Analiza zadań z matematyki: funkcje kwadratowe i działania na liczbach

Jasne, oto rozwiązanie zadań matematycznych przedstawionych na obrazku:

Zadanie 32.

Funkcja kwadratowa \(f\) jest określona wzorem \(f(x) = -5(x-3)^2 + \sqrt{2}\).

Zadanie 32.1.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Funkcja \(f\) przyjmuje wartość największą w przedziale \([0, 6]\) dla argumentu:

Analiza:
Funkcja jest kwadratowa o współczynniku \(a = -5\), co oznacza, że ramiona paraboli są skierowane w dół. Wierzchołek paraboli znajduje się w punkcie \(x=3\). Wartość największa funkcji w przedziale \([0, 6]\) będzie osiągnięta w wierzchołku, ponieważ \(x=3\) należy do tego przedziału.

• A. 0
• B. 3
• C. \(\pi\) (około 3.14)
• D. 6

Ponieważ wierzchołek znajduje się w \(x=3\), funkcja osiąga w nim wartość największą. Argumentem tym jest 3.

Odpowiedź: B. 3

Zadanie 32.2.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Funkcja \(f\) przyjmuje wartość najmniejszą w przedziale \([0, 6]\) dla argumentu:

Analiza:
Jak wspomniano, ramiona paraboli są skierowane w dół, a wierzchołek znajduje się w \(x=3\). Wartość najmniejsza funkcji w przedziale domkniętym będzie osiągnięta na jednym z krańców przedziału. Musimy porównać wartości funkcji w punktach \(x=0\) i \(x=6\).

• \(f(0) = -5(0-3)^2 + \sqrt{2} = -5(-3)^2 + \sqrt{2} = -5(9) + \sqrt{2} = -45 + \sqrt{2}\)
• \(f(6) = -5(6-3)^2 + \sqrt{2} = -5(3)^2 + \sqrt{2} = -5(9) + \sqrt{2} = -45 + \sqrt{2}\)

W tym przypadku, funkcja przyjmuje tę samą wartość najmniejszą na obu krańcach przedziału. Wśród podanych opcji znajdują się 0 i 6.

• A. 0
• B. 3
• C. \(\pi\)
• D. 6

Możemy wybrać zarówno A, jak i D, ponieważ oba argumenty dają tę samą najmniejszą wartość. Zazwyczaj w takich przypadkach wybiera się pierwszą poprawną opcję lub obie opcje są uznawane za poprawne. Patrząc na dostępne odpowiedzi, obie wartości \(0\) i \(6\) są na krańcach przedziału, gdzie funkcja przyjmuje wartość najmniejszą. Jeśli mielibyśmy wybrać tylko jedną odpowiedź, należałoby sprawdzić, czy w poleceniu nie ma dodatkowych wskazówek. Zakładając, że jedna z nich jest poprawna, obie są matematycznie uzasadnione.

Odpowiedź: A. 0 lub D. 6 (obie są poprawne, gdyż \(f(0) = f(6)\))

Oto rozwiązanie przedstawionych zadań:

Zadanie 1.

Liczby \(x\) oraz \(y\) są całkowite i dodatnie.
W wyniku dzielenia liczby \(x\) przez liczbę \(y\) otrzymano iloraz 20 i resztę 26.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba \(\frac{x}{y}\) jest równa:

Zgodnie z definicją dzielenia z resztą, możemy zapisać zależność między \(x\), \(y\), ilorazem i resztą jako:
\(x = qy + r\),
gdzie \(q\) to iloraz, a \(r\) to reszta.

W tym przypadku mamy:
\(q = 20\)
\(r = 26\)

Zatem:
\(x = 20y + 26\)

Chcemy wyrazić \(\frac{x}{y}\):
\(\frac{x}{y} = \frac{20y + 26}{y}\)

Możemy rozdzielić ułamek:
\(\frac{x}{y} = \frac{20y}{y} + \frac{26}{y}\)

Upraszczając, otrzymujemy:
\(\frac{x}{y} = 20 + \frac{26}{y}\)

Teraz porównajmy to z podanymi opcjami:
* A. \(26 + \frac{20}{y}\)
* B. \(26 + \frac{20}{x}\)
* C. \(20 + \frac{26}{y}\)
* D. \(20 + \frac{26}{x}\)

Wynik naszej analizy to \(20 + \frac{26}{y}\), co odpowiada opcji C.

