코사인 법칙: 공식, 증명 및 문제 풀이

코사인 법칙은 모든 삼각형에서 성립하며 직각이 필요하지 않습니다. 세 변과 한 각의 관계를 나타내므로 두 변과 그 끼인각을 알 때 나머지 한 변을 구하는 데 사용됩니다.

정의. 삼각형의 한 변의 제곱은 다른 두 변의 제곱의 합에서 그 두 변의 곱의 두 배와 그 끼인각의 코사인을 곱한 값을 뺀 것과 같습니다.

여기서 \(a\), \(b\), \(c\)는 삼각형의 변이고, \(C\)는 변 \(a\)와 \(b\) 사이의 각이며, 변 \(c\)는 그 각의 대변입니다. 공식은 대칭적이므로 세 가지 형태로 나타낼 수 있습니다:

대입 시 핵심 규칙: 곱셈에 사용된 두 변 사이의 각을 사용하고, 그 각의 대변을 구해야 합니다. '이웃한' 각을 사용하면 계산은 되지만 결과가 틀리게 됩니다.

공식에 직각인 \(C = 90°\)를 대입해 봅시다. 직각의 코사인 값은 0이므로 세 번째 항이 완전히 사라집니다:

중학교 2학년 때 배운 피타고라스 정리가 정확히 나옵니다. 그래서 코사인 법칙을 피타고라스 정리의 일반화라고 부릅니다. 피타고라스 정리는 '90°일 때의 특수한 경우'이고, 코사인 법칙은 모든 각에 대해 한 번에 작동합니다.

항 \(-2ab\cos C\)는 각이 직각이 아닐 때의 보정값으로 이해하면 편리합니다:

• 예각일 때, \(\cos C > 0\) — 보정값이 빠지므로 변 \(c\)는 피타고라스 정리보다 짧아집니다;
• 직각일 때, \(\cos C = 0\) — 보정값이 없으므로 \(c^2 = a^2 + b^2\)이 남습니다;
• 둔각일 때, \(\cos C < 0\) — 보정값이 더해지므로 변 \(c\)는 길어집니다.

가장 짧은 학교 증명법은 좌표를 이용하는 것입니다. 꼭짓점 \(C\)를 원점에 두고, 변 \(b = CA\)를 \(x\)축 위에 둡니다. 그러면 꼭짓점의 좌표는 다음과 같습니다:

• \(C(0;\ 0)\) — 원점;
• \(A(b;\ 0)\) — 원점에서 거리 \(b\)만큼 떨어진 \(x\)축 위의 점;
• \(B(a\cos C;\ a\sin C)\) — 원점에서 거리 \(a\)만큼 떨어지고 \(x\)축과 각 \(C\)를 이루는 꼭짓점.

변 \(c\)는 선분 \(AB\)의 길이입니다. 두 점 사이의 거리 공식을 사용하여 계산합니다:

괄호를 풉니다:

\(a^2\) 항을 묶고 삼각함수의 기본 항등식 \(\sin^2 C + \cos^2 C = 1\)을 적용합니다:

증명 완료. 주의할 점: 각 \(C\)가 예각이어야 한다는 조건은 어디에도 없습니다. 둔각이라도 코사인이 음수여서 좌표 \(a\cos C\)가 \(y\)축 왼쪽으로 가지만, 모든 계산 과정은 동일하므로 이 법칙은 모든 삼각형에 대해 성립합니다.

코사인 법칙에서 코사인 자체를 구하는 것은 가장 중요한 따름정리입니다. 세 변의 길이를 알 때 각을 구하는 데 사용됩니다:

분자에는 각에 인접한 두 변의 제곱의 합에서 그 각의 대변의 제곱을 뺀 값이 옵니다. 분모에는 인접한 두 변의 곱의 두 배가 옵니다. 다른 각에 대한 공식도 동일합니다:

풀이 순서:

1. 구하려는 각을 선택하고 그 대변이 무엇인지 확인합니다. 그 대변의 제곱을 분자에 마이너스 부호로 넣습니다;
2. 분수를 계산합니다 (분모는 항상 양수이며, 부호는 분자만 결정합니다);
3. 표 값이나 아크코사인(역코사인)을 통해 각을 구합니다.

유용한 팁: 가장 긴 변부터 시작하세요. 그 대변이 가장 큰 각이며, 삼각형에서 직각이나 둔각이 될 수 있는 유일한 각입니다. 나머지 두 각은 항상 예각입니다.

