De cosinusstelling relateert de drie zijden van een driehoek en een van zijn hoeken: \(c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C\). Hij geldt voor elke driehoek, daarom vervangt hij in de 9e klas de stelling van Pythagoras waar geen rechte hoek is. Hiermee wordt de derde zijde berekend als de andere twee zijden en de hoek ertussen bekend zijn, en met de gevolgtrekking \(\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}\) wordt elke hoek berekend bij drie zijden en het type driehoek bepaald. Op de pagina — de formulering en alle drie de varianten van de formule, het bewijs, de cosinustabel, de 'sinus of cosinus'-kaart en een oefentrainer voor zelfcontrole.
Cosinusstelling: formulering en formule
De cosinusstelling geldt voor elke driehoek — een rechte hoek is niet nodig. Hij relateert drie zijden en een hoek, dus hiermee wordt een zijde berekend als de twee andere zijden en de hoek ertussen bekend zijn.
Formulering. Het kwadraat van een zijde van een driehoek is gelijk aan de som van de kwadraten van de twee andere zijden minus het dubbele product van deze zijden met de cosinus van de hoek ertussen.
Hier zijn \(a\), \(b\), \(c\) de zijden van de driehoek, en \(C\) is de hoek tussen de zijden \(a\) en \(b\); de zijde \(c\) ligt tegenover deze hoek. De letters kunnen willekeurig gekozen worden — de formule is symmetrisch, daarom heeft hij drie gelijkwaardige notaties:
Het belangrijkste substitutiereglement: neem de hoek die ingesloten is tussen de twee zijden uit het product, en bereken de zijde die ertegenover ligt. Als je de 'naburige' hoek neemt, zullen alle getallen uit de opgave komen en het antwoord onjuist zijn.
Waarom de stelling van Pythagoras een speciaal geval is van de cosinusstelling
Laten we de formule invullen voor een rechte hoek, dus \(C = 90°\). De cosinus van een rechte hoek is nul, dus de derde term wordt volledig nul:
Dit is precies de stelling van Pythagoras, bekend uit de 8e klas. Daarom wordt de cosinusstelling de generalisatie ervan genoemd: Pythagoras is een 'speciaal geval bij 90°', en de cosinusstelling geldt voor alle hoeken tegelijk.
De term \(-2ab\cos C\) is handig te begrijpen als een correctie voor de niet-rechte hoek:
- de hoek is scherp, \(\cos C > 0\) — de correctie wordt afgetrokken, de zijde \(c\) wordt korter dan Pythagoras zou aangeven;
- de hoek is recht, \(\cos C = 0\) — er is geen correctie, \(c^2 = a^2 + b^2\) blijft over;
- de hoek is stomp, \(\cos C < 0\) — de correctie wordt opgeteld, de zijde \(c\) wordt langer.
Bewijs van de cosinusstelling
Het kortste schoolbewijs is met coördinaten. Plaats hoekpunt C in de oorsprong en zijde b = CA langs de x-as. Dan zijn de coördinaten van de hoekpunten als volgt:
- C(0;\ 0) — de oorsprong;
- A(b;\ 0) — een punt op de x-as op afstand b van de oorsprong;
- B(a\cos C;\ a\sin C) — het hoekpunt op afstand a van de oorsprong onder een hoek C met de x-as.
Zijde c is de lengte van het lijnstuk AB. We berekenen deze met de afstandsformule tussen twee punten:
We werken de haakjes uit:
We groeperen de termen met \(a^2\) en passen de fundamentele goniometrische identiteit \(\sin^2 C + \cos^2 C = 1\) toe:
Wat te bewijzen was. Let op: nergens was vereist dat hoek C scherp was. Als hij stomp is, is de cosinus negatief, de coördinaat \(a\cos C\) verschuift naar links van de y-as, maar alle berekeningen blijven hetzelfde — daarom is de stelling geldig voor elke driehoek.
