Een cirkel creëert twee hoofdtypen hoeken: de middelpuntshoek — met het hoekpunt in het middelpunt, en de ingeschreven hoek — met het hoekpunt op de cirkel zelf. Het verband tussen beide is eenvoudig: de middelpuntshoek is gelijk aan de boog waarop hij rust, en de ingeschreven hoek is de helft daarvan. Op deze pagina vind je definities, de stelling van de ingeschreven hoek met alle gevolgen, duidelijke tekeningen, stapsgewijze uitwerkingen en een interactieve simulator om jezelf direct te testen.
Soorten hoeken in een cirkel: middelpuntshoek en ingeschreven hoek
Als we in een cirkel twee lijnstukken vanuit één punt trekken, ontstaat er een hoek. Afhankelijk van waar het hoekpunt ligt, onderscheiden we twee basistypen hoeken in een cirkel:
- Middelpuntshoek — een hoek met het hoekpunt in het middelpunt \(O\) van de cirkel. De benen zijn stralen.
- Ingeschreven hoek — een hoek waarvan het hoekpunt op de cirkel ligt en waarvan de benen de cirkel snijden (het zijn dus koorden).
Elk van deze hoeken rust op een boog — het deel van de cirkel dat binnen de hoek ligt. Juist deze boog verbindt de middelpuntshoek en de ingeschreven hoek: beide worden uitgedrukt via de boogmaat in graden.
Als het hoekpunt van de hoek binnen de cirkel ligt (maar niet in het middelpunt) of erbuiten, dan is het geen ingeschreven of middelpuntshoek: voor dergelijke hoeken gelden andere formules, die we aan het einde van de pagina bespreken.
∠AOC = boog AC = 120°
∠ABC = ½ boog AC = 60°
Stelling van de ingeschreven hoek en de grootte van de hoek
De middelpuntshoek is gelijk aan de boog waarop hij rust — zo wordt de boogmaat in graden gedefinieerd. Als \(\angle AOC = 120°\), dan is boog \(AC\) ook \(120°\).
Stelling van de ingeschreven hoek: een ingeschreven hoek is gelijk aan de helft van de boog waarop hij rust:
Hieruit volgt de belangrijkste relatie tussen ingeschreven en middelpuntshoeken: de ingeschreven hoek is de helft van de middelpuntshoek die op dezelfde boog rust:
De grootte van een ingeschreven hoek hangt niet af van de exacte positie van het hoekpunt op de cirkel — alleen de boog waarop hij rust is van belang. Daarom is de onderstaande tekening essentieel om te onthouden als het "basismodel" voor dit onderwerp: de groene boog en twee hoeken die er naar kijken.
Ingeschreven en middelpuntshoeken: eigenschappen en gevolgen
Uit de stelling van de ingeschreven hoek vloeien direct eigenschappen voort waarop de meeste schoolopgaven zijn gebaseerd:
- Ingeschreven hoeken die op dezelfde boog rusten, zijn gelijk. Elk van hen is gelijk aan de helft van dezelfde boog — en dus zijn ze ook aan elkaar gelijk, waar hun hoekpunten zich ook bevinden.
- Een ingeschreven hoek die op een middellijn rust, is recht. Een middellijn verdeelt de cirkel in twee halve cirkels van \(180°\), dus zo'n hoek is \(180° : 2 = 90°\). Het omgekeerde geldt ook: als een ingeschreven hoek recht is, rust hij op een middellijn.
- Een ingeschreven hoek kan stomp zijn. Als de boog groter is dan \(180°\), is de hoek groter dan \(90°\) — de formule "helft van de boog" werkt zonder uitzonderingen.
Deze eigenschappen werken ook "omgekeerd": bijvoorbeeld door de gelijkheid van hoeken die op hetzelfde lijnstuk rusten, kun je bewijzen dat vier punten op één cirkel liggen.
Ingeschreven en omgeschreven hoeken: koordenvierhoek
Als alle vier de hoekpunten van een vierhoek op een cirkel liggen, wordt deze een koordenvierhoek genoemd (en de cirkel is de omgeschreven cirkel). De hoeken van zo'n vierhoek zijn ingeschreven hoeken, dus de stelling is hierop van toepassing.