Odpowiedź: C. \(20 + \frac{26}{y}\)

Zadanie 2.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba \(\frac{\sqrt{180} - \sqrt{15}}{\sqrt{12} - \sqrt{5}}\) jest równa:

Aby rozwiązać to zadanie, musimy uprościć licznik i mianownik ułamka, a następnie wykonać dzielenie.

Uproszczenie licznika:
\(\sqrt{180} = \sqrt{36 \times 5} = 6\sqrt{5}\)
\(\sqrt{15} = \sqrt{3 \times 5}\) (nie można dalej uprościć)
Licznik: \(6\sqrt{5} - \sqrt{15}\)

Uproszczenie mianownika:
\(\sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = 2\sqrt{3}\)
\(\sqrt{5}\) (nie można dalej uprościć)
Mianownik: \(2\sqrt{3} - \sqrt{5}\)

Teraz mamy:
\(\frac{6\sqrt{5} - \sqrt{15}}{2\sqrt{3} - \sqrt{5}}\)

Spróbujmy wyciągnąć wspólny czynnik w liczniku, aby zobaczyć, czy coś się uprości z mianownikiem:
\(6\sqrt{5} - \sqrt{15} = 6\sqrt{5} - \sqrt{3 \times 5}\)
Możemy wyciągnąć \(\sqrt{5}\):
\(\sqrt{5}(6 - \sqrt{3})\)

Teraz podstawiamy z powrotem do ułamka:
\(\frac{\sqrt{5}(6 - \sqrt{3})}{2\sqrt{3} - \sqrt{5}}\)

Wygląda na to, że nie ma prostego skrócenia. Spróbujmy inaczej. Zauważmy, że \(6 = 2 \times 3\). Spróbujmy inaczej spierwiastkować licznik i mianownik, tak aby pasowały do siebie.
Może wyciągniemy \(\sqrt{3}\) z licznika?
\(6\sqrt{5} - \sqrt{15} = \sqrt{3} (\frac{6\sqrt{5}}{\sqrt{3}} - \sqrt{5}) = \sqrt{3} (6\sqrt{\frac{5}{3}} - \sqrt{5})\) - to nie jest pomocne.

Sprawdźmy, czy licznik można inaczej przekształcić, aby pasował do mianownika.
Zauważmy, że \(6\sqrt{5} = 2\sqrt{3} \times \sqrt{15}\)? Nie.
Co jeśli pomnożymy licznik i mianownik przez sprzężenie mianownika, aby usunąć niewymierność:
Sprzężenie \(2\sqrt{3} - \sqrt{5}\) to \(2\sqrt{3} + \sqrt{5}\).

\((2\sqrt{3} - \sqrt{5})(2\sqrt{3} + \sqrt{5}) = (2\sqrt{3})^2 - (\sqrt{5})^2 = 4 \times 3 - 5 = 12 - 5 = 7\).

Teraz mnożymy licznik przez sprzężenie:
\((6\sqrt{5} - \sqrt{15})(2\sqrt{3} + \sqrt{5}) =\)
\(= 6\sqrt{5} \times 2\sqrt{3} + 6\sqrt{5} \times \sqrt{5} - \sqrt{15} \times 2\sqrt{3} - \sqrt{15} \times \sqrt{5}\)
\(= 12\sqrt{15} + 6 \times 5 - 2\sqrt{45} - \sqrt{75}\)
\(= 12\sqrt{15} + 30 - 2\sqrt{9 \times 5} - \sqrt{25 \times 3}\)
\(= 12\sqrt{15} + 30 - 2(3\sqrt{5}) - 5\sqrt{3}\)
\(= 12\sqrt{15} + 30 - 6\sqrt{5} - 5\sqrt{3}\)

Teraz dzielimy przez 7:
\(\frac{30 - 6\sqrt{5} - 5\sqrt{3} + 12\sqrt{15}}{7}\)

To wyrażenie nie wygląda na żadną z odpowiedzi. Wróćmy do początku i sprawdźmy dokładnie licznik i mianownik.
Licznik: \(\sqrt{180} - \sqrt{15} = 6\sqrt{5} - \sqrt{3}\sqrt{5} = \sqrt{5}(6 - \sqrt{3})\).
Mianownik: \(\sqrt{12} - \sqrt{5} = 2\sqrt{3} - \sqrt{5}\).

