Rozwiązywanie zadań z wyrażeń wykładniczych
Jasne, rozwiążmy te zadania krok po kroku.
Zestaw 1
Zadanie 1
Musimy znaleźć dwie liczby spośród \(x\), \(y\), i \(z\), które są swoimi odwrotnościami. Oznacza to, że ich iloczyn musi być równy 1.
- \(x = 2^{4\sqrt{2}}\)
- \(y = 4^{\frac{\sqrt{2}}{2}} = (2^2)^{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 2^{\sqrt{2}}\)
- \(z = 8^{\frac{\sqrt{2}}{3}} = (2^3)^{\frac{\sqrt{2}}{3}} = 2^{\sqrt{2}}\)
Sprawdzamy, czy iloczyn którejkolwiek pary liczb daje 1:
- \(x \cdot y = 2^{4\sqrt{2}} \cdot 2^{\sqrt{2}} = 2^{5\sqrt{2}} \neq 1\)
- \(x \cdot z = 2^{4\sqrt{2}} \cdot 2^{\sqrt{2}} = 2^{5\sqrt{2}} \neq 1\)
- \(y \cdot z = 2^{\sqrt{2}} \cdot 2^{\sqrt{2}} = 2^{2\sqrt{2}} \neq 1\)
Jednakże, zauważmy, że \(y = z = 2^{\sqrt{2}}\). To oznacza, że żadna z tych liczb nie jest odwrotnością innej z podanych. Sprawdźmy, czy któraś z nich podniesiona do potęgi -1 da inną z liczb.
\(y^{-1} = (2^{\sqrt{2}})^{-1} = 2^{-\sqrt{2}}\)
\(z^{-1} = (2^{\sqrt{2}})^{-1} = 2^{-\sqrt{2}}\)
Żadna z liczb nie jest odwrotnością innej. Wygląda na to, że w zadaniu jest błąd lub nie ma pary liczb spełniających warunki zadania.
Odpowiedź: Brak pary liczb, z których jedna jest odwrotnością drugiej.
Zadanie 2
Oblicz: \(6^{\sqrt{3}} \cdot 3^{1-\sqrt{3}} \cdot 2^{-\sqrt{3}}\)
\(6^{\sqrt{3}} \cdot 3^{1-\sqrt{3}} \cdot 2^{-\sqrt{3}} = (2 \cdot 3)^{\sqrt{3}} \cdot 3^{1-\sqrt{3}} \cdot 2^{-\sqrt{3}} = 2^{\sqrt{3}} \cdot 3^{\sqrt{3}} \cdot 3^{1-\sqrt{3}} \cdot 2^{-\sqrt{3}} = 2^{\sqrt{3}-\sqrt{3}} \cdot 3^{\sqrt{3}+1-\sqrt{3}} = 2^0 \cdot 3^1 = 1 \cdot 3 = 3\)
Odpowiedź: 3
Zadanie 3
Punkt \(P(2,2)\) należy do wykresu funkcji \(f(x) = a^x\). Czy punkt \(Q(4,4)\) też należy do wykresu funkcji \(f\)?
Skoro \(P(2,2)\) należy do wykresu funkcji \(f(x) = a^x\), to znaczy, że \(f(2) = 2\). Zatem:
\(a^2 = 2\)
\(a = \sqrt{2}\)
Teraz sprawdzamy, czy punkt \(Q(4,4)\) należy do wykresu funkcji \(f(x) = (\sqrt{2})^x\):
\(f(4) = (\sqrt{2})^4 = (2^{\frac{1}{2}})^4 = 2^{\frac{1}{2} \cdot 4} = 2^2 = 4\)
Ponieważ \(f(4) = 4\), punkt \(Q(4,4)\) należy do wykresu funkcji \(f(x)\).
Odpowiedź: Tak, punkt \(Q(4,4)\) należy do wykresu funkcji \(f\).
