Žemėlapio mastelis rodo, kiek kartų atstumas žemėlapyje yra mažesnis už tikrąjį atstumą vietovėje. Būtent jis leidžia su liniuote rankose sužinoti, kiek kilometrų yra tarp dviejų miestų, neišėjus iš namų. Aptarsime tris mastelio rūšis — vardiklinį, pavadintąjį ir laipsninį, išmoksime juos keisti vieną į kitą, apskaičiuoti atstumą žemėlapyje ir savarankiškai nustatyti mastelį. Pabaigoje — interaktyvus treniruoklis su užduotimis.
Kas yra žemėlapio mastelis
Mastelis — tai atkarpos ilgio žemėlapyje (ar plane) santykis su atitinkamos atkarpos ilgiu vietovėje. Jį užrašo kaip dviejų skaičių santykį: 1 : 200 000. Pirmasis skaičius visada yra vienetas — tai 1 cm žemėlapyje. Antrasis skaičius, vardiklis, rodo, kiek centimetrų vietovėje atitinka šis centimetras.
Mastelis 1 : 200 000 reiškia, kad visi atstumai žemėlapyje yra sumažinti 200 000 kartų. Vadinasi, 1 cm žemėlapyje — tai 200 000 cm vietovėje, arba 2 km.
Abi santykio dalys išreikštos vienodais vienetais — centimetrais, todėl mastelis neturi matavimo vienetų: įrašas „1 : 200 000 km“ yra neteisingas. Mastelis yra kiekvieno žemėlapio, vietovės plano, brėžinio ir maketo — jis nurodomas žemėlapio apačioje arba jo legendos.
Mastelio rūšys: vardiklinis, pavadintasis ir laipsninis
Tas pats mastelis užrašomas trimis būdais — visi trys reiškia lygiai tą patį:
- Vardiklinis mastelis — skaičių santykis: 1 : 100 000. Universali forma, su ja patogu skaičiuoti.
- Pavadintasis mastelis — žodžiais: 1 cm — 1 km. Iš karto matyti, kiek kilometrų „telpa centimetre“.
- Laipsninis mastelis — liniuotės skalė po žemėlapiu su pasirašytais padalimais. Pagal ją atstumą skaito tiesiogiai, be skaičiavimų.
Kad vardiklinį mastelį paverstumėte pavadintuoju, vardiklį dalijate iš 100 (gausite metrus) arba iš 100 000 (gausite kilometrus) — juk 1 m = 100 cm, o 1 km = 100 000 cm. Atvirkštinis vertimas, pavadintąjį į vardiklinį, daromas taip pat atvirkščiai: dydis verčiamas į centimetrus ir dedamas į vardiklį.
| Vardiklinis mastelis | Pavadintasis |
|---|---|
| 1 : 1001 cm = 100 cm | 1 m |
| 1 : 50001 cm = 5000 cm | 50 m |
| 1 : 25 0001 cm = 25 000 cm | 250 m |
| 1 : 100 0001 cm = 100 000 cm | 1 km |
| 1 : 200 0001 cm = 200 000 cm | 2 km |
| 1 : 1 000 0001 cm = 1 000 000 cm | 10 km |
Laipsninis mastelis: kaip išmatuoti atstumą be skaičiavimų
Laipsninis mastelis — tai paruošta skalė, nupiešta po žemėlapiu: jos padalimai jau pasirašyti metrais arba kilometrais, todėl dauginti ir dalyti nereikia.
Kaip juo naudotis:
- Išmatuok atkarpą žemėlapyje matuokliu arba pažymėk jos ilgį ant popieriaus juostelės krašto.
- Pridėk atkarpą prie skalės taip, kad dešinysis galas tiksliai sutaptų su sveikojo padalijimo žyma.
- Kairysis galas atsidurs kairiau nuo nulio — jis specialiai padalytas į smulkias dalis. Pagal jas skaitomas likutis: šimtai metrų.
- Sudėk sveikus padalijimus ir likutį — tai ir bus atstumas vietovėje.
Žemiau esančioje skalėje dešinysis atkarpos galas yra ties „2“ padalijimu, o kairysis atsidūrė 400 m kairiau nuo nulio. Atkarpos ilgis — 2 km + 400 m = 2,4 km.
Kaip apskaičiuoti atstumą žemėlapyje ir nustatyti mastelį
Beveik visos mokyklinės užduotys su masteliu — tai trys viena kitai atvirkščios operacijos.
Atstumas vietovėje. Išmatuok atkarpą žemėlapyje centimetrais ir padaugink iš mastelio vardiklio — gausi centimetrus vietovėje. Tada paversk juos metrais (÷ 100) arba kilometrais (÷ 100 000).
Žemėlapio mastelis. Jei žinomas tikrasis atstumas ir atkarpos ilgis žemėlapyje, atstumą paversk centimetrais ir padalyk iš atkarpos ilgio. Gautas skaičius ir yra mastelio vardiklis.