학교 문제에서 각은 거의 항상 '특수각'입니다: 30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 135°, 150°. 예각의 코사인은 양수, 직각은 0, 둔각은 음수입니다. 둔각의 값은 예각의 값을 이용한 유도 공식 \(\cos(180° - \alpha) = -\cos\alpha\)를 통해 구합니다: 예: \(\cos 120° = -\cos 60° = -0{,}5\).

실제 적용 시 의미: 둔각일 때 식 \(-2ab\cos C\)는 마이너스 곱하기 마이너스가 되어 플러스로 바뀝니다. \(120°\) 각에 대한 공식은 다음과 같습니다:

여기서 가장 많이 점수를 잃습니다: \(-0{,}5\) 대신 \(0{,}5\)를 대입하여 주어진 두 변보다 짧은 변을 얻게 됩니다. 이는 불가능합니다. 둔각의 대변은 삼각형에서 가장 긴 변이어야 합니다.

코사인 법칙을 사용하면 각도기를 사용하지 않고도 삼각형의 유형을 알 수 있습니다. 분수 \(\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}\)의 부호는 분자에만 의존합니다. 분모 \(2ab\)는 항상 양수이기 때문입니다. 따라서 가장 긴 변의 제곱을 나머지 두 변의 제곱의 합과 비교하면 충분합니다.

\(c\)가 가장 긴 변이라고 하면, 그 대변인 각 \(C\)가 가장 큰 각입니다:

• \(a^2 + b^2 > c^2\) → \(\cos C > 0\) → 각 \(C\)는 예각. 나머지 각들은 이보다 작으므로 세 각 모두 예각 — 예각삼각형;
• \(a^2 + b^2 = c^2\) → \(\cos C = 0\) → \(C = 90°\) — 직각삼각형 (피타고라스 정리의 역);
• \(a^2 + b^2 < c^2\) → \(\cos C < 0\) → 각 \(C\)는 둔각 — 둔각삼각형.

나머지 각은 확인할 필요가 없습니다. 삼각형에서 직각이나 둔각은 하나만 존재할 수 있기 때문입니다. 그리고 삼각형의 성립 조건을 잊지 마세요. 가장 긴 변이 나머지 두 변의 합보다 작지 않으면 그런 삼각형은 존재하지 않습니다.

두 법칙 모두 삼각형의 미지 변과 각을 구하는 같은 문제를 해결하지만, 주어진 데이터 세트에 따라 선택합니다. 사인 법칙은 변과 그 대변의 각을 연결합니다:

선택 규칙: 문제에 이미 '변과 그 대변의 각' 쌍이 있다면 사인 법칙을 사용하고, 그런 쌍이 없다면 코사인 법칙으로 시작합니다. 네 가지 학교 데이터 세트에 대한 요약은 표를 참고하세요.

종종 문제는 두 단계로 해결됩니다: 먼저 코사인 법칙으로 세 번째 변을 구하고, 그 다음 사인 법칙으로 나머지 각을 빠르게 구합니다.

수학 OGE에서 코사인 법칙은 평면 기하 문제(객관식 및 서술형)에 등장합니다. 일반적인 유형은 다음과 같습니다:

• 두 변과 끼인각으로 변 구하기 — 공식의 직접 적용, 주로 60° 또는 120° 각.
• 세 변으로 각이나 코사인 구하기 — 따름정리 \(\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}\). 문제에 '\(\cos\angle A\)를 구하시오'라고 되어 있다면 아크코사인을 구할 필요 없습니다: 답은 바로 그 분수 값입니다.
• 평행사변형의 대각선. 대각선은 두 변과 끼인각으로 이루어진 삼각형을 만듭니다. 평행사변형의 이웃한 각의 합은 180°이므로 코사인 값은 서로 반대입니다: 예각의 대변은 짧은 대각선, 둔각의 대변은 긴 대각선입니다.
• 세 숫자로 삼각형 유형 판별 — \(a^2 + b^2\)와 \(c^2\) 비교.
• 삼각형의 중선. 공식 \(m_c = \frac{1}{2}\sqrt{2a^2 + 2b^2 - c^2}\)은 밑변의 두 인접 각에 코사인 법칙을 두 번 적용하여 유도됩니다.

시험 팁: 계산하기 전에 주어진 변들 사이에 '끼인' 각을 그림에 표시하세요. 그런 각이 없다면 코사인 법칙을 바로 적용할 수 없으므로 다른 방법을 찾아야 합니다.