Jasne, oto rozwiązanie zadań matematycznych przedstawionych na obrazku:

Zadanie 32.

Funkcja kwadratowa $f$ jest określona wzorem $f(x) = -5(x-3)^2 + \sqrt{2}$.

Zadanie 32.1.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Funkcja $f$ przyjmuje wartość największą w przedziale $[0, 6]$ dla argumentu:

Analiza:
Funkcja jest kwadratowa o współczynniku $a = -5$, co oznacza, że ramiona paraboli są skierowane w dół. Wierzchołek paraboli znajduje się w punkcie $x=3$. Wartość największa funkcji w przedziale $[0, 6]$ będzie osiągnięta w wierzchołku, ponieważ $x=3$ należy do tego przedziału.

• A. 0
• B. 3
• C. $\pi$ (około 3.14)
• D. 6

Ponieważ wierzchołek znajduje się w $x=3$, funkcja osiąga w nim wartość największą. Argumentem tym jest 3.

Odpowiedź: B. 3

Zadanie 32.2.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Funkcja $f$ przyjmuje wartość najmniejszą w przedziale $[0, 6]$ dla argumentu:

Analiza:
Jak wspomniano, ramiona paraboli są skierowane w dół, a wierzchołek znajduje się w $x=3$. Wartość najmniejsza funkcji w przedziale domkniętym będzie osiągnięta na jednym z krańców przedziału. Musimy porównać wartości funkcji w punktach $x=0$ i $x=6$.

• $f(0) = -5(0-3)^2 + \sqrt{2} = -5(-3)^2 + \sqrt{2} = -5(9) + \sqrt{2} = -45 + \sqrt{2}$
• $f(6) = -5(6-3)^2 + \sqrt{2} = -5(3)^2 + \sqrt{2} = -5(9) + \sqrt{2} = -45 + \sqrt{2}$

W tym przypadku, funkcja przyjmuje tę samą wartość najmniejszą na obu krańcach przedziału. Wśród podanych opcji znajdują się 0 i 6.

• A. 0
• B. 3
• C. $\pi$
• D. 6

Możemy wybrać zarówno A, jak i D, ponieważ oba argumenty dają tę samą najmniejszą wartość. Zazwyczaj w takich przypadkach wybiera się pierwszą poprawną opcję lub obie opcje są uznawane za poprawne. Patrząc na dostępne odpowiedzi, obie wartości $0$ i $6$ są na krańcach przedziału, gdzie funkcja przyjmuje wartość najmniejszą. Jeśli mielibyśmy wybrać tylko jedną odpowiedź, należałoby sprawdzić, czy w poleceniu nie ma dodatkowych wskazówek. Zakładając, że jedna z nich jest poprawna, obie są matematycznie uzasadnione.

Odpowiedź: A. 0 lub D. 6 (obie są poprawne, gdyż $f(0) = f(6)$)

Oto rozwiązanie przedstawionych zadań:

Zadanie 1.

Liczby $x$ oraz $y$ są całkowite i dodatnie.
W wyniku dzielenia liczby $x$ przez liczbę $y$ otrzymano iloraz 20 i resztę 26.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba $\frac{x}{y}$ jest równa:

Zgodnie z definicją dzielenia z resztą, możemy zapisać zależność między $x$, $y$, ilorazem i resztą jako:
$x = qy + r$,
gdzie $q$ to iloraz, a $r$ to reszta.

W tym przypadku mamy:
$q = 20$
$r = 26$

Zatem:
$x = 20y + 26$

Chcemy wyrazić $\frac{x}{y}$:
$\frac{x}{y} = \frac{20y + 26}{y}$

Możemy rozdzielić ułamek:
$\frac{x}{y} = \frac{20y}{y} + \frac{26}{y}$

Upraszczając, otrzymujemy:
$\frac{x}{y} = 20 + \frac{26}{y}$

Teraz porównajmy to z podanymi opcjami:
* A. $26 + \frac{20}{y}$
* B. $26 + \frac{20}{x}$
* C. $20 + \frac{26}{y}$
* D. $20 + \frac{26}{x}$

Wynik naszej analizy to $20 + \frac{26}{y}$, co odpowiada opcji C.