Może jest błąd w przepisywaniu zadania lub odpowiedzi? Sprawdźmy, czy można inaczej przekształcić licznik, aby otrzymać mianownik lub jego wielokrotność.
Zauważmy, że \(6 - \sqrt{3}\) jest w liczniku.
A w mianowniku mamy \(2\sqrt{3} - \sqrt{5}\).

Co jeśli pomnożymy licznik i mianownik przez \(\sqrt{3}\)?
\(\frac{\sqrt{180} - \sqrt{15}}{\sqrt{12} - \sqrt{5}} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{(\sqrt{180} - \sqrt{15})\sqrt{3}}{(\sqrt{12} - \sqrt{5})\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{540} - \sqrt{45}}{\sqrt{36} - \sqrt{15}} = \frac{\sqrt{36 \times 15} - \sqrt{9 \times 5}}{6 - \sqrt{15}} = \frac{6\sqrt{15} - 3\sqrt{5}}{6 - \sqrt{15}}\)
To też nie wygląda na rozwiązanie.

Spróbujmy przemnożyć licznik i mianownik przez \(\sqrt{5}\):
\(\frac{\sqrt{180} - \sqrt{15}}{\sqrt{12} - \sqrt{5}} \times \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \frac{(\sqrt{180} - \sqrt{15})\sqrt{5}}{(\sqrt{12} - \sqrt{5})\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{900} - \sqrt{75}}{\sqrt{60} - 5} = \frac{30 - \sqrt{25 \times 3}}{\sqrt{4 \times 15} - 5} = \frac{30 - 5\sqrt{3}}{2\sqrt{15} - 5}\)
To też nie prowadzi do prostego wyniku.

Wróćmy do formy: \(\frac{\sqrt{5}(6 - \sqrt{3})}{2\sqrt{3} - \sqrt{5}}\).
Czy jest możliwość, że w zadaniu miało być \(\sqrt{27}\) zamiast \(\sqrt{12}\) w mianowniku?
Jeśli mianownik byłby \(\sqrt{27} - \sqrt{5} = 3\sqrt{3} - \sqrt{5}\), to dalej nie pomaga.

Sprawdźmy opcje:
A. 5
B. (-5)
C. \(5\sqrt{3}\)
D. \((-5\sqrt{3})\)

Zauważmy, że \(\sqrt{180} = 6\sqrt{5}\). \(\sqrt{15} = \sqrt{3}\sqrt{5}\). \(\sqrt{12} = 2\sqrt{3}\).
Wyrażenie to: \(\frac{6\sqrt{5} - \sqrt{3}\sqrt{5}}{2\sqrt{3} - \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}(6-\sqrt{3})}{2\sqrt{3}-\sqrt{5}}\).

Rozważmy przypadek, gdy w liczniku jest \(\sqrt{5}(2\sqrt{3} - \sqrt{5})\) lub podobna struktura.
Jeśli licznik byłby \(\sqrt{5}(2\sqrt{3} - \sqrt{5}) = 2\sqrt{15} - 5\). To nie to.

Spróbujmy inaczej przekształcić licznik:
\(\sqrt{180} - \sqrt{15} = \sqrt{3 \times 60} - \sqrt{3 \times 5}\)
Może jest jakiś związek między liczbami 180, 15, 12, 5.
\(180 = 12 \times 15\)
\(15 = 3 \times 5\)
\(12 = 3 \times 4\)

Może błąd w treści zadania lub jest jakaś sztuczka.
Spróbujmy zauważyć, że:
\(6\sqrt{5} = \sqrt{36 \times 5} = \sqrt{180}\)
\(\sqrt{15}\)
\(2\sqrt{3} = \sqrt{4 \times 3} = \sqrt{12}\)
\(\sqrt{5}\)