- De som van de tegenoverliggende hoeken van een koordenvierhoek is \(180°\). De hoeken \(A\) en \(C\) rusten op twee bogen die samen de hele cirkel vormen (\(360°\)), dus \(\angle A + \angle C = 360° : 2 = 180°\).
- De buitenhoek van een koordenvierhoek is gelijk aan de binnenhoek bij het tegenoverliggende hoekpunt. De buitenhoek vult de binnenhoek aan tot \(180°\) — precies zoals de tegenoverliggende hoek dat doet.
- De eigenschap van de som van de hoeken is ook een kenmerk: als de som van de tegenoverliggende hoeken van een vierhoek \(180°\) is, kun je er een cirkel omheen beschrijven. Daarom kan elke rechthoek in een cirkel worden ingeschreven, maar een ruit (behalve een vierkant) niet.
Naast ingeschreven hoeken kom je in opgaven ook omgeschreven hoeken tegen — hoeken tussen twee raaklijnen getrokken vanuit één punt buiten de cirkel. Een omgeschreven hoek is gelijk aan het halve verschil van de bogen die hij op de cirkel uitsnijdt.
Voorbeelden van het oplossen van opgaven over ingeschreven en middelpuntshoeken
Voorbeeld 1. Ingeschreven hoek op basis van een boog
Opgave. De ingeschreven hoek \(ABC\) rust op boog \(AC\), die \(120°\) is. Bereken \(\angle ABC\).
Stap 1. We herinneren ons de stelling: een ingeschreven hoek is gelijk aan de helft van de boog waarop hij rust.
Stap 2. Invullen: \(\angle ABC = \frac{1}{2} \cdot 120° = 60°\).
Antwoord: \(60°\).
Voorbeeld 2. Middelpuntshoek op basis van een ingeschreven hoek
Opgave. De ingeschreven hoek \(ABC\) is \(40°\). Bereken de middelpuntshoek \(AOC\) die op dezelfde boog \(AC\) rust.
Stap 1. De middelpuntshoek is twee keer zo groot als de ingeschreven hoek die op dezelfde boog rust: \(\angle AOC = 2 \cdot \angle ABC\).
Stap 2. Berekenen: \(\angle AOC = 2 \cdot 40° = 80°\). We weten nu ook de boog: \(AC = 80°\).
Antwoord: \(80°\).
Voorbeeld 3. Hoek die op een middellijn rust
Opgave. \(AC\) is een middellijn van de cirkel, punt \(B\) ligt op de cirkel, \(\angle BAC = 35°\). Bereken \(\angle BCA\).
Stap 1. Hoek \(ABC\) rust op de middellijn \(AC\), dus \(\angle ABC = 90°\) — driehoek \(ABC\) is rechthoekig.
Stap 2. De som van de hoeken in een driehoek is \(180°\): \(\angle BCA = 180° - 90° - 35° = 55°\).
Antwoord: \(55°\).
Voorbeeld 4. Koordenvierhoek
Opgave. Vierhoek \(ABCD\) is ingeschreven in een cirkel, \(\angle A = 70°\), \(\angle B = 80°\). Bereken de hoeken \(C\) en \(D\).
Stap 1. De som van de tegenoverliggende hoeken van een koordenvierhoek is \(180°\): \(\angle C = 180° - \angle A = 180° - 70° = 110°\).
Stap 2. Op dezelfde manier: \(\angle D = 180° - \angle B = 180° - 80° = 100°\).
Controle. \(70° + 80° + 110° + 100° = 360°\) — de som van de hoeken van de vierhoek klopt.
Antwoord: \(\angle C = 110°\), \(\angle D = 100°\).
Veelgemaakte fouten bij opgaven over hoeken in een cirkel
-
De ingeschreven hoek verwarren met de middelpuntshoek: bij een hoek met het hoekpunt in het middelpunt de helft van de boog nemen (of andersom).