Odpowiedź: C. $20 + \frac{26}{y}$

Zadanie 2.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba $\frac{\sqrt{180} - \sqrt{15}}{\sqrt{12} - \sqrt{5}}$ jest równa:

Aby rozwiązać to zadanie, musimy uprościć licznik i mianownik ułamka, a następnie wykonać dzielenie.

Uproszczenie licznika:
$\sqrt{180} = \sqrt{36 \times 5} = 6\sqrt{5}$
$\sqrt{15} = \sqrt{3 \times 5}$ (nie można dalej uprościć)
Licznik: $6\sqrt{5} - \sqrt{15}$

Uproszczenie mianownika:
$\sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = 2\sqrt{3}$
$\sqrt{5}$ (nie można dalej uprościć)
Mianownik: $2\sqrt{3} - \sqrt{5}$

Teraz mamy:
$\frac{6\sqrt{5} - \sqrt{15}}{2\sqrt{3} - \sqrt{5}}$

Spróbujmy wyciągnąć wspólny czynnik w liczniku, aby zobaczyć, czy coś się uprości z mianownikiem:
$6\sqrt{5} - \sqrt{15} = 6\sqrt{5} - \sqrt{3 \times 5}$
Możemy wyciągnąć $\sqrt{5}$:
$\sqrt{5}(6 - \sqrt{3})$

Teraz podstawiamy z powrotem do ułamka:
$\frac{\sqrt{5}(6 - \sqrt{3})}{2\sqrt{3} - \sqrt{5}}$

Wygląda na to, że nie ma prostego skrócenia. Spróbujmy inaczej. Zauważmy, że $6 = 2 \times 3$. Spróbujmy inaczej spierwiastkować licznik i mianownik, tak aby pasowały do siebie.
Może wyciągniemy $\sqrt{3}$ z licznika?
$6\sqrt{5} - \sqrt{15} = \sqrt{3} (\frac{6\sqrt{5}}{\sqrt{3}} - \sqrt{5}) = \sqrt{3} (6\sqrt{\frac{5}{3}} - \sqrt{5})$ - to nie jest pomocne.

Sprawdźmy, czy licznik można inaczej przekształcić, aby pasował do mianownika.
Zauważmy, że $6\sqrt{5} = 2\sqrt{3} \times \sqrt{15}$? Nie.
Co jeśli pomnożymy licznik i mianownik przez sprzężenie mianownika, aby usunąć niewymierność:
Sprzężenie $2\sqrt{3} - \sqrt{5}$ to $2\sqrt{3} + \sqrt{5}$.

$(2\sqrt{3} - \sqrt{5})(2\sqrt{3} + \sqrt{5}) = (2\sqrt{3})^2 - (\sqrt{5})^2 = 4 \times 3 - 5 = 12 - 5 = 7$.

Teraz mnożymy licznik przez sprzężenie:
$(6\sqrt{5} - \sqrt{15})(2\sqrt{3} + \sqrt{5}) =$
$= 6\sqrt{5} \times 2\sqrt{3} + 6\sqrt{5} \times \sqrt{5} - \sqrt{15} \times 2\sqrt{3} - \sqrt{15} \times \sqrt{5}$
$= 12\sqrt{15} + 6 \times 5 - 2\sqrt{45} - \sqrt{75}$
$= 12\sqrt{15} + 30 - 2\sqrt{9 \times 5} - \sqrt{25 \times 3}$
$= 12\sqrt{15} + 30 - 2(3\sqrt{5}) - 5\sqrt{3}$
$= 12\sqrt{15} + 30 - 6\sqrt{5} - 5\sqrt{3}$

Teraz dzielimy przez 7:
$\frac{30 - 6\sqrt{5} - 5\sqrt{3} + 12\sqrt{15}}{7}$

To wyrażenie nie wygląda na żadną z odpowiedzi. Wróćmy do początku i sprawdźmy dokładnie licznik i mianownik.
Licznik: $\sqrt{180} - \sqrt{15} = 6\sqrt{5} - \sqrt{3}\sqrt{5} = \sqrt{5}(6 - \sqrt{3})$.
Mianownik: $\sqrt{12} - \sqrt{5} = 2\sqrt{3} - \sqrt{5}$.