Gevolgtrekking: hoe een hoek te berekenen bij drie zijden
Uit de cosinusstelling wordt de cosinus zelf afgeleid — dit is de belangrijkste gevolgtrekking. Hiermee wordt de hoek berekend als alle drie de zijden bekend zijn:
In de teller staat de som van de kwadraten van de twee zijden die aan de hoek grenzen, minus het kwadraat van de zijde die ertegenover ligt. In de noemer staat het dubbele product van de aanliggende zijden. Voor de andere hoeken zijn de formules hetzelfde:
Volgorde van oplossing:
- kies de te berekenen hoek en bepaal welke zijde ertegenover ligt — het kwadraat daarvan komt in de teller met een minteken;
- bereken de breuk (de noemer is altijd positief, het teken wordt alleen door de teller bepaald);
- bepaal de hoek zelf met behulp van een tabel met waarden of via de arccosinus.
Handige tip: begin met de grootste zijde. Daartegenover ligt de grootste hoek, en alleen die kan recht of stomp zijn — de andere twee hoeken in een driehoek zijn altijd scherp.
Cosinussen van stompe hoeken zijn negatief: tabel met waarden
In schoolopgaven zijn de hoeken bijna altijd 'uit de tabel': 30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 135°, 150°. Scherpe hoeken hebben een positieve cosinus, een rechte hoek heeft een cosinus van nul, en stompe hoeken hebben een negatieve cosinus. Waarden voor stompe hoeken worden verkregen uit waarden voor scherpe hoeken volgens de reductieregel \(\cos(180° - \alpha) = -\cos\alpha\): bijvoorbeeld, \(\cos 120° = -\cos 60° = -0{,}5\).
Wat dit in de praktijk betekent: bij een stompe hoek wordt de uitdrukking \(-2ab\cos C\) een plus — min keer min. Voor een hoek van \(120°\) ziet de formule er zo uit:
Dit is precies waar de meeste punten verloren gaan: men substitueert \(0{,}5\) in plaats van \(-0{,}5\) en krijgt een zijde die korter is dan beide gegeven zijden. Dit is aantoonbaar onmogelijk — tegenover een stompe hoek ligt de langste zijde van de driehoek.
| Hoek | Cosinus |
|---|---|
| 30° | √3/2 ≈ 0,87 |
| 45° | √2/2 ≈ 0,71 |
| 60° | 1/2 = 0,5 |
| 90° | 0 |
| 120° | −1/2 = −0,5 |
| 135° | −√2/2 ≈ −0,71 |
| 150° | −√3/2 ≈ −0,87 |
Hoe het type driehoek te bepalen aan de hand van drie zijden
De cosinusstelling maakt het mogelijk om het type driehoek te bepalen zonder een gradenboog te gebruiken. Het teken van de breuk \(\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}\) hangt alleen af van de teller: de noemer \(2ab\) is altijd positief. Dus, het is voldoende om het kwadraat van de grootste zijde te vergelijken met de som van de kwadraten van de twee andere.
Laat \(c\) de grootste zijde zijn, dan ligt de grootste hoek \(C\) ertegenover:
- \(a^2 + b^2 > c^2\) → \(\cos C > 0\) → hoek \(C\) is scherp. De andere hoeken zijn kleiner dan hij, dus alle drie de hoeken zijn scherp — de driehoek is scherphoekig;
- \(a^2 + b^2 = c^2\) → \(\cos C = 0\) → \(C = 90°\) — de driehoek is rechthoekig (dit is de omgekeerde stelling van Pythagoras);
- \(a^2 + b^2 < c^2\) → \(\cos C < 0\) → hoek \(C\) is stomp — de driehoek is stomphoekig.
Het is niet nodig om de andere hoeken te controleren: een rechte of stompe hoek komt slechts één keer voor in een driehoek. En vergeet de driehoeksongelijkheid niet — als de grootste zijde niet kleiner is dan de som van de andere twee, bestaat een driehoek met zulke zijden überhaupt niet.
Sinusstelling of cosinusstelling: hoe te kiezen
Beide stellingen lossen één taak op — ze berekenen onbekende zijden en hoeken van een driehoek — maar worden toegepast bij verschillende gegeven sets. De sinusstelling relateert een zijde en de er tegenoverliggende hoek:
Hieruit volgt de keuzeregel: als de opgave al een paar 'zijde en de hoek ertegenover' bevat — dan werkt de sinusstelling; als zo'n paar ontbreekt — begin dan met de cosinusstelling. De kaart met vier schoolse gegeven sets — in de tabel.
