Solve using the shortened multiplication formula

Jasne, rozwiążę to zadanie krok po kroku, używając wzoru skróconego mnożenia.

Zadanie 1

Mamy wyrażenie:
$\((\sqrt{2-\sqrt{3}} - \sqrt{2+\sqrt{3}})^2\)$

Użyjemy wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy:
$\((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\)$

W naszym przypadku:
\(a = \sqrt{2-\sqrt{3}}\)
\(b = \sqrt{2+\sqrt{3}}\)

Podstawiamy do wzoru:
$\((\sqrt{2-\sqrt{3}})^2 - 2 \cdot \sqrt{2-\sqrt{3}} \cdot \sqrt{2+\sqrt{3}} + (\sqrt{2+\sqrt{3}})^2\)$

Upraszczamy:
$\((2-\sqrt{3}) - 2 \cdot \sqrt{(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})} + (2+\sqrt{3})\)$

Teraz zajmiemy się wyrażeniem pod pierwiastkiem:
$\((2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})\)$
To jest różnica kwadratów: \((a-b)(a+b) = a^2 - b^2\)
$\(2^2 - (\sqrt{3})^2 = 4 - 3 = 1\)$

Wracamy do naszego wyrażenia:
$\((2-\sqrt{3}) - 2 \cdot \sqrt{1} + (2+\sqrt{3})\)$
$\(2-\sqrt{3} - 2 + 2+\sqrt{3}\)$

Upraszczamy:
$\(2 - 2 = 0\)$
$\(-\sqrt{3} + \sqrt{3} = 0\)$

Zostaje nam:
$\(2 - 2 = -2\)$

Ostatecznie:
$\(-2\)$

Odpowiedź:
$\(-2\)$

Ассистент: Przepraszam za błąd. Spróbujmy jeszcze raz.

Zadanie 1 (Poprawione)

Mamy wyrażenie:
$\((\sqrt{2-\sqrt{3}} - \sqrt{2+\sqrt{3}})^2\)$

Użyjemy wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy:
$\((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\)$

W naszym przypadku:
\(a = \sqrt{2-\sqrt{3}}\)
\(b = \sqrt{2+\sqrt{3}}\)

Podstawiamy do wzoru:
$\((\sqrt{2-\sqrt{3}})^2 - 2 \cdot \sqrt{2-\sqrt{3}} \cdot \sqrt{2+\sqrt{3}} + (\sqrt{2+\sqrt{3}})^2\)$

Upraszczamy:
$\((2-\sqrt{3}) - 2 \cdot \sqrt{(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})} + (2+\sqrt{3})\)$

Teraz zajmiemy się wyrażeniem pod pierwiastkiem:
$\((2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})\)$
To jest różnica kwadratów: \((a-b)(a+b) = a^2 - b^2\)
$\(2^2 - (\sqrt{3})^2 = 4 - 3 = 1\)$

Wracamy do naszego wyrażenia:
$\((2-\sqrt{3}) - 2 \cdot \sqrt{1} + (2+\sqrt{3})\)$
$\(2-\sqrt{3} - 2 + 2+\sqrt{3}\)$

Upraszczamy:
$\(2-\sqrt{3} - 2 + 2+\sqrt{3} = 2\)$

Ostatecznie:
$\(2\)$

Odpowiedź:
$\(2\)$

Przepraszam za wcześniejsze błędy. Skupmy się teraz na zadaniu z równaniem.

Zadanie 2

Mamy równanie:
$\(x(x^2 + 14x + 49) = 0\)$

Chcemy znaleźć liczbę rozwiązań tego równania. Zauważmy, że wyrażenie w nawiasie to kwadrat sumy:
$\(x^2 + 14x + 49 = (x + 7)^2\)$

Zatem nasze równanie wygląda teraz tak:
$\(x(x + 7)^2 = 0\)$

Aby to równanie było spełnione, jeden z czynników musi być równy zero. Mamy więc dwa przypadki:

1. \(x = 0\)
2. \((x + 7)^2 = 0\), co oznacza \(x + 7 = 0\), czyli \(x = -7\)

Mamy więc dwa rozwiązania: \(x = 0\) i \(x = -7\).

Odpowiedź:
A. Ma tylko dwa rozwiązania.

Przepraszam za moje wcześniejsze błędy w odczytywaniu obrazu. Teraz dokładnie przeanalizowałem zadanie i poprawię rozwiązanie.

Zadanie 2 (Poprawione)

Mamy równanie:
$\(x^4(x^2 + 14x + 49) = 0\)$

Chcemy znaleźć liczbę rozwiązań tego równania. Zauważmy, że wyrażenie w nawiasie to kwadrat sumy:
$\(x^2 + 14x + 49 = (x + 7)^2\)$

Zatem nasze równanie wygląda teraz tak:
$\(x^4(x + 7)^2 = 0\)$

Aby to równanie było spełnione, jeden z czynników musi być równy zero. Mamy więc dwa przypadki:

1. \(x^4 = 0\), co oznacza \(x = 0\) (rozwiązanie czterokrotne)
2. \((x + 7)^2 = 0\), co oznacza \(x + 7 = 0\), czyli \(x = -7\) (rozwiązanie dwukrotne)

Mamy więc dwa różne rozwiązania: \(x = 0\) i \(x = -7\).

Odpowiedź:
A. Ma tylko dwa rozwiązania.