Może jest błąd w przepisywaniu zadania lub odpowiedzi? Sprawdźmy, czy można inaczej przekształcić licznik, aby otrzymać mianownik lub jego wielokrotność.
Zauważmy, że $6 - \sqrt{3}$ jest w liczniku.
A w mianowniku mamy $2\sqrt{3} - \sqrt{5}$.

Co jeśli pomnożymy licznik i mianownik przez $\sqrt{3}$?
$\frac{\sqrt{180} - \sqrt{15}}{\sqrt{12} - \sqrt{5}} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{(\sqrt{180} - \sqrt{15})\sqrt{3}}{(\sqrt{12} - \sqrt{5})\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{540} - \sqrt{45}}{\sqrt{36} - \sqrt{15}} = \frac{\sqrt{36 \times 15} - \sqrt{9 \times 5}}{6 - \sqrt{15}} = \frac{6\sqrt{15} - 3\sqrt{5}}{6 - \sqrt{15}}$
To też nie wygląda na rozwiązanie.

Spróbujmy przemnożyć licznik i mianownik przez $\sqrt{5}$:
$\frac{\sqrt{180} - \sqrt{15}}{\sqrt{12} - \sqrt{5}} \times \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \frac{(\sqrt{180} - \sqrt{15})\sqrt{5}}{(\sqrt{12} - \sqrt{5})\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{900} - \sqrt{75}}{\sqrt{60} - 5} = \frac{30 - \sqrt{25 \times 3}}{\sqrt{4 \times 15} - 5} = \frac{30 - 5\sqrt{3}}{2\sqrt{15} - 5}$
To też nie prowadzi do prostego wyniku.

Wróćmy do formy: $\frac{\sqrt{5}(6 - \sqrt{3})}{2\sqrt{3} - \sqrt{5}}$.
Czy jest możliwość, że w zadaniu miało być $\sqrt{27}$ zamiast $\sqrt{12}$ w mianowniku?
Jeśli mianownik byłby $\sqrt{27} - \sqrt{5} = 3\sqrt{3} - \sqrt{5}$, to dalej nie pomaga.

Sprawdźmy opcje:
A. 5
B. (-5)
C. $5\sqrt{3}$
D. $(-5\sqrt{3})$

Zauważmy, że $\sqrt{180} = 6\sqrt{5}$. $\sqrt{15} = \sqrt{3}\sqrt{5}$. $\sqrt{12} = 2\sqrt{3}$.
Wyrażenie to: $\frac{6\sqrt{5} - \sqrt{3}\sqrt{5}}{2\sqrt{3} - \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}(6-\sqrt{3})}{2\sqrt{3}-\sqrt{5}}$.

Rozważmy przypadek, gdy w liczniku jest $\sqrt{5}(2\sqrt{3} - \sqrt{5})$ lub podobna struktura.
Jeśli licznik byłby $\sqrt{5}(2\sqrt{3} - \sqrt{5}) = 2\sqrt{15} - 5$. To nie to.

Spróbujmy inaczej przekształcić licznik:
$\sqrt{180} - \sqrt{15} = \sqrt{3 \times 60} - \sqrt{3 \times 5}$
Może jest jakiś związek między liczbami 180, 15, 12, 5.
$180 = 12 \times 15$
$15 = 3 \times 5$
$12 = 3 \times 4$

Może błąd w treści zadania lub jest jakaś sztuczka.
Spróbujmy zauważyć, że:
$6\sqrt{5} = \sqrt{36 \times 5} = \sqrt{180}$
$\sqrt{15}$
$2\sqrt{3} = \sqrt{4 \times 3} = \sqrt{12}$
$\sqrt{5}$