Vaak wordt een opgave in twee stappen opgelost: eerst geeft de cosinusstelling de derde zijde, en daarna vindt de sinusstelling snel de overige hoeken.
| Wat is bekend | Wat passen we toe |
|---|---|
| ZWHTwee zijden en de ingesloten hoek | Cosinusstellingbereken de derde zijde |
| ZZZAlle drie de zijden | Cosinusstellingbereken elke hoek en het type driehoek |
| ZHZEen zijde en twee hoeken | Sinusstellingbereken de twee andere zijden |
| ZSZTwee zijden en een hoek tegenover een van hen | Sinusstellingbereken de tegenoverliggende hoek |
Cosinusstelling in OGE-opgaven
In het OGE-examen wiskunde komt de cosinusstelling voor in planimetrische taken — zowel in het eerste deel als in opgaven met een gedetailleerd antwoord. Typische scenario's zijn:
- Bereken een zijde bij twee zijden en de ingesloten hoek — directe toepassing van de formule, meestal met hoeken van 60° of 120°.
- Bereken een hoek of zijn cosinus bij drie zijden — gevolgtrekking \(\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}\). Als de opgave zegt 'bereken \(\cos\angle A\)', hoef je geen arccosinus te nemen: het antwoord is die breuk, die schrijf je op.
- Diagonalen van een parallellogram. Een diagonaal snijdt een driehoek af van twee zijden en de ingesloten hoek. Aangrenzende hoeken van een parallellogram tellen op tot 180°, dus hun cosinussen zijn tegengesteld: tegenover de scherpe hoek ligt de kleinere diagonaal, tegenover de stompe — de grotere.
- Type driehoek bij drie getallen — vergelijking van \(a^2 + b^2\) met \(c^2\).
- Mediaan van een driehoek. De formule \(m_c = \frac{1}{2}\sqrt{2a^2 + 2b^2 - c^2}\) wordt afgeleid door de cosinusstelling tweemaal toe te passen op twee aangrenzende hoeken bij de basis.
Advies voor het examen: markeer voordat je rekent op de tekening de hoek die 'ingeklemd' zit tussen de bekende zijden. Als zo'n hoek er niet is — de cosinusstelling is nog niet toepasbaar, zoek een andere weg.
Voorbeelden van het oplossen van opgaven over de cosinusstelling
Voorbeeld 1. Bereken een zijde bij twee zijden en een hoek van 60°
Opgave. In driehoek \(ABC\) zijn de zijden \(a = 7\) en \(b = 15\), de hoek ertussen is \(C = 60°\). Bereken zijde \(c\).
Stap 1. Hoek \(C\) is ingesloten tussen zijden \(a\) en \(b\) — dit is precies het geval waarvoor de stelling is ontworpen:
Stap 2. We substitueren de getallen, \(\cos 60° = 0{,}5\):
Stap 3. We trekken de wortel: \(c = \sqrt{169} = 13\).
Antwoord: \(13\). Controle qua betekenis: de hoek \(60°\) is scherp, dus de zijde ertegenover is niet de langste — inderdaad, \(13 < 15\).
Voorbeeld 2. Stompe hoek: min keer min
Opgave. In driehoek \(ABC\) is bekend: \(AB = 6\), \(BC = 10\), hoek \(B = 120°\). Bereken zijde \(AC\).
Stap 1. Hoek \(B\) is ingesloten tussen zijden \(AB\) en \(BC\), en zijde \(AC\) ligt ertegenover:
Stap 2. De hoek is stomp, dus \(\cos 120° = -0{,}5\). De min voor het product en de min bij de cosinus geven een plus:
Stap 3. \(AC = \sqrt{196} = 14\).
Antwoord: \(14\). Controle: tegenover de stompe hoek ligt de langste zijde — \(14\) is groter dan zowel \(6\) als \(10\).
Voorbeeld 3. Bereken een hoek bij drie zijden
Opgave. De zijden van een driehoek zijn \(3\), \(5\) en \(7\). Bereken de grootste hoek.
Stap 1. De grootste hoek ligt tegenover de grootste zijde, dus tegenover zijde \(7\). Laten we die \(C\) noemen, dan is \(c = 7\), en de aanliggende zijden \(a = 3\) en \(b = 5\).