Zauważmy, że jeśli pomnożymy licznik i mianownik przez \(\sqrt{3}\), to:
\(\frac{\sqrt{180} - \sqrt{15}}{\sqrt{12} - \sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{540} - \sqrt{45}}{6 - \sqrt{15}} = \frac{6\sqrt{15} - 3\sqrt{5}}{6 - \sqrt{15}}\)

Jeśli pomnożymy licznik i mianownik przez \(\sqrt{5}\), to:
\(\frac{\sqrt{180} - \sqrt{15}}{\sqrt{12} - \sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \frac{30 - \sqrt{75}}{2\sqrt{15} - 5} = \frac{30 - 5\sqrt{3}}{2\sqrt{15} - 5}\)

Jest bardzo prawdopodobne, że w treści zadania jest błąd lub w odpowiedziach.
Jednakże, gdyby licznik był \(\sqrt{5}(2\sqrt{3} - \sqrt{5}) = 2\sqrt{15} - \sqrt{25} = 2\sqrt{15} - 5\).
Wtedy \(\frac{2\sqrt{15} - 5}{2\sqrt{3} - \sqrt{5}}\). Mnożąc przez sprzężenie \(2\sqrt{3} + \sqrt{5}\):
\(\frac{(2\sqrt{15} - 5)(2\sqrt{3} + \sqrt{5})}{(2\sqrt{3} - \sqrt{5})(2\sqrt{3} + \sqrt{5})} = \frac{4\sqrt{45} + 2\sqrt{75} - 10\sqrt{3} - 5\sqrt{5}}{7}\)
\(= \frac{4(3\sqrt{5}) + 2(5\sqrt{3}) - 10\sqrt{3} - 5\sqrt{5}}{7} = \frac{12\sqrt{5} + 10\sqrt{3} - 10\sqrt{3} - 5\sqrt{5}}{7} = \frac{7\sqrt{5}}{7} = \sqrt{5}\).
To też nie jest jedna z odpowiedzi.

Spróbujmy innej transformacji licznika:
\(\sqrt{180} - \sqrt{15} = 6\sqrt{5} - \sqrt{3}\sqrt{5}\)
A mianownika: \(\sqrt{12} - \sqrt{5} = 2\sqrt{3} - \sqrt{5}\).

Możliwe, że licznik to \(\sqrt{5} \times (\text{coś co po skróceniu da 5 lub } -5)\).
Jeżeli wynik jest \(5\), to:
\(\frac{\sqrt{180} - \sqrt{15}}{\sqrt{12} - \sqrt{5}} = 5\)
\(\sqrt{180} - \sqrt{15} = 5(\sqrt{12} - \sqrt{5})\)
\(6\sqrt{5} - \sqrt{15} = 5\sqrt{12} - 5\sqrt{5}\)
\(6\sqrt{5} - \sqrt{3}\sqrt{5} = 5(2\sqrt{3}) - 5\sqrt{5}\)
\(6\sqrt{5} - \sqrt{3}\sqrt{5} = 10\sqrt{3} - 5\sqrt{5}\)
Przenosząc wszystko na jedną stronę:
\(11\sqrt{5} - 10\sqrt{3} - \sqrt{15} = 0\)
To nie jest prawda.

Jeżeli wynik jest \(-5\):
\(\sqrt{180} - \sqrt{15} = -5(\sqrt{12} - \sqrt{5})\)
\(6\sqrt{5} - \sqrt{15} = -5\sqrt{12} + 5\sqrt{5}\)
\(6\sqrt{5} - \sqrt{15} = -10\sqrt{3} + 5\sqrt{5}\)
Przenosząc wszystko na jedną stronę:
\(\sqrt{5} + 10\sqrt{3} - \sqrt{15} = 0\)
To też nie jest prawda.

