삼각형의 닮음: 닮음 조건과 닮음비

두 삼각형을 닮았다고 하는데, 다음 두 가지 조건이 동시에 만족될 때입니다:

1. 대응각이 각각 같다 — 첫 번째 삼각형의 각에 대해 두 번째 삼각형의 같은 각이 존재합니다.
2. 대응변이 비례한다 — 세 변의 길이의 비가 모두 같습니다.

대응변은 같은 각의 대변에 있는 변입니다. 이 변들이 쌍을 이루며 길이를 비교합니다.

닮음은 기호 \(\sim\)로 표기합니다:

닮음비 \(k\)는 바로 이 대응변의 같은 비입니다:

\(k > 1\)이면 두 번째 삼각형이 첫 번째보다 크고, \(k < 1\)이면 더 작습니다. \(k = 1\)이면 두 삼각형은 합동이며, 합동은 닮음의 특수한 경우입니다.

닮음 표기에서 꼭짓점 순서의 중요성

\(\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1\)라는 표기는 엄격하게 위치에 따라 읽습니다: \(A\)는 \(A_1\)에, \(B\)는 \(B_1\)에, \(C\)는 \(C_1\)에 대응합니다. 여기서 어떤 각이 같은지 (\(\angle A = \angle A_1\))와 어떤 변이 대응변인지 (\(AB\)와 \(A_1B_1\), \(BC\)와 \(B_1C_1\), \(AC\)와 \(A_1C_1\))를 알 수 있습니다.

만약 문자를 바꾸어 \(\triangle ABC \sim \triangle B_1A_1C_1\)라고 쓴다면, 이는 다른 주장이 됩니다. 이제 \(\angle A = \angle B_1\)이고 \(AB\)에 대응하는 변은 \(B_1A_1\)이 됩니다. '비슷하게 배치된' 변들로 비례식을 세우는 것은 잘못이며, 오직 표기상의 위치에 따라서만 해야 합니다. 따라서 가장 먼저 해야 할 일은 같은 각의 쌍을 나열하고, 그에 맞춰 꼭짓점 순서를 정하는 것입니다.

정의의 여섯 가지 조건을 모두 확인할 필요는 없습니다. 닮음은 세 가지 조건 중 하나로 증명할 수 있습니다. 각 조건은 모든 각의 동일성과 모든 변의 비례성을 자동으로 보장하는 최소한의 데이터입니다.

조건 선택 방법. 문제에서 주어진 것을 확인하세요: 각에 대한 정보가 있다면 첫 번째 조건, 두 변과 그 끼인각에 대한 정보가 있다면 두 번째 조건, 세 변의 길이에 대한 정보가 있다면 세 번째 조건입니다.

• 첫 번째 조건 (두 각) — 학교 과정에서 가장 많이 사용됩니다. OGE 문제의 거의 대부분이 이 조건으로 풀립니다. 세 번째 각은 자동으로 같아지므로 확인할 필요가 없습니다. 삼각형의 내각의 합은 항상 \(180°\)입니다. 같은 각의 쌍을 찾으세요 — 두 삼각형의 공통각, 맞꼭지각, 평행선에서의 엇각과 동위각, 두 직각.
• 두 번째 조건 (두 변과 그 끼인각) — 주어진 각이 정확히 두 변 사이에 있어야 합니다. 만약 같은 각이 변 중 하나를 마주보고 있다면, 이 조건은 작동하지 않으며 닮음이 증명되지 않습니다.
• 세 번째 조건 (세 변) — 각에 대한 정보가 전혀 없고 길이만 주어졌을 때 사용합니다. 각 삼각형의 변을 오름차순으로 나열하고, 가장 작은 변끼리, 중간 변끼리, 가장 큰 변끼리 나누세요. 이렇게 하면 쌍을 헷갈리지 않을 수 있습니다. 세 비가 모두 같을 때만 닮음이 성립합니다.

닮음 조건과 합동 조건을 혼동하지 않도록 차이점을 기억하세요: 합동에서는 변이 겹쳐야 하지만, 닮음에서는 변이 비례해야 합니다.

닮음에는 가장 자주 묻는 두 가지 결과가 있으며, 그중 하나는 이 단원의 주요 함정입니다.

둘레의 비는 \(k\)입니다. 두 번째 삼각형의 각 변은 첫 번째 삼각형의 대응변보다 \(k\)배 크므로, 변의 합도 정확히 \(k\)배 커집니다:

이와 같이 'k배'라는 비율은 모든 선분 길이에도 적용됩니다: 높이, 중선, 각의 이등분선, 내접원과 외접원의 반지름, 중점연결선 등.