Atkarpos ilgis žemėlapyje. Atstumą vietovėje paversk centimetrais ir padalyk iš mastelio vardiklio.
Visa aritmetika laikosi ant vienos vienetų grandinės, kurią verta išmokti atmintinai: 1 m = 100 cm, 1 km = 1000 m = 100 000 cm.
Stambus ir smulkus žemėlapio mastelis
Čia dažniausiai daromos klaidos. Taisyklė viena: kuo didesnis vardiklis, tuo smulkesnis mastelis. Mastelis yra trupmena 1/200 000, o iš dviejų trupmenų didesnė ta, kurios vardiklis mažesnis.
- Stambus mastelis (1 : 5000, 1 : 10 000) — mažas vardiklis, silpnas mažinimas. Vaizdas detalus: matomi atskiri namai ir takeliai, bet lape telpa nedidelis plotas. Taip daromi vietovės planai.
- Smulkus mastelis (1 : 10 000 000) — didžiulis vardiklis, stiprus mažinimas. Viename lape telpa visas žemynas, tačiau detalės dingsta: lieka tik dideli miestai, upės ir kalnų sistemos.
Pagal mastelį žemėlapiai skirstomi į stambiamastelius (nuo 1 : 10 000 iki 1 : 200 000), vidutinio mastelio (nuo 1 : 200 000 iki 1 : 1 000 000) ir smulkiamastelius (smulkesnius nei 1 : 1 000 000). Vietovės planai visada stambesni nei 1 : 10 000.
Pavyzdžiai, kaip spręsti užduotis su masteliu
1 pavyzdys. Atstumas žemėlapyje → vietovėje
Užduotis. Žemėlapio mastelis 1 : 200 000. Atstumas tarp dviejų gyvenviečių žemėlapyje — 3 cm. Kiek kilometrų tarp jų vietovėje?
1 žingsnis. Mastelio vardiklis — 200 000. Vadinasi, 1 cm žemėlapyje = 200 000 cm vietovėje.
2 žingsnis. Padaugink atkarpos ilgį iš vardiklio: 3 × 200 000 = 600 000 cm.
3 žingsnis. Paversk centimetrus metrais: 600 000 ÷ 100 = 6000 m.
4 žingsnis. Metrus į kilometrus: 6000 ÷ 1000 = 6 km.
Atsakymas: 6 km. Trumpas kelias: 600 000 ÷ 100 000 = 6 km, juk 1 km = 100 000 cm.
2 pavyzdys. Kaip nustatyti žemėlapio mastelį
Užduotis. Žinoma, kad tarp miestų yra 12 km, o žemėlapyje šis atstumas lygus 8 cm. Nustatyk žemėlapio vardiklinį mastelį.
1 žingsnis. Tikrąjį atstumą paversk centimetrais: 12 km × 100 000 = 1 200 000 cm.
2 žingsnis. Padalyk iš atkarpos ilgio žemėlapyje: 1 200 000 ÷ 8 = 150 000.
3 žingsnis. Užrašyk atsakymą santykiu: 1 : 150 000.
Patikrinimas. Atvirkštiniu būdu: 8 × 150 000 = 1 200 000 cm = 12 km. Sutampa.
Atsakymas: mastelis 1 : 150 000, pavadintasis — 1 cm 1,5 km.
3 pavyzdys. Kokio ilgio bus atkarpa žemėlapyje
Užduotis. Plano mastelis 1 : 25 000. Kokio ilgio bus jame atkarpa, vaizduojanti 3 km ilgio kelią?
1 žingsnis. Atstumą paversk centimetrais: 3 km × 100 000 = 300 000 cm.
2 žingsnis. Padalyk iš mastelio vardiklio: 300 000 ÷ 25 000 = 12 cm.
Patikrinimas. 12 × 25 000 = 300 000 cm = 3 km. Sutampa.
Atsakymas: 12 cm. Atkreipk dėmesį: čia mes dalijame, o ne dauginame — užduotis atvirkštinė pirmajai.
4 pavyzdys. Mastelio keitimas iš vienos rūšies į kitą
Užduotis. Pakeisk mastelį 1 : 25 000 į pavadintąjį, o pavadintąjį „1 cm 500 m“ — į vardiklinį.
Vardiklinis → pavadintasis. Vardiklis 25 000 — tai centimetrai. Dalijame iš 100: 25 000 ÷ 100 = 250 m. Gauname „1 cm — 250 m“.
Pavadintasis → vardiklinis. 500 m paversk centimetrais: 500 × 100 = 50 000 cm. Statyk šį skaičių į vardiklį: 1 : 50 000.
Patarimas. Jei vardiklis dalijasi iš 100 000, atsakymas iš karto gaunamas kilometrais: 1 : 500 000 → 500 000 ÷ 100 000 = 5, t. y. „1 cm 5 km“.