Jeżeli wynik jest \(5\sqrt{3}\):
\(\sqrt{180} - \sqrt{15} = 5\sqrt{3}(\sqrt{12} - \sqrt{5})\)
\(6\sqrt{5} - \sqrt{15} = 5\sqrt{3} \times 2\sqrt{3} - 5\sqrt{3} \times \sqrt{5}\)
\(6\sqrt{5} - \sqrt{15} = 5 \times 2 \times 3 - 5\sqrt{15}\)
\(6\sqrt{5} - \sqrt{15} = 30 - 5\sqrt{15}\)
\(6\sqrt{5} + 4\sqrt{15} - 30 = 0\)
To też nie jest prawda.

Jeżeli wynik jest \(-5\sqrt{3}\):
\(\sqrt{180} - \sqrt{15} = -5\sqrt{3}(\sqrt{12} - \sqrt{5})\)
\(6\sqrt{5} - \sqrt{15} = -5\sqrt{3} \times 2\sqrt{3} + 5\sqrt{3} \times \sqrt{5}\)
\(6\sqrt{5} - \sqrt{15} = -5 \times 2 \times 3 + 5\sqrt{15}\)
\(6\sqrt{5} - \sqrt{15} = -30 + 5\sqrt{15}\)
\(6\sqrt{5} + 30 - 6\sqrt{15} = 0\)
$ \sqrt{5} + 5 - \sqrt{15} = 0 $
To też nie jest prawda.

Wniosek: Istnieje duże prawdopodobieństwo, że w treści zadania lub w odpowiedziach jest błąd.
Jednakże, jeśli spojrzymy na strukturę:
Licznik: \(\sqrt{180} - \sqrt{15} = \sqrt{15 \times 12} - \sqrt{15} = \sqrt{15}(\sqrt{12} - 1)\) - to nie jest poprawne.
$ \sqrt{180} = \sqrt{36 \times 5} = 6\sqrt{5} $
$ \sqrt{15} = \sqrt{3} \sqrt{5} $
$ \sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = 2\sqrt{3} $
Licznik \(= 6\sqrt{5} - \sqrt{3}\sqrt{5} = \sqrt{5}(6 - \sqrt{3})\)
Mianownik \(= 2\sqrt{3} - \sqrt{5}\)

Zastanówmy się, czy nie ma związku między \((6-\sqrt{3})\) a \((2\sqrt{3}-\sqrt{5})\).
Jeśli pomnożymy \((6-\sqrt{3})\) przez \(\sqrt{3}\): \(6\sqrt{3} - 3\).
Jeśli pomnożymy \((2\sqrt{3}-\sqrt{5})\) przez \(\sqrt{5}\): \(2\sqrt{15} - 5\).
Jeśli pomnożymy \((2\sqrt{3}-\sqrt{5})\) przez \(\sqrt{3}\): \(6 - \sqrt{15}\).

Możliwe jest, że błąd jest w \(\sqrt{15}\) w liczniku. Gdyby był \(\sqrt{75}\):
\(\sqrt{180} - \sqrt{75} = 6\sqrt{5} - 5\sqrt{3}\).
Wtedy mielibyśmy: \(\frac{6\sqrt{5} - 5\sqrt{3}}{2\sqrt{3} - \sqrt{5}}\).
Pomnóżmy przez sprzężenie \(2\sqrt{3} + \sqrt{5}\):
\(\frac{(6\sqrt{5} - 5\sqrt{3})(2\sqrt{3} + \sqrt{5})}{(2\sqrt{3} - \sqrt{5})(2\sqrt{3} + \sqrt{5})} = \frac{12\sqrt{15} + 6 \times 5 - 10 \times 3 - 5\sqrt{15}}{7}\)
\(= \frac{12\sqrt{15} + 30 - 30 - 5\sqrt{15}}{7} = \frac{7\sqrt{15}}{7} = \sqrt{15}\).
To też nie jest w odpowiedziach.

Co jeśli błąd jest w \(\sqrt{12}\) w mianowniku? Gdyby było \(\sqrt{180}\) i \(\sqrt{15}\) w liczniku, a w mianowniku np. \(\sqrt{180} - \sqrt{15}\). Wtedy wynik byłby 1.

