Oznaczenia:

• $d$ - długość przekątnej graniastosłupa
• $\alpha$ - kąt między przekątną graniastosłupa a krawędzią podstawy
• $a$ - długość krawędzi podstawy
• $h$ - wysokość graniastosłupa
• $P_b$ - pole powierzchni bocznej graniastosłupa

Zależności trygonometryczne:
Z treści zadania wynika, że przekątna graniastosłupa tworzy kąt $\alpha$ z krawędzią podstawy. Możemy zapisać:
$\cos \alpha = \frac{a}{d}$ => $a = d \cos \alpha$
Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta utworzonego przez przekątną graniastosłupa, krawędź podstawy i wysokość graniastosłupa:
$h^2 + a^2 = d^2$
$h^2 = d^2 - a^2$
$h^2 = d^2 - (d \cos \alpha)^2$
$h^2 = d^2 - d^2 \cos^2 \alpha$
$h^2 = d^2 (1 - \cos^2 \alpha)$
$h^2 = d^2 \sin^2 \alpha$
$h = \sqrt{d^2 \sin^2 \alpha} = d \sqrt{\sin^2 \alpha}$

Pole powierzchni bocznej:
Graniastosłup prawidłowy czworokątny ma w podstawie kwadrat. Pole powierzchni bocznej to suma pól czterech prostokątów o bokach $a$ i $h$.
$P_b = 4 \cdot a \cdot h$
$P_b = 4 \cdot (d \cos \alpha) \cdot (d \sqrt{\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha})$
$P_b = 4 d^2 \cos \alpha \sqrt{\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha}$

Oznaczenia:

• $d$ - długość przekątnej graniastosłupa. Jest to odcinek łączący wierzchołek dolnej podstawy z wierzchołkiem górnej podstawy, który nie leży bezpośrednio nad nim.
• $\alpha$ - kąt między przekątną graniastosłupa a krawędzią podstawy. Jest to kąt, który tworzy przekątna $d$ z krawędzią podstawy $a$.
• $a$ - długość krawędzi podstawy. Podstawa jest kwadratem, więc wszystkie boki mają długość $a$.
• $h$ - wysokość graniastosłupa. Jest to odcinek prostopadły do podstawy, łączący dolną i górną podstawę.
• $P_b$ - pole powierzchni bocznej graniastosłupa. Jest to suma pól wszystkich ścian bocznych.

Zależności trygonometryczne:

• Z definicji cosinusa w trójkącie prostokątnym, gdzie przekątna $d$ jest przeciwprostokątną, a krawędź podstawy $a$ jest przyległym bokiem do kąta $\alpha$, mamy:
  $\cos \alpha = \frac{a}{d}$
  Przekształcając ten wzór, otrzymujemy:
  $a = d \cos \alpha$
• Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta prostokątnego utworzonego przez przekątną graniastosłupa $d$, krawędź podstawy $a$ i wysokość graniastosłupa $h$, mamy:
  $h^2 + a^2 = d^2$
  Chcemy wyznaczyć $h$, więc przekształcamy wzór:
  $h^2 = d^2 - a^2$
  Podstawiamy $a = d \cos \alpha$:
  $h^2 = d^2 - (d \cos \alpha)^2$
  $h^2 = d^2 - d^2 \cos^2 \alpha$
  Wyciągamy $d^2$ przed nawias:
  $h^2 = d^2 (1 - \cos^2 \alpha)$
  Korzystamy z tożsamości trygonometrycznej: $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$, więc $1 - \cos^2 \alpha = \sin^2 \alpha$
  $h^2 = d^2 \sin^2 \alpha$
  Pierwiastkujemy obie strony:
  $h = \sqrt{d^2 \sin^2 \alpha} = d \sqrt{\sin^2 \alpha}$
  Ponieważ w treści zadania mamy $\sqrt{\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha}$, to znaczy, że gdzieś popełniliśmy błąd. Sprawdźmy jeszcze raz twierdzenie Pitagorasa. Przekątna graniastosłupa ($d$) tworzy trójkąt prostokątny z wysokością graniastosłupa ($h$) i przekątną podstawy ($a\sqrt{2}$). Zatem:
  $d^2 = h^2 + (a\sqrt{2})^2$
  $d^2 = h^2 + 2a^2$
  $h^2 = d^2 - 2a^2$
  $h^2 = d^2 - 2(d \cos \alpha)^2$
  $h^2 = d^2 - 2d^2 \cos^2 \alpha$
  $h^2 = d^2(1 - 2\cos^2 \alpha)$
  $h = \sqrt{d^2(1 - 2\cos^2 \alpha)} = d\sqrt{1 - 2\cos^2 \alpha}$
  Korzystamy z tożsamości trygonometrycznej $\cos 2\alpha = 2\cos^2 \alpha - 1$, więc $1 - 2\cos^2 \alpha = -\cos 2\alpha$. Zatem:
  $h = d\sqrt{-\cos 2\alpha}$
  Zauważmy, że $-\cos 2\alpha = \sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha$, więc:
  $h = d\sqrt{\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha}$

Pole powierzchni bocznej:
Graniastosłup prawidłowy czworokątny ma w podstawie kwadrat. Pole powierzchni bocznej to suma pól czterech prostokątów o bokach $a$ i $h$.
$P_b = 4 \cdot a \cdot h$
Podstawiamy $a = d \cos \alpha$ i $h = d\sqrt{\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha}$:
$P_b = 4 \cdot (d \cos \alpha) \cdot (d \sqrt{\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha})$
$P_b = 4 d^2 \cos \alpha \sqrt{\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha}$