Zauważmy, że jeśli pomnożymy licznik i mianownik przez $\sqrt{3}$, to:
$\frac{\sqrt{180} - \sqrt{15}}{\sqrt{12} - \sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{540} - \sqrt{45}}{6 - \sqrt{15}} = \frac{6\sqrt{15} - 3\sqrt{5}}{6 - \sqrt{15}}$

Jeśli pomnożymy licznik i mianownik przez $\sqrt{5}$, to:
$\frac{\sqrt{180} - \sqrt{15}}{\sqrt{12} - \sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \frac{30 - \sqrt{75}}{2\sqrt{15} - 5} = \frac{30 - 5\sqrt{3}}{2\sqrt{15} - 5}$

Jest bardzo prawdopodobne, że w treści zadania jest błąd lub w odpowiedziach.
Jednakże, gdyby licznik był $\sqrt{5}(2\sqrt{3} - \sqrt{5}) = 2\sqrt{15} - \sqrt{25} = 2\sqrt{15} - 5$.
Wtedy $\frac{2\sqrt{15} - 5}{2\sqrt{3} - \sqrt{5}}$. Mnożąc przez sprzężenie $2\sqrt{3} + \sqrt{5}$:
$\frac{(2\sqrt{15} - 5)(2\sqrt{3} + \sqrt{5})}{(2\sqrt{3} - \sqrt{5})(2\sqrt{3} + \sqrt{5})} = \frac{4\sqrt{45} + 2\sqrt{75} - 10\sqrt{3} - 5\sqrt{5}}{7}$
$= \frac{4(3\sqrt{5}) + 2(5\sqrt{3}) - 10\sqrt{3} - 5\sqrt{5}}{7} = \frac{12\sqrt{5} + 10\sqrt{3} - 10\sqrt{3} - 5\sqrt{5}}{7} = \frac{7\sqrt{5}}{7} = \sqrt{5}$.
To też nie jest jedna z odpowiedzi.

Spróbujmy innej transformacji licznika:
$\sqrt{180} - \sqrt{15} = 6\sqrt{5} - \sqrt{3}\sqrt{5}$
A mianownika: $\sqrt{12} - \sqrt{5} = 2\sqrt{3} - \sqrt{5}$.

Możliwe, że licznik to $\sqrt{5} \times (\text{coś co po skróceniu da 5 lub } -5)$.
Jeżeli wynik jest $5$, to:
$\frac{\sqrt{180} - \sqrt{15}}{\sqrt{12} - \sqrt{5}} = 5$
$\sqrt{180} - \sqrt{15} = 5(\sqrt{12} - \sqrt{5})$
$6\sqrt{5} - \sqrt{15} = 5\sqrt{12} - 5\sqrt{5}$
$6\sqrt{5} - \sqrt{3}\sqrt{5} = 5(2\sqrt{3}) - 5\sqrt{5}$
$6\sqrt{5} - \sqrt{3}\sqrt{5} = 10\sqrt{3} - 5\sqrt{5}$
Przenosząc wszystko na jedną stronę:
$11\sqrt{5} - 10\sqrt{3} - \sqrt{15} = 0$
To nie jest prawda.

Jeżeli wynik jest $-5$:
$\sqrt{180} - \sqrt{15} = -5(\sqrt{12} - \sqrt{5})$
$6\sqrt{5} - \sqrt{15} = -5\sqrt{12} + 5\sqrt{5}$
$6\sqrt{5} - \sqrt{15} = -10\sqrt{3} + 5\sqrt{5}$
Przenosząc wszystko na jedną stronę:
$\sqrt{5} + 10\sqrt{3} - \sqrt{15} = 0$
To też nie jest prawda.

Jeżeli wynik jest $5\sqrt{3}$:
$\sqrt{180} - \sqrt{15} = 5\sqrt{3}(\sqrt{12} - \sqrt{5})$
$6\sqrt{5} - \sqrt{15} = 5\sqrt{3} \times 2\sqrt{3} - 5\sqrt{3} \times \sqrt{5}$
$6\sqrt{5} - \sqrt{15} = 5 \times 2 \times 3 - 5\sqrt{15}$
$6\sqrt{5} - \sqrt{15} = 30 - 5\sqrt{15}$
$6\sqrt{5} + 4\sqrt{15} - 30 = 0$
To też nie jest prawda.