Dažnos klaidos dirbant su masteliu
-
Laiko 1 : 1 000 000 — „stambiu“ masteliu, nes skaičius didelis, o 1 : 5000 — „smulkiu“.
Atvirkščiai. Mastelis yra trupmena 1/1 000 000, ir kuo didesnis vardiklis, tuo mažesnė trupmena ir tuo smulkesnis mastelis. 1 : 5000 yra du šimtus kartų stambesnis nei 1 : 1 000 000.
-
Pamiršta nulius verčiant centimetrus į kilometrus: 600 000 cm užrašo kaip 60 km arba 600 km.
Išmok atmintinai grandinę: 1 km = 1000 m = 100 000 cm. Dalyti reikia iš 100 000, o ne iš 10 000 ar 1000: 600 000 ÷ 100 000 = 6 km. Patikimas būdas — skaičiuoti dviem žingsniais: pirmiausia ÷ 100 (metrai), paskui ÷ 1000 (kilometrai).
-
Atvirkštinėje užduotyje vietoj dalijimo dauginama: norint rasti atkarpos ilgį žemėlapyje, atstumą dauginama iš vardiklio.
Žemėlapyje viskas sumažinta, vadinasi, atkarpos ilgis yra mažesnis — dauginti negalima. Nuo vietovės prie žemėlapio visada dalijame iš vardiklio, nuo žemėlapio prie vietovės — dauginame. Greitas patikrinimas: atsakymas „atkarpa žemėlapyje 400 cm“ 4 km akivaizdžiai absurdiškas.
-
Rašo matavimo vienetus mastelyje: „1 : 100 000 km“ arba „1 cm : 1 km“.
Vardiklinis mastelis — vienarūšių dydžių santykis, todėl vienetų jis neturi: teisingai „1 : 100 000“. O įrašas su žodžiais — tai jau pavadintasis mastelis, ir jis įforminamas kitaip: „1 cm — 1 km“.
-
Išlinkusią upę ar kelią matuoja liniuote tarp galinių taškų.
Taip gausi tiesios linijos ilgį, o ne maršruto ilgį. Kreivę liniją matuoja kurvimetru, siūlu, kurį vėliau ištiesina ir prideda prie liniuotės, arba dalija į trumpas tiesias atkarpas ir sudeda jų ilgius — ir tik tada padaugina iš mastelio.
Klausimai ir atsakymai
Ką rodo žemėlapio mastelis?
Mastelis rodo, kiek kartų žemėlapio atstumai yra sumažinti, palyginti su tikraisiais atstumais vietovėje. Mastelis 1 : 200 000 reiškia sumažinimą 200 000 kartų: vienam centimetrui žemėlapyje atitinka 200 000 cm, t. y. 2 km vietovėje.
Kaip nustatyti žemėlapio mastelį, jei jis nepateiktas?
Reikia žinoti bent vieną realų atstumą. Išmatuok šią atkarpą žemėlapyje centimetrais, paversk žinomą atstumą centimetrais (1 km = 100 000 cm) ir padalyk vieną iš kito. Pavyzdžiui, 20 km = 2 000 000 cm, atkarpa 8 cm: 2 000 000 ÷ 8 = 250 000, mastelis 1 : 250 000.
Kuris mastelis yra stambesnis: 1 : 10 000 ar 1 : 100 000?
Stambesnis 1 : 10 000, nes jis turi mažesnį vardiklį ir silpnesnį mažinimą. Tokiame žemėlapyje matyti daugiau detalių, bet telpa mažesnė teritorija. Taisyklė paprasta: kuo didesnis vardiklis, tuo smulkesnis mastelis.
Kiek centimetrų yra 1 kilometre?
Viename kilometre yra 100 000 centimetrų: 1 km = 1000 m, o 1 m = 100 cm, vadinasi, 1000 × 100 = 100 000 cm. Būtent todėl mastelis 1 : 100 000 skaitomas kaip „1 cm — 1 km“.
Kuo vietovės plano mastelis skiriasi nuo žemėlapio mastelio?
Principas tas pats, skiriasi tik dydis. Plano mastelis yra stambus — paprastai 1 : 5000 ir stambesnis, todėl jame matomi atskiri pastatai, takeliai ir medžiai. Žemėlapių mastelis yra smulkesnis, tačiau teritorijos aprėptis didesnė — iki viso pasaulio.
Kaip naudotis laipsniniu masteliu žemėlapyje?
Atidėk išmatuotą atkarpą ant skalės taip, kad dešinysis galas sutaptų su sveiko padalijimo žyma. Kairysis galas atsidurs kairiau nuo nulio esančiame padalijime, suskaldytame į smulkias dalis — pagal jas skaitomas likutis šimtais metrų. Sveikų padalijimų ir likučio suma ir yra atstumas; skaičiuoti nieko nereikia.
