

• kąt jest ostry, \(\cos C > 0\) — korekta jest odejmowana, bok \(c\) jest krótszy, niż podałby Pitagoras;
• kąt jest prosty, \(\cos C = 0\) — nie ma korekty, pozostaje \(c^2 = a^2 + b^2\);
• kąt jest rozwarty, \(\cos C < 0\) — korekta jest dodawana, bok \(c\) jest dłuższy.

Najkrótszy szkolny dowód jest współrzędnościowy. Umieśćmy wierzchołek \(C\) w początku układu współrzędnych, a bok \(b = CA\) skierujmy wzdłuż osi x. Wtedy współrzędne wierzchołków są następujące:

• \(C(0;\ 0)\) — początek układu współrzędnych;
• \(A(b;\ 0)\) — punkt na osi x w odległości \(b\) od początku;
• \(B(a\cos C;\ a\sin C)\) — wierzchołek w odległości \(a\) od początku pod kątem \(C\) do osi x.

Bok \(c\) to długość odcinka \(AB\). Obliczamy ją ze wzoru na odległość między dwoma punktami:

Rozwijamy nawiasy:

Grupujemy człony z \(a^2\) i stosujemy podstawową tożsamość trygonometryczną \(\sin^2 C + \cos^2 C = 1\):

Co należało dowieść. Zwróć uwagę: nigdzie nie było potrzeby, aby kąt \(C\) był ostry. Jeśli jest rozwarty, cosinus jest ujemny, współrzędna \(a\cos C\) odsuwa się w lewo od osi y, ale wszystkie obliczenia pozostają takie same — dlatego twierdzenie jest prawdziwe dla dowolnego trójkąta.

Z twierdzenia cosinusów wyznacza się sam cosinus — to jego główny wniosek. Pozwala on znaleźć kąt, gdy znane są wszystkie trzy boki:

W liczniku — suma kwadratów dwóch boków przyległych do kąta, minus kwadrat boku leżącego naprzeciwko niego. W mianowniku — podwojony iloczyn boków przyległych. Dla innych kątów wzory są takie same:

Kolejność rozwiązywania:

1. wybrać szukany kąt i określić, który bok leży naprzeciwko niego — jego kwadrat idzie do licznika ze znakiem minus;
2. obliczyć ułamek (mianownik jest zawsze dodatni, znak nadaje tylko licznik);
3. według tablicy wartości lub przez arcus cosinus znaleźć sam kąt.

Przydatna wskazówka: zacząć od najdłuższego boku. Naprzeciwko niego leży największy kąt, i tylko on może okazać się prosty lub rozwarty — pozostałe dwa kąty w trójkącie są zawsze ostre.

W zadaniach szkolnych kąty są prawie zawsze „tablicowe”: 30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 135°, 150°. Kąty ostre mają cosinus dodatni, kąt prosty ma cosinus równy zero, a kąty rozwarte — ujemny. Wartości dla kątów rozwartych uzyskuje się z wartości dla kątów ostrych według zasady redukcji \(\cos(180° - \alpha) = -\cos\alpha\): na przykład, \(\cos 120° = -\cos 60° = -0{,}5\).

Co to oznacza w praktyce: przy kącie rozwartym wyrażenie \(-2ab\cos C\) zamienia się na plus — minus razy minus. Dla kąta \(120°\) wzór wygląda tak:

Właśnie tutaj najczęściej traci się punkty: podstawia się \(0{,}5\) zamiast \(-0{,}5\) i otrzymuje się bok krótszy od obu danych. Jest to z góry niemożliwe — naprzeciwko kąta rozwartego leży najdłuższy bok trójkąta.

Twierdzenie cosinusów pozwala poznać typ trójkąta, nie mierząc kątów kątomierzem. Znak ułamka \(\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}\) zależy tylko od licznika: mianownik \(2ab\) jest zawsze dodatni. Oznacza to, że wystarczy porównać kwadrat najdłuższego boku z sumą kwadratów dwóch pozostałych.

Niech \(c\) będzie najdłuższym bokiem, wtedy naprzeciwko niego leży największy kąt \(C\):

• \(a^2 + b^2 > c^2\) → \(\cos C > 0\) → kąt \(C\) jest ostry. Pozostałe kąty są od niego mniejsze, co oznacza, że wszystkie trzy kąty są ostre — trójkąt jest ostro kątny;
• \(a^2 + b^2 = c^2\) → \(\cos C = 0\) → \(C = 90°\) — trójkąt jest prostokątny (to jest właśnie twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa);
• \(a^2 + b^2 < c^2\) → \(\cos C < 0\) → kąt \(C\) jest rozwarty — trójkąt jest rozwartokątny.

Nie trzeba sprawdzać pozostałych kątów: kąt prosty lub rozwarty w trójkącie może być tylko jeden. I nie zapomnij o nierówności trójkąta — jeśli najdłuższy bok jest nie mniejszy od sumy dwóch pozostałych, trójkąt o takich bokach w ogóle nie istnieje.

Oba twierdzenia rozwiązują ten sam problem — znajdują nieznane boki i kąty trójkąta — ale stosuje się je przy różnych zestawach danych. Twierdzenie sinusów wiąże bok i kąt do niego przeciwległy:

Stąd zasada wyboru: jeśli w warunkach zadania jest już para „bok i kąt naprzeciwko niego” — działa twierdzenie sinusów; jeśli takiej pary nie ma — zaczynamy od twierdzenia cosinusów. Ściąga dotycząca czterech szkolnych zestawów danych — w tabeli.

Często zadanie rozwiązuje się w dwóch krokach: najpierw twierdzenie cosinusów daje trzeci bok, a potem twierdzenie sinusów szybko znajduje pozostałe kąty.

Na egzaminie ósmoklasisty z matematyki twierdzenie cosinusów pojawia się w zadaniach z geometrii płaskiej — zarówno w pierwszej części, jak i w zadaniach otwartych. Typowe scenariusze to:

• Znajdź bok po dwóch bokach i kącie między nimi — bezpośrednie zastosowanie wzoru, najczęściej z kątami 60° lub 120°.
• Znajdź kąt lub jego cosinus po trzech bokach — wniosek \(\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}\). Jeśli w zadaniu jest napisane „znajdź \(\cos\angle A\)”, nie trzeba liczyć arcus cosinus: odpowiedzią jest właśnie ten ułamek, który należy zapisać.
• Przekątne równoległoboku. Przekątna dzieli równoległobok na dwa trójkąty, w których znane są dwa boki i kąt między nimi. Sąsiednie kąty równoległoboku sumują się do 180°, dlatego ich cosinusy są przeciwne: naprzeciwko kąta ostrego leży krótsza przekątna, naprzeciwko rozwartego — dłuższa.
• Typ trójkąta po trzech liczbach — porównanie \(a^2 + b^2\) z \(c^2\).
• Środkowa trójkąta. Wzór \(m_c = \frac{1}{2}\sqrt{2a^2 + 2b^2 - c^2}\) jest wyprowadzany przez dwukrotne zastosowanie twierdzenia cosinusów do dwóch sąsiednich kątów przy podstawie.

Wskazówka na egzaminie: zanim zaczniesz liczyć, zaznacz na rysunku kąt, który jest „ściśnięty” między znanymi bokami. Jeśli takiego kąta nie ma — twierdzenie cosinusów nie jest jeszcze stosowalne, trzeba szukać innej drogi.