Jeżeli wynik jest $-5\sqrt{3}$:
$\sqrt{180} - \sqrt{15} = -5\sqrt{3}(\sqrt{12} - \sqrt{5})$
$6\sqrt{5} - \sqrt{15} = -5\sqrt{3} \times 2\sqrt{3} + 5\sqrt{3} \times \sqrt{5}$
$6\sqrt{5} - \sqrt{15} = -5 \times 2 \times 3 + 5\sqrt{15}$
$6\sqrt{5} - \sqrt{15} = -30 + 5\sqrt{15}$
$6\sqrt{5} + 30 - 6\sqrt{15} = 0$
$ \sqrt{5} + 5 - \sqrt{15} = 0 $
To też nie jest prawda.

Wniosek: Istnieje duże prawdopodobieństwo, że w treści zadania lub w odpowiedziach jest błąd.
Jednakże, jeśli spojrzymy na strukturę:
Licznik: $\sqrt{180} - \sqrt{15} = \sqrt{15 \times 12} - \sqrt{15} = \sqrt{15}(\sqrt{12} - 1)$ - to nie jest poprawne.
$ \sqrt{180} = \sqrt{36 \times 5} = 6\sqrt{5} $
$ \sqrt{15} = \sqrt{3} \sqrt{5} $
$ \sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = 2\sqrt{3} $
Licznik $= 6\sqrt{5} - \sqrt{3}\sqrt{5} = \sqrt{5}(6 - \sqrt{3})$
Mianownik $= 2\sqrt{3} - \sqrt{5}$

Zastanówmy się, czy nie ma związku między $(6-\sqrt{3})$ a $(2\sqrt{3}-\sqrt{5})$.
Jeśli pomnożymy $(6-\sqrt{3})$ przez $\sqrt{3}$: $6\sqrt{3} - 3$.
Jeśli pomnożymy $(2\sqrt{3}-\sqrt{5})$ przez $\sqrt{5}$: $2\sqrt{15} - 5$.
Jeśli pomnożymy $(2\sqrt{3}-\sqrt{5})$ przez $\sqrt{3}$: $6 - \sqrt{15}$.

Możliwe jest, że błąd jest w $\sqrt{15}$ w liczniku. Gdyby był $\sqrt{75}$:
$\sqrt{180} - \sqrt{75} = 6\sqrt{5} - 5\sqrt{3}$.
Wtedy mielibyśmy: $\frac{6\sqrt{5} - 5\sqrt{3}}{2\sqrt{3} - \sqrt{5}}$.
Pomnóżmy przez sprzężenie $2\sqrt{3} + \sqrt{5}$:
$\frac{(6\sqrt{5} - 5\sqrt{3})(2\sqrt{3} + \sqrt{5})}{(2\sqrt{3} - \sqrt{5})(2\sqrt{3} + \sqrt{5})} = \frac{12\sqrt{15} + 6 \times 5 - 10 \times 3 - 5\sqrt{15}}{7}$
$= \frac{12\sqrt{15} + 30 - 30 - 5\sqrt{15}}{7} = \frac{7\sqrt{15}}{7} = \sqrt{15}$.
To też nie jest w odpowiedziach.

Co jeśli błąd jest w $\sqrt{12}$ w mianowniku? Gdyby było $\sqrt{180}$ i $\sqrt{15}$ w liczniku, a w mianowniku np. $\sqrt{180} - \sqrt{15}$. Wtedy wynik byłby 1.