Stap 2. We passen de gevolgtrekking toe:
Stap 3. De cosinus is negatief — de hoek is stomp. Volgens de tabel met waarden is \(\cos 120° = -0{,}5\), dus \(C = 120°\).
Antwoord: \(120°\). Tussendoor bleek dat de driehoek stomphoekig is.
Voorbeeld 4. Bepaal het type driehoek
Opgave. Bepaal het type driehoek met zijden \(6\), \(7\) en \(10\).
Stap 1. We controleren de driehoeksongelijkheid: \(6 + 7 = 13 > 10\) — de driehoek bestaat. De grootste zijde is \(10\).
Stap 2. We vergelijken de som van de kwadraten van de twee kleinste zijden met het kwadraat van de grootste:
Stap 3. \(85 < 100\), dus de teller van de breuk is negatief en \(\cos C < 0\) — de hoek tegenover zijde \(10\) is stomp. Indien gewenst, kan ook de hoek zelf berekend worden:
Antwoord: de driehoek is stomphoekig. Let op: dit is niet direct zichtbaar — de zijden zijn bijna gelijk, maar de hoek is al boven de \(90°\).
Voorbeeld 5. OGE-opgave: diagonaal van een parallellogram
Opgave. De zijden van een parallellogram zijn \(5\) en \(8\), de scherpe hoek is \(60°\). Bereken de kleinere diagonaal.
Stap 1. De diagonaal snijdt een driehoek af, waarvan twee zijden (\(5\) en \(8\)) en de ingesloten hoek bekend zijn. De kleinere diagonaal ligt tegenover de scherpe hoek van \(60°\).
Stap 2. We berekenen:
Stap 3. Controle. De andere diagonaal ligt tegenover de hoek van \(120°\) (aangrenzende hoeken van een parallellogram tellen op tot \(180°\)): \(D^2 = 89 + 40 = 129\), dus \(D = \sqrt{129} \approx 11{,}4\). De som van de kwadraten van de diagonalen is \(49 + 129 = 178\), en het dubbele van de som van de kwadraten van de zijden is \(2(25 + 64) = 178\). Het komt overeen, dus de berekening is correct.
Antwoord: \(7\).
Veelvoorkomende fouten bij opgaven over de cosinusstelling
-
De cosinus van een stompe hoek wordt met een plus genomen. Voor zijden $4$ en $9$ met een hoek van $120°$ ertussen schrijven ze $c^2 = 16 + 81 - 2 \cdot 4 \cdot 9 \cdot 0{,}5 = 61$ en krijgen $c \approx 7{,}8$.
\(\cos 120° = -0{,}5\), en min keer min geeft plus: \(c^2 = 97 + 36 = 133\), dus \(c = \sqrt{133} \approx 11{,}5\). Snelle controle: tegenover de stompe hoek ligt de langste zijde, dus het antwoord moet groter zijn dan \(9\).
-
De hoek die niet ingesloten is tussen de gegeven zijden wordt gesubstitueerd: de opgave geeft één hoek, en die wordt 'zomaar' genomen, zonder naar de tekening te kijken.
In de notatie \(c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C\) vormen de zijden \(a\) en \(b\) de hoek \(C\), en de zijde \(c\) ligt ertegenover. Als de gegeven hoek aan de te berekenen zijde grenst, is deze notatie niet geschikt — een andere van de drie is nodig, of de sinusstelling.
-
De wortel wordt vergeten en het kwadraat van de zijde wordt als antwoord genoteerd: men krijgt $c^2 = 225$ en schrijft 'de zijde is 225'.
De formule geeft altijd precies het kwadraat van de zijde. De laatste stap is verplicht: \(c = \sqrt{225} = 15\). Lees de vraag van de opgave goed voordat je het antwoord opschrijft.
-
De volgorde van de termen in de gevolgtrekking wordt verward en men schrijft $\cos C = \dfrac{c^2 - a^2 - b^2}{2ab}$.