Kijk eerst naar het hoekpunt. Hoekpunt in het middelpunt \(O\) — middelpuntshoek, deze is gelijk aan de hele boog. Hoekpunt op de cirkel — ingeschreven hoek, deze is gelijk aan de helft van de boog.
-
De verkeerde boog nemen: voor een ingeschreven hoek de boog nemen waarop het hoekpunt ligt.
Een ingeschreven hoek rust op de boog die "binnen" de hoek ligt — het hoekpunt ligt altijd op de andere boog. In de notatie \(\angle ABC\) rust de hoek op boog \(AC\), die punt \(B\) niet bevat.
-
Vermenigvuldigen en delen door 2 in de "verkeerde richting": van een ingeschreven hoek naar een middelpuntshoek delen in plaats van vermenigvuldigen.
Onthoud: ingeschreven — "klein" (helft van de boog), middelpuntshoek — "groot" (hele boog). Van ingeschreven naar middelpuntshoek — vermenigvuldigen met 2, van middelpuntshoek naar ingeschreven — delen door 2.
-
Elke hoek waarvan de benen de cirkel snijden als ingeschreven hoek beschouwen — bijvoorbeeld de hoek tussen koorden die elkaar binnen de cirkel snijden.
Bij een ingeschreven hoek moet het hoekpunt op de cirkel zelf liggen. Een hoek met het hoekpunt binnen de cirkel is gelijk aan het halve som van de uitgesneden bogen, met het hoekpunt buiten de cirkel — aan het halve verschil: dit zijn andere formules.
-
In een koordenvierhoek de som van aangrenzende hoeken gelijkstellen aan $180°$ in plaats van de tegenoverliggende hoeken.
De eigenschap geldt alleen voor tegenoverliggende hoekpunten: \(\angle A + \angle C = 180°\) en \(\angle B + \angle D = 180°\). Aangrenzende hoeken van een koordenvierhoek kunnen elke waarde hebben.
Vragen en antwoorden
Hoe groot is een ingeschreven hoek?
Een ingeschreven hoek is gelijk aan de helft van de boog waarop hij rust. Bijvoorbeeld, als de boog 120° is, is de ingeschreven hoek 60°. Dit is de stelling van de ingeschreven hoek, de belangrijkste formule van dit onderwerp.
Hoe zijn de ingeschreven hoek en de middelpuntshoek die op dezelfde boog rusten met elkaar verbonden?
De middelpuntshoek is twee keer zo groot als de ingeschreven hoek: ∠AOC = 2·∠ABC. De middelpuntshoek is gelijk aan de boog zelf, en de ingeschreven hoek is de helft daarvan.
Waarom is een ingeschreven hoek die op een middellijn rust 90°?
Een middellijn spant een halve cirkel — een boog van 180°. De ingeschreven hoek is de helft van de boog: 180° : 2 = 90°. Daarom is elke driehoek waarvan één zijde een middellijn van de omgeschreven cirkel is, rechthoekig.
Kan een ingeschreven hoek stomp zijn?
Ja. Als de boog waarop de hoek rust groter is dan 180°, is de hoek stomp: bijvoorbeeld, een boog van 210° komt overeen met een ingeschreven hoek van 105°. Een ingeschreven hoek is echter altijd kleiner dan 180°.
Wat is een omgeschreven hoek en hoe verschilt deze van een ingeschreven hoek?
Een omgeschreven hoek wordt gevormd door twee raaklijnen aan een cirkel vanuit één extern punt. Het hoekpunt ligt buiten de cirkel en de hoek is gelijk aan het halve verschil van de uitgesneden bogen. Bij een ingeschreven hoek ligt het hoekpunt op de cirkel en is de hoek gelijk aan de helft van één boog.
Welke andere soorten hoeken in een cirkel zijn er?
Naast de middelpuntshoek en de ingeschreven hoek kijken we naar de hoek tussen koorden (hoekpunt binnen de cirkel — halve som van bogen), de hoek tussen snijlijnen vanuit een extern punt (halve verschil van bogen) en de hoek tussen een raaklijn en een koorde (helft van de ingesloten boog). Ze worden allemaal uitgedrukt via de bogen van de cirkel.