Zgadnijmy na podstawie struktury i odpowiedzi. Odpowiedzi to liczby całkowite lub z $\sqrt{3}$.
Zauważmy, że $\sqrt{180} \approx 13.4$, $\sqrt{15} \approx 3.87$, $\sqrt{12} \approx 3.46$, $\sqrt{5} \approx 2.23$.
Licznik $\approx 13.4 - 3.87 = 9.53$.
Mianownik $\approx 3.46 - 2.23 = 1.23$.
Wynik $\approx \frac{9.53}{1.23} \approx 7.75$.
Najbliższa odpowiedź to $5\sqrt{3} \approx 5 \times 1.732 = 8.66$.
Lub $5$.

Najbardziej prawdopodobny błąd w zadaniu. Bez poprawnego zadania nie da się tego rozwiązać.
Gdyby licznik był: $\sqrt{180} - \sqrt{12} = 6\sqrt{5} - 2\sqrt{3}$.
Wtedy $\frac{6\sqrt{5} - 2\sqrt{3}}{2\sqrt{3} - \sqrt{5}}$. Mnożymy przez sprzężenie:
$\frac{(6\sqrt{5} - 2\sqrt{3})(2\sqrt{3} + \sqrt{5})}{(2\sqrt{3} - \sqrt{5})(2\sqrt{3} + \sqrt{5})} = \frac{12\sqrt{15} + 30 - 12 - 2\sqrt{15}}{7} = \frac{10\sqrt{15} + 18}{7}$. Nadal nie pasuje.

Jeśli założymy, że odpowiedź C ($5\sqrt{3}$) jest poprawna, sprawdźmy jaki musiałby być licznik:
$5\sqrt{3}(\sqrt{12} - \sqrt{5}) = 5\sqrt{3}(2\sqrt{3} - \sqrt{5}) = 5 \times 2 \times 3 - 5\sqrt{15} = 30 - 5\sqrt{15}$.
To nie jest $\sqrt{180} - \sqrt{15} = 6\sqrt{5} - \sqrt{15}$.

Jeśli założymy, że odpowiedź A (5) jest poprawna:
$5(\sqrt{12} - \sqrt{5}) = 5(2\sqrt{3} - \sqrt{5}) = 10\sqrt{3} - 5\sqrt{5}$.
To też nie jest $\sqrt{180} - \sqrt{15}$.

Jeśli założymy, że odpowiedź B (-5) jest poprawna:
$-5(\sqrt{12} - \sqrt{5}) = -10\sqrt{3} + 5\sqrt{5}$.
To też nie jest $\sqrt{180} - \sqrt{15}$.

Jeśli założymy, że odpowiedź D ($-5\sqrt{3}$) jest poprawna:
$-5\sqrt{3}(\sqrt{12} - \sqrt{5}) = -5\sqrt{3}(2\sqrt{3} - \sqrt{5}) = -30 + 5\sqrt{15}$.
To też nie jest $\sqrt{180} - \sqrt{15}$.

Z braku możliwości uzyskania poprawnej odpowiedzi, przyznaję, że zadanie zawiera błąd.
Jednak, jeśli musiałbym wybrać najbardziej prawdopodobną odpowiedź, patrząc na przybliżone wartości, wynik był około 7.75, co jest najbliższe $5\sqrt{3} \approx 8.66$. Może jednak jest jakiś sposób.

Ponowna analiza licznika:
$\sqrt{180} - \sqrt{15} = 6\sqrt{5} - \sqrt{3}\sqrt{5} = \sqrt{5}(6 - \sqrt{3})$
Ponowna analiza mianownika:
$\sqrt{12} - \sqrt{5} = 2\sqrt{3} - \sqrt{5}$

Czy istnieje związek między $(6-\sqrt{3})$ a $(2\sqrt{3}-\sqrt{5})$?
Nie wydaje się.

Jedyna szansa to błąd w treści. Gdyby licznik był np. $\sqrt{75} - \sqrt{15} = 5\sqrt{3} - \sqrt{3}\sqrt{5} = \sqrt{3}(5-\sqrt{5})$.
Wtedy: $\frac{\sqrt{3}(5-\sqrt{5})}{2\sqrt{3}-\sqrt{5}}$. Nadal nie wygląda na proste skrócenie.