Zgadnijmy na podstawie struktury i odpowiedzi. Odpowiedzi to liczby całkowite lub z \(\sqrt{3}\).
Zauważmy, że \(\sqrt{180} \approx 13.4\), \(\sqrt{15} \approx 3.87\), \(\sqrt{12} \approx 3.46\), \(\sqrt{5} \approx 2.23\).
Licznik \(\approx 13.4 - 3.87 = 9.53\).
Mianownik \(\approx 3.46 - 2.23 = 1.23\).
Wynik \(\approx \frac{9.53}{1.23} \approx 7.75\).
Najbliższa odpowiedź to \(5\sqrt{3} \approx 5 \times 1.732 = 8.66\).
Lub \(5\).

Najbardziej prawdopodobny błąd w zadaniu. Bez poprawnego zadania nie da się tego rozwiązać.
Gdyby licznik był: \(\sqrt{180} - \sqrt{12} = 6\sqrt{5} - 2\sqrt{3}\).
Wtedy \(\frac{6\sqrt{5} - 2\sqrt{3}}{2\sqrt{3} - \sqrt{5}}\). Mnożymy przez sprzężenie:
\(\frac{(6\sqrt{5} - 2\sqrt{3})(2\sqrt{3} + \sqrt{5})}{(2\sqrt{3} - \sqrt{5})(2\sqrt{3} + \sqrt{5})} = \frac{12\sqrt{15} + 30 - 12 - 2\sqrt{15}}{7} = \frac{10\sqrt{15} + 18}{7}\). Nadal nie pasuje.

Jeśli założymy, że odpowiedź C (\(5\sqrt{3}\)) jest poprawna, sprawdźmy jaki musiałby być licznik:
\(5\sqrt{3}(\sqrt{12} - \sqrt{5}) = 5\sqrt{3}(2\sqrt{3} - \sqrt{5}) = 5 \times 2 \times 3 - 5\sqrt{15} = 30 - 5\sqrt{15}\).
To nie jest \(\sqrt{180} - \sqrt{15} = 6\sqrt{5} - \sqrt{15}\).

Jeśli założymy, że odpowiedź A (5) jest poprawna:
\(5(\sqrt{12} - \sqrt{5}) = 5(2\sqrt{3} - \sqrt{5}) = 10\sqrt{3} - 5\sqrt{5}\).
To też nie jest \(\sqrt{180} - \sqrt{15}\).

Jeśli założymy, że odpowiedź B (-5) jest poprawna:
\(-5(\sqrt{12} - \sqrt{5}) = -10\sqrt{3} + 5\sqrt{5}\).
To też nie jest \(\sqrt{180} - \sqrt{15}\).

Jeśli założymy, że odpowiedź D (\(-5\sqrt{3}\)) jest poprawna:
\(-5\sqrt{3}(\sqrt{12} - \sqrt{5}) = -5\sqrt{3}(2\sqrt{3} - \sqrt{5}) = -30 + 5\sqrt{15}\).
To też nie jest \(\sqrt{180} - \sqrt{15}\).

Z braku możliwości uzyskania poprawnej odpowiedzi, przyznaję, że zadanie zawiera błąd.
Jednak, jeśli musiałbym wybrać najbardziej prawdopodobną odpowiedź, patrząc na przybliżone wartości, wynik był około 7.75, co jest najbliższe \(5\sqrt{3} \approx 8.66\). Może jednak jest jakiś sposób.

Ponowna analiza licznika:
\(\sqrt{180} - \sqrt{15} = 6\sqrt{5} - \sqrt{3}\sqrt{5} = \sqrt{5}(6 - \sqrt{3})\)
Ponowna analiza mianownika:
\(\sqrt{12} - \sqrt{5} = 2\sqrt{3} - \sqrt{5}\)

Czy istnieje związek między \((6-\sqrt{3})\) a \((2\sqrt{3}-\sqrt{5})\)?
Nie wydaje się.

Jedyna szansa to błąd w treści. Gdyby licznik był np. \(\sqrt{75} - \sqrt{15} = 5\sqrt{3} - \sqrt{3}\sqrt{5} = \sqrt{3}(5-\sqrt{5})\).
Wtedy: \(\frac{\sqrt{3}(5-\sqrt{5})}{2\sqrt{3}-\sqrt{5}}\). Nadal nie wygląda na proste skrócenie.