넓이의 비는 \(k^2\)입니다. 넓이는 두 개의 측정값을 동시에 사용합니다. 밑변과 높이가 모두 \(k\)배 커지므로, 곱은 \(k \cdot k\)배 커집니다:

예를 들어 \(k = 5\)라면, 둘레는 5배 커지고 (예: 14cm에서 70cm), 넓이는 25배 커집니다 (예: 6cm²에서 150cm²). 이는 엄청난 차이이며, \(k^2\) 대신 \(k\)를 사용하는 것은 시험에서 가장 흔한 실수입니다.

역산. 만약 문제에서 넓이의 비가 주어졌다면, 닮음비는 제곱근을 사용하여 구합니다: \(k = \sqrt{S_2 : S_1}\). 예를 들어 넓이의 비가 \(16 : 1\)이라면, 변의 비는 \(4 : 1\)입니다.

직각삼각형의 경우 첫 번째 닮음 조건이 간단해집니다. 직각은 이미 같으므로, 하나의 예각만 같으면 삼각형은 닮았다고 할 수 있습니다. 여기서 두 직각삼각형의 두 변(빗변과 다른 한 변)이 비례하면 닮음이라는 두 번째 조건이 파생됩니다. (두 변 사이의 각이 직각이기 때문입니다.)

이 단원에서 가장 유용한 상황은 직각삼각형의 꼭짓각에서 빗변으로 내린 높이입니다. 이 높이는 삼각형을 두 개의 작은 삼각형으로 나누며, 이 세 삼각형은 모두 서로 닮았습니다.

이유는 다음과 같습니다. 삼각형 \(AHC\)는 \(H\)에서 직각이고 큰 삼각형과 공통각 \(A\)를 가지므로 \(\triangle AHC \sim \triangle ACB\)입니다. 삼각형 \(CHB\)는 \(H\)에서 직각이고 공통각 \(B\)를 가지므로 \(\triangle CHB \sim \triangle ACB\)입니다. 따라서 두 작은 삼각형도 서로 닮았습니다.

이 닮음으로부터 기하 평균 공식이 나옵니다 (직각삼각형의 비례선분이라고도 합니다):

• \(CH^2 = AH \cdot HB\) — 높이는 빗변을 나누는 두 선분의 기하 평균입니다.
• \(AC^2 = AH \cdot AB\) 및 \(BC^2 = HB \cdot AB\) — 빗변의 각 끝에서 내린 수선의 발까지의 선분(정사영)은 빗변 전체와 해당 변의 정사영의 기하 평균입니다.

가장 중요한 것은 어떤 선분이 '자신의' 변에 해당하는지 혼동하지 않는 것입니다. 빗변 \(AC\)의 정사영은 \(AH\)이고, 빗변 \(BC\)의 정사영은 \(HB\)입니다. 정사영은 항상 해당 변과 같은 쪽 빗변 끝에 있습니다.

닮음 문제의 거의 대부분은 다음 알고리즘으로 풀립니다:

1. 같은 각의 쌍 찾기 — 공통각, 맞꼭지각, 평행선에서의 엇각 또는 두 직각.
2. 꼭짓점 순서를 맞춰 닮음 표기하기 — 같은 각이 같은 위치에 오도록 합니다.
3. 대응변으로 비례식 세우기 (표기에서 같은 위치에 있는 변을 선택합니다).
4. 미지수 구하기 및 계산; 마지막으로 답의 의미를 확인합니다 — 작은 삼각형의 변은 반드시 더 작아야 합니다.

OGE에는 몇 가지 일반적인 상황이 있으며, 이를 보자마자 알아볼 수 있어야 합니다:

• 밑변에 평행한 직선. 이 직선은 원래 삼각형에서 원래 삼각형과 닮은 작은 삼각형을 잘라냅니다. 핵심 주의사항: 비례식에는 공통 꼭짓점에서 시작하는 전체 변의 비(\(BM : BA\))를 사용해야 하며, 잘린 선분(\(BM : MA\))이 아닙니다.
• '나비' 모양. 두 선분이 교차하고 그 끝점들이 평행선으로 연결될 때 — 서로 반대 방향으로 놓인 두 개의 닮은 삼각형이 생깁니다.
• 직각삼각형의 꼭짓각에서 내린 높이 — 이전 섹션의 상황; OGE에서는 이 높이를 사용하여 높이, 빗변 또는 빗변의 일부 길이를 구합니다.
• 물체의 그림자와 높이. 태양광선은 평행하므로, 물체와 그 그림자, 그리고 나무와 그 그림자는 닮은 직각삼각형을 형성합니다.
• 중점연결선 — \(k = 2\)인 특수한 경우: 밑변에 평행하고 그 길이의 절반입니다.