Gdyby licznik był $\sqrt{5}(2\sqrt{3}-\sqrt{5}) = 2\sqrt{15} - 5$.
Wtedy: $\frac{2\sqrt{15} - 5}{2\sqrt{3} - \sqrt{5}}$.
Pomnożenie przez $\sqrt{5}$ daje: $\frac{(2\sqrt{15} - 5)\sqrt{5}}{(2\sqrt{3} - \sqrt{5})\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{75} - 5\sqrt{5}}{2\sqrt{15} - 5} = \frac{2(5\sqrt{3}) - 5\sqrt{5}}{2\sqrt{15} - 5} = \frac{10\sqrt{3} - 5\sqrt{5}}{2\sqrt{15} - 5}$.

Prawdopodobny błąd w zadaniu.

Oto rozwiązanie przedstawionych zadań:

Zadanie 9.

Rozwiązaniem układu równań
$$
\begin{cases}
20x + 20y = 1 \
26x - 26y = 1
\end{cases}
$$
jest para liczb $x = x_0, y = y_0$.

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Aby rozwiązać ten układ, możemy skorzystać z metody podstawiania lub przeciwnych współczynników.
Z pierwszego równania wyciągnijmy wspólny czynnik:
$20(x+y) = 1 \implies x+y = \frac{1}{20}$

Z drugiego równania wyciągnijmy wspólny czynnik:
$26(x-y) = 1 \implies x-y = \frac{1}{26}$

Mamy teraz prostszy układ:
$$
\begin{cases}
x+y = \frac{1}{20} \
x-y = \frac{1}{26}
\end{cases}
$$

Dodajmy oba równania stronami, aby wyeliminować $y$:
$(x+y) + (x-y) = \frac{1}{20} + \frac{1}{26}$
$2x = \frac{1 \times 13}{20 \times 13} + \frac{1 \times 10}{26 \times 10}$
$2x = \frac{13}{260} + \frac{10}{260}$
$2x = \frac{23}{260}$
$x_0 = x = \frac{23}{520}$

Teraz odejmijmy drugie równanie od pierwszego, aby wyeliminować $x$:
$(x+y) - (x-y) = \frac{1}{20} - \frac{1}{26}$
$2y = \frac{13}{260} - \frac{10}{260}$
$2y = \frac{3}{260}$
$y_0 = y = \frac{3}{520}$

Rozwiązaniem układu jest para $(x_0, y_0) = (\frac{23}{520}, \frac{3}{520})$.

Stwierdzenie 1: Suma $x_0 + y_0$ jest liczbą dodatnią.
$x_0 + y_0 = \frac{23}{520} + \frac{3}{520} = \frac{26}{520} = \frac{1}{20}$.
$\frac{1}{20}$ jest liczbą dodatnią.
Odpowiedź: P (Prawdziwe)

Stwierdzenie 2: Iloczyn $x_0 \cdot y_0$ jest liczbą dodatnią.
$x_0 \cdot y_0 = \frac{23}{520} \times \frac{3}{520} = \frac{69}{270400}$.
Jest to iloczyn dwóch liczb dodatnich, więc wynik jest dodatni.
Odpowiedź: P (Prawdziwe)

Zadanie 10.

Funkcja liniowa $f$ jest określona wzorem $f(x) = (k+2)x + (k-3)$, gdzie $k$ jest liczbą rzeczywistą.

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Funkcja liniowa ma postać $f(x) = ax + b$. W tym przypadku $a = k+2$ i $b = k-3$.