Gdyby licznik był \(\sqrt{5}(2\sqrt{3}-\sqrt{5}) = 2\sqrt{15} - 5\).
Wtedy: \(\frac{2\sqrt{15} - 5}{2\sqrt{3} - \sqrt{5}}\).
Pomnożenie przez \(\sqrt{5}\) daje: \(\frac{(2\sqrt{15} - 5)\sqrt{5}}{(2\sqrt{3} - \sqrt{5})\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{75} - 5\sqrt{5}}{2\sqrt{15} - 5} = \frac{2(5\sqrt{3}) - 5\sqrt{5}}{2\sqrt{15} - 5} = \frac{10\sqrt{3} - 5\sqrt{5}}{2\sqrt{15} - 5}\).

Prawdopodobny błąd w zadaniu.

Oto rozwiązanie przedstawionych zadań:

Zadanie 9.

Rozwiązaniem układu równań
$$
\begin{cases}
20x + 20y = 1 \
26x - 26y = 1
\end{cases}
$$
jest para liczb \(x = x_0, y = y_0\).

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Aby rozwiązać ten układ, możemy skorzystać z metody podstawiania lub przeciwnych współczynników.
Z pierwszego równania wyciągnijmy wspólny czynnik:
\(20(x+y) = 1 \implies x+y = \frac{1}{20}\)

Z drugiego równania wyciągnijmy wspólny czynnik:
\(26(x-y) = 1 \implies x-y = \frac{1}{26}\)

Mamy teraz prostszy układ:
$$
\begin{cases}
x+y = \frac{1}{20} \
x-y = \frac{1}{26}
\end{cases}
$$

Dodajmy oba równania stronami, aby wyeliminować \(y\):
\((x+y) + (x-y) = \frac{1}{20} + \frac{1}{26}\)
\(2x = \frac{1 \times 13}{20 \times 13} + \frac{1 \times 10}{26 \times 10}\)
\(2x = \frac{13}{260} + \frac{10}{260}\)
\(2x = \frac{23}{260}\)
\(x_0 = x = \frac{23}{520}\)

Teraz odejmijmy drugie równanie od pierwszego, aby wyeliminować \(x\):
\((x+y) - (x-y) = \frac{1}{20} - \frac{1}{26}\)
\(2y = \frac{13}{260} - \frac{10}{260}\)
\(2y = \frac{3}{260}\)
\(y_0 = y = \frac{3}{520}\)

Rozwiązaniem układu jest para \((x_0, y_0) = (\frac{23}{520}, \frac{3}{520})\).

Stwierdzenie 1: Suma \(x_0 + y_0\) jest liczbą dodatnią.
\(x_0 + y_0 = \frac{23}{520} + \frac{3}{520} = \frac{26}{520} = \frac{1}{20}\).
\(\frac{1}{20}\) jest liczbą dodatnią.
Odpowiedź: P (Prawdziwe)

Stwierdzenie 2: Iloczyn \(x_0 \cdot y_0\) jest liczbą dodatnią.
\(x_0 \cdot y_0 = \frac{23}{520} \times \frac{3}{520} = \frac{69}{270400}\).
Jest to iloczyn dwóch liczb dodatnich, więc wynik jest dodatni.
Odpowiedź: P (Prawdziwe)

Zadanie 10.

Funkcja liniowa \(f\) jest określona wzorem \(f(x) = (k+2)x + (k-3)\), gdzie \(k\) jest liczbą rzeczywistą.

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Funkcja liniowa ma postać \(f(x) = ax + b\). W tym przypadku \(a = k+2\) i \(b = k-3\).

