Действия с дробями

Основные понятия

Дробь — это число, представляющее собой отношение двух чисел: $\frac{a}{b}$, где $a$ — числитель, $b$ — знаменатель (при этом $b \neq 0$).

Виды дробей:
- Правильная дробь: числитель меньше знаменателя ($\frac{a}{b}$, где $a < b$)
- Неправильная дробь: числитель больше или равен знаменателю ($\frac{a}{b}$, где $a \geq b$)
- Смешанная дробь: целая часть и правильная дробь ($c\frac{a}{b}$, где $c$ — целое число, $a < b$)

Сокращение дробей

Дробь сокращают, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель (НОД).

Алгоритм:
1. Найти НОД числителя и знаменателя
2. Разделить числитель и знаменатель на НОД

Пример: $\frac{12}{18} = \frac{12 ÷ 6}{18 ÷ 6} = \frac{2}{3}$

Приведение дробей к общему знаменателю

Алгоритм:
1. Найти наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей
2. Умножить числитель и знаменатель каждой дроби на дополнительный множитель

Пример: Приведем $\frac{2}{3}$ и $\frac{5}{6}$ к общему знаменателю.
НОК(3, 6) = 6
$\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{4}{6}$
$\frac{5}{6}$ уже имеет знаменатель 6

Сложение и вычитание дробей

С одинаковыми знаменателями:
$\frac{a}{c} ± \frac{b}{c} = \frac{a ± b}{c}$

С разными знаменателями:
1. Привести к общему знаменателю
2. Сложить/вычесть числители

Пример: $\frac{2}{5} + \frac{1}{3} = \frac{2 \cdot 3}{5 \cdot 3} + \frac{1 \cdot 5}{3 \cdot 5} = \frac{6}{15} + \frac{5}{15} = \frac{11}{15}$

Умножение дробей

$\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}$

Пример: $\frac{2}{3} \cdot \frac{5}{7} = \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 7} = \frac{10}{21}$

Деление дробей

Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно умножить первую дробь на дробь, обратную второй:

$\frac{a}{b} ÷ \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c}$

Пример: $\frac{3}{4} ÷ \frac{2}{5} = \frac{3}{4} \cdot \frac{5}{2} = \frac{3 \cdot 5}{4 \cdot 2} = \frac{15}{8} = 1\frac{7}{8}$

Действия со смешанными числами

Преобразование смешанного числа в неправильную дробь:
$a\frac{b}{c} = \frac{a \cdot c + b}{c}$

Пример: $2\frac{3}{5} = \frac{2 \cdot 5 + 3}{5} = \frac{13}{5}$

Преобразование неправильной дроби в смешанное число:
1. Разделить числитель на знаменатель
2. Целая часть — результат деления, дробная часть — остаток от деления в числителе

Пример: $\frac{17}{4} = 4\frac{1}{4}$ (17 ÷ 4 = 4 с остатком 1)

Типичные ошибки и как их избежать

1. При сложении/вычитании: не складывайте/вычитайте знаменатели
   - ❌ $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{2}{5}$ (неверно)
   - ✅ $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6}$ (верно)

2. При умножении: не ищите общий знаменатель
   - ❌ $\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} = \frac{2 \cdot 3}{12}$ (неверно)
   - ✅ $\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} = \frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 4} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$ (верно)

3. При делении: не забывайте перевернуть вторую дробь
   - ❌ $\frac{2}{3} ÷ \frac{1}{4} = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{4} = \frac{2}{12}$ (неверно)
   - ✅ $\frac{2}{3} ÷ \frac{1}{4} = \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{1} = \frac{8}{3} = 2\frac{2}{3}$ (верно)