Stwierdzenie 1: Funkcja $f$ jest malejąca dla każdej liczby $k$ należącej do przedziału $(-\infty, 2)$.
Funkcja liniowa jest malejąca, gdy współczynnik kierunkowy $a$ jest ujemny. W naszym przypadku $a = k+2$.
Funkcja jest malejąca, gdy $k+2 < 0$, co oznacza $k < -2$.
Przedział podany w stwierdzeniu to $(-\infty, 2)$. Ten przedział zawiera liczby większe niż $-2$, dla których funkcja nie jest malejąca (np. dla $k=0$, $a=2>0$, funkcja jest rosnąca).
Zatem stwierdzenie jest fałszywe.
Odpowiedź: F (Fałszywe)

Stwierdzenie 2: W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ wykres funkcji $f$ przechodzi przez punkt $(0, 1)$ dla $k = 4$.
Aby sprawdzić, czy wykres funkcji przechodzi przez punkt $(0, 1)$, podstawiamy współrzędne punktu do wzoru funkcji i sprawdzamy, czy równanie jest spełnione dla danego $k$.
Punkt $(0, 1)$ oznacza, że gdy $x=0$, to $y=f(x)=1$.
$f(x) = (k+2)x + (k-3)$
Podstawiamy $x=0$ i $f(x)=1$:
$1 = (k+2)(0) + (k-3)$
$1 = 0 + k-3$
$1 = k-3$
$k = 1 + 3$
$k = 4$

Zatem wykres funkcji przechodzi przez punkt $(0, 1)$, gdy $k=4$. Stwierdzenie jest prawdziwe.
Odpowiedź: P (Prawdziwe)

Oto rozwiązanie zadania 11:

Zadanie 11.

Funkcja $f$ jest określona następująco:
$$
f(x) = \begin{cases}
x+5 & \text{dla } x \in [-4, -2] \
x+3 & \text{dla } x \in [-2, 1] \
-2x+5 & \text{dla } x \in (1, 3]
\end{cases}
$$
Wykres funkcji $y=f(x)$ przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych na rysunku poniżej.

(Na podstawie definicji funkcji i wykresu możemy analizować jej monotoniczność w poszczególnych przedziałach)

Zadanie 11.1.

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Stwierdzenie 1: Funkcja $f$ jest rosnąca w przedziale $[-4, -2]$.
Analizujemy pierwszy fragment funkcji: $f(x) = x+5$ dla $x \in [-4, -2]$. Jest to funkcja liniowa, której współczynnik kierunkowy wynosi $a=1$. Ponieważ $a > 0$, funkcja jest rosnąca.
Możemy sprawdzić wartości na krańcach przedziału:
Dla $x = -4$: $f(-4) = -4 + 5 = 1$. Punkt $(-4, 1)$.
Dla $x = -2$: $f(-2) = -2 + 5 = 3$. Punkt $(-2, 3)$.
Wykres na tym odcinku faktycznie rośnie od punktu $(-4, 1)$ do $(-2, 3)$.
Odpowiedź: P (Prawdziwe)

Stwierdzenie 2: Funkcja $f$ jest malejąca w przedziale $[1, 3]$.
Analizujemy trzeci fragment funkcji: $f(x) = -2x+5$ dla $x \in (1, 3]$. Jest to funkcja liniowa, której współczynnik kierunkowy wynosi $a=-2$. Ponieważ $a < 0$, funkcja jest malejąca.
Zauważmy, że przedział dla tej funkcji to $(1, 3]$. Punkt $x=1$ jest granicą między drugim a trzecim fragmentem.
Sprawdźmy wartości:
Dla $x=1$ (z poprzedniego fragmentu): $f(1) = 1+3 = 4$. Punkt $(1, 4)$.
Dla $x=3$: $f(3) = -2(3) + 5 = -6 + 5 = -1$. Punkt $(3, -1)$.
Wykres na odcinku od $x=1$ do $x=3$ (zaczynając od punktu (1,4) - ale tutaj jest luka, punkt (1,4) jest zamknięty, a odcinek $-2x+5$ zaczyna się od $x>1$) maleje od punktu (1,4) (który nie jest uwzględniony w tym przedziale, więc zaczyna się "nieco niżej") do $(3, -1)$.
Jednakże, punkt $(1,4)$ jest końcem drugiego przedziału. A funkcja w przedziale $(1, 3]$ jest opisana wzorem $-2x+5$. Na wykresie widać, że funkcja jest malejąca dla $x$ z przedziału $(1, 3]$.
Odpowiedź: P (Prawdziwe)