De juiste teller is \(a^2 + b^2 - c^2\): de som van de kwadraten van de aanliggende zijden minus het kwadraat van de tegenoverliggende zijde. Bij verwisseling verandert het teken van de breuk naar het tegenovergestelde, en in plaats van een stompe hoek van \(120°\) krijg je een scherpe hoek van \(60°\).
-
De hoek wordt berekend op basis van de absolute waarde van de cosinus: men krijgt −0,25, en als antwoord geeft men een scherpe hoek, alsof de cosinus +0,25 was.
Een negatieve cosinus betekent altijd een stompe hoek. Het teken mag niet verloren gaan: cos 60° = 0,5, en cos 120° = −0,5; de arccosinus van een negatief getal is groter dan 90°.
-
Men probeert een opgave 'twee zijden en de ingesloten hoek' op te lossen met de sinusstelling en loopt vast bij de eerste regel.
De sinusstelling heeft een kant-en-klaar paar 'zijde en tegenoverliggende hoek' nodig. Bij twee zijden en de ingesloten hoek is zo'n paar er niet — eerst geeft de cosinusstelling de derde zijde, en pas daarna wordt de sinusstelling ingeschakeld.
Vragen en antwoorden
Hoe luidt de cosinusstelling?
Het kwadraat van een zijde van een driehoek is gelijk aan de som van de kwadraten van de twee andere zijden minus het dubbele product van deze zijden met de cosinus van de ingesloten hoek: c² = a² + b² − 2ab·cos C. De stelling geldt voor elke driehoek, niet alleen voor rechthoekige.
Hoe bereken je een zijde van een driehoek bij twee zijden en de ingesloten hoek?
Substitueer de gegevens in de formule c² = a² + b² − 2ab·cos C en trek de wortel. Bijvoorbeeld, bij zijden 4 en 6 en een hoek van 60° ertussen: c² = 16 + 36 − 2·4·6·0,5 = 28, dus c = √28 ≈ 5,3.
Hoe bereken je een hoek van een driehoek als de drie zijden bekend zijn?
Via de gevolgtrekking van de cosinusstelling: cos C = (a² + b² − c²) / (2ab), waarbij c de zijde tegenover de te berekenen hoek is. Bijvoorbeeld, voor zijden 2, 3 en 4 is de cosinus van de grootste hoek (4 + 9 − 16) / (2·2·3) = −0,25, dus de hoek is stomp, ongeveer 104°.
Waarom is de stelling van Pythagoras een speciaal geval van de cosinusstelling?
Omdat bij een rechte hoek cos 90° = 0, en de term −2ab·cos C nul wordt. Van de formule blijft c² = a² + b² over — dit is de stelling van Pythagoras voor een rechthoekige driehoek.
Geldt de cosinusstelling ook voor een stomphoekige driehoek?
Ja, en hij geldt zonder veranderingen. Een stompe hoek heeft een negatieve cosinus, dus de term −2ab·cos C wordt positief en wordt opgeteld bij de som van de kwadraten. Juist hierdoor wordt de zijde tegenover de stompe hoek de langste.
Wanneer pas je de sinusstelling toe, en wanneer de cosinusstelling?
De sinusstelling is nodig als de opgave al een paar 'zijde en de tegenoverliggende hoek' bevat — bijvoorbeeld, een zijde en twee hoeken zijn gegeven. De cosinusstelling is nodig als zo'n paar ontbreekt: twee zijden en de ingesloten hoek zijn gegeven, of alle drie de zijden. Vaak wordt een opgave in twee stappen opgelost: eerst cosinus, dan sinus.
Hoe bepaal je het type driehoek aan de hand van drie zijden?
Vergelijk het kwadraat van de grootste zijde c² met de som van de kwadraten van de twee andere. Als a² + b² > c² — de driehoek is scherphoekig, als a² + b² = c² — rechthoekig, als a² + b² < c² — stomphoekig. Het teken van dit verschil komt overeen met het teken van de cosinus van de grootste hoek.
In welke klas wordt de cosinusstelling behandeld?
In de 9e klas tijdens de lessen meetkunde, in het onderwerp 'Verhoudingen tussen zijden en hoeken van een driehoek' — samen met de sinusstelling. Daarna wordt hij voortdurend gebruikt in OGE- en EGE-opgaven voor planimetrie en stereometrie.