Stwierdzenie 1: Funkcja \(f\) jest malejąca dla każdej liczby \(k\) należącej do przedziału \((-\infty, 2)\).
Funkcja liniowa jest malejąca, gdy współczynnik kierunkowy \(a\) jest ujemny. W naszym przypadku \(a = k+2\).
Funkcja jest malejąca, gdy \(k+2 < 0\), co oznacza \(k < -2\).
Przedział podany w stwierdzeniu to \((-\infty, 2)\). Ten przedział zawiera liczby większe niż \(-2\), dla których funkcja nie jest malejąca (np. dla \(k=0\), \(a=2>0\), funkcja jest rosnąca).
Zatem stwierdzenie jest fałszywe.
Odpowiedź: F (Fałszywe)

Stwierdzenie 2: W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) wykres funkcji \(f\) przechodzi przez punkt \((0, 1)\) dla \(k = 4\).
Aby sprawdzić, czy wykres funkcji przechodzi przez punkt \((0, 1)\), podstawiamy współrzędne punktu do wzoru funkcji i sprawdzamy, czy równanie jest spełnione dla danego \(k\).
Punkt \((0, 1)\) oznacza, że gdy \(x=0\), to \(y=f(x)=1\).
\(f(x) = (k+2)x + (k-3)\)
Podstawiamy \(x=0\) i \(f(x)=1\):
\(1 = (k+2)(0) + (k-3)\)
\(1 = 0 + k-3\)
\(1 = k-3\)
\(k = 1 + 3\)
\(k = 4\)

Zatem wykres funkcji przechodzi przez punkt \((0, 1)\), gdy \(k=4\). Stwierdzenie jest prawdziwe.
Odpowiedź: P (Prawdziwe)

Oto rozwiązanie zadania 11:

Zadanie 11.

Funkcja \(f\) jest określona następująco:
$$
f(x) = \begin{cases}
x+5 & \text{dla } x \in [-4, -2] \
x+3 & \text{dla } x \in [-2, 1] \
-2x+5 & \text{dla } x \in (1, 3]
\end{cases}
$$
Wykres funkcji \(y=f(x)\) przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych na rysunku poniżej.

(Na podstawie definicji funkcji i wykresu możemy analizować jej monotoniczność w poszczególnych przedziałach)

Zadanie 11.1.

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Stwierdzenie 1: Funkcja \(f\) jest rosnąca w przedziale \([-4, -2]\).
Analizujemy pierwszy fragment funkcji: \(f(x) = x+5\) dla \(x \in [-4, -2]\). Jest to funkcja liniowa, której współczynnik kierunkowy wynosi \(a=1\). Ponieważ \(a > 0\), funkcja jest rosnąca.
Możemy sprawdzić wartości na krańcach przedziału:
Dla \(x = -4\): \(f(-4) = -4 + 5 = 1\). Punkt \((-4, 1)\).
Dla \(x = -2\): \(f(-2) = -2 + 5 = 3\). Punkt \((-2, 3)\).
Wykres na tym odcinku faktycznie rośnie od punktu \((-4, 1)\) do \((-2, 3)\).
Odpowiedź: P (Prawdziwe)

Stwierdzenie 2: Funkcja \(f\) jest malejąca w przedziale \([1, 3]\).
Analizujemy trzeci fragment funkcji: \(f(x) = -2x+5\) dla \(x \in (1, 3]\). Jest to funkcja liniowa, której współczynnik kierunkowy wynosi \(a=-2\). Ponieważ \(a < 0\), funkcja jest malejąca.
Zauważmy, że przedział dla tej funkcji to \((1, 3]\). Punkt \(x=1\) jest granicą między drugim a trzecim fragmentem.
Sprawdźmy wartości:
Dla \(x=1\) (z poprzedniego fragmentu): \(f(1) = 1+3 = 4\). Punkt \((1, 4)\).
Dla \(x=3\): \(f(3) = -2(3) + 5 = -6 + 5 = -1\). Punkt \((3, -1)\).
Wykres na odcinku od \(x=1\) do \(x=3\) (zaczynając od punktu (1,4) - ale tutaj jest luka, punkt (1,4) jest zamknięty, a odcinek \(-2x+5\) zaczyna się od \(x>1\)) maleje od punktu (1,4) (który nie jest uwzględniony w tym przedziale, więc zaczyna się "nieco niżej") do \((3, -1)\).
Jednakże, punkt \((1,4)\) jest końcem drugiego przedziału. A funkcja w przedziale \((1, 3]\) jest opisana wzorem \(-2x+5\). Na wykresie widać, że funkcja jest malejąca dla \(x\) z przedziału \((1, 3]\).
Odpowiedź: P (Prawdziwe)