Graniastosłup prawidłowy czworokątny - pole powierzchni bocznej

Oznaczenia:

• \(d\) - długość przekątnej graniastosłupa
• \(\alpha\) - kąt między przekątną graniastosłupa a krawędzią podstawy
• \(a\) - długość krawędzi podstawy
• \(h\) - wysokość graniastosłupa
• \(P_b\) - pole powierzchni bocznej graniastosłupa

Zależności trygonometryczne:
Z treści zadania wynika, że przekątna graniastosłupa tworzy kąt \(\alpha\) z krawędzią podstawy. Możemy zapisać:
\(\cos \alpha = \frac{a}{d}\) => \(a = d \cos \alpha\)
Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta utworzonego przez przekątną graniastosłupa, krawędź podstawy i wysokość graniastosłupa:
\(h^2 + a^2 = d^2\)
\(h^2 = d^2 - a^2\)
\(h^2 = d^2 - (d \cos \alpha)^2\)
\(h^2 = d^2 - d^2 \cos^2 \alpha\)
\(h^2 = d^2 (1 - \cos^2 \alpha)\)
\(h^2 = d^2 \sin^2 \alpha\)
\(h = \sqrt{d^2 \sin^2 \alpha} = d \sqrt{\sin^2 \alpha}\)

Pole powierzchni bocznej:
Graniastosłup prawidłowy czworokątny ma w podstawie kwadrat. Pole powierzchni bocznej to suma pól czterech prostokątów o bokach \(a\) i \(h\).
\(P_b = 4 \cdot a \cdot h\)
\(P_b = 4 \cdot (d \cos \alpha) \cdot (d \sqrt{\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha})\)
\(P_b = 4 d^2 \cos \alpha \sqrt{\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha}\)

Oznaczenia:

• \(d\) - długość przekątnej graniastosłupa. Jest to odcinek łączący wierzchołek dolnej podstawy z wierzchołkiem górnej podstawy, który nie leży bezpośrednio nad nim.
• \(\alpha\) - kąt między przekątną graniastosłupa a krawędzią podstawy. Jest to kąt, który tworzy przekątna \(d\) z krawędzią podstawy \(a\).
• \(a\) - długość krawędzi podstawy. Podstawa jest kwadratem, więc wszystkie boki mają długość \(a\).
• \(h\) - wysokość graniastosłupa. Jest to odcinek prostopadły do podstawy, łączący dolną i górną podstawę.
• \(P_b\) - pole powierzchni bocznej graniastosłupa. Jest to suma pól wszystkich ścian bocznych.

Zależności trygonometryczne:

• Z definicji cosinusa w trójkącie prostokątnym, gdzie przekątna \(d\) jest przeciwprostokątną, a krawędź podstawy \(a\) jest przyległym bokiem do kąta \(\alpha\), mamy:
  \(\cos \alpha = \frac{a}{d}\)
  Przekształcając ten wzór, otrzymujemy:
  \(a = d \cos \alpha\)
• Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta prostokątnego utworzonego przez przekątną graniastosłupa \(d\), krawędź podstawy \(a\) i wysokość graniastosłupa \(h\), mamy:
  \(h^2 + a^2 = d^2\)
  Chcemy wyznaczyć \(h\), więc przekształcamy wzór:
  \(h^2 = d^2 - a^2\)
  Podstawiamy \(a = d \cos \alpha\):
  \(h^2 = d^2 - (d \cos \alpha)^2\)
  \(h^2 = d^2 - d^2 \cos^2 \alpha\)
  Wyciągamy \(d^2\) przed nawias:
  \(h^2 = d^2 (1 - \cos^2 \alpha)\)
  Korzystamy z tożsamości trygonometrycznej: \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\), więc \(1 - \cos^2 \alpha = \sin^2 \alpha\)
  \(h^2 = d^2 \sin^2 \alpha\)
  Pierwiastkujemy obie strony:
  \(h = \sqrt{d^2 \sin^2 \alpha} = d \sqrt{\sin^2 \alpha}\)
  Ponieważ w treści zadania mamy \(\sqrt{\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha}\), to znaczy, że gdzieś popełniliśmy błąd. Sprawdźmy jeszcze raz twierdzenie Pitagorasa. Przekątna graniastosłupa (\(d\)) tworzy trójkąt prostokątny z wysokością graniastosłupa (\(h\)) i przekątną podstawy (\(a\sqrt{2}\)). Zatem:
  \(d^2 = h^2 + (a\sqrt{2})^2\)
  \(d^2 = h^2 + 2a^2\)
  \(h^2 = d^2 - 2a^2\)
  \(h^2 = d^2 - 2(d \cos \alpha)^2\)
  \(h^2 = d^2 - 2d^2 \cos^2 \alpha\)
  \(h^2 = d^2(1 - 2\cos^2 \alpha)\)
  \(h = \sqrt{d^2(1 - 2\cos^2 \alpha)} = d\sqrt{1 - 2\cos^2 \alpha}\)
  Korzystamy z tożsamości trygonometrycznej \(\cos 2\alpha = 2\cos^2 \alpha - 1\), więc \(1 - 2\cos^2 \alpha = -\cos 2\alpha\). Zatem:
  \(h = d\sqrt{-\cos 2\alpha}\)
  Zauważmy, że \(-\cos 2\alpha = \sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha\), więc:
  \(h = d\sqrt{\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha}\)

Pole powierzchni bocznej:
Graniastosłup prawidłowy czworokątny ma w podstawie kwadrat. Pole powierzchni bocznej to suma pól czterech prostokątów o bokach \(a\) i \(h\).
\(P_b = 4 \cdot a \cdot h\)
Podstawiamy \(a = d \cos \alpha\) i \(h = d\sqrt{\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha}\):
\(P_b = 4 \cdot (d \cos \alpha) \cdot (d \sqrt{\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha})\)
\(P_b = 4 d^2 \cos \alpha \sqrt{\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha}\)