円に内接する角：中心角とその性質

円の中に1つの点から2つの線分を引くと、角ができます。その頂点がどこにあるかによって、円に関する角は主に2つの種類に分けられます：

• 中心角 — 円の中心\(O\)に頂点を持つ角。その辺は半径です。
• 円周角 — 頂点が円周上にあり、その辺が円と交わる角（つまり弦です）。

これらの角はそれぞれ、角の内側にある円の一部である弧に対してできます。中心角と円周角を結びつけるのは、まさにこの弧です。両方の角の大きさは、この弧の角度で表されます。

もし角の頂点が円の内部（ただし中心ではない）または外部にある場合、それは円周角でも中心角でもありません。そのような角には独自の公式があり、それについてはこのページの最後で説明します。

中心角は、その角が作る弧の大きさに等しい — これが弧の角度の定義です。もし\(\angle AOC = 120°\)なら、弧\(AC\)も\(120°\)です。

円周角の定理： 円周角の大きさは、その角が作る弧の半分です：

ここから、円周角と中心角の最も重要な関係が導かれます：同じ弧に対する円周角は、中心角の半分である：

円周角の大きさは、頂点が円周上のどこにあるかには依存しません。重要なのは、どの弧に対してできるかだけです。したがって、下の図をこのテーマ全体の「基本図」として覚えておくと良いでしょう：緑色の弧と、それを見ている2つの角。

円周角の定理から、学校で習う問題のほとんどが基づいている性質が直接導かれます：

1. 同じ弧に対する円周角は等しい。 それぞれの角が同じ弧の半分に等しいため、頂点がどこにあっても、それらの角は互いに等しくなります。
2. 直径に対する円周角は直角である。 直径は円を\(180°\)の2つの半円に分けるため、そのような角は\(180° : 2 = 90°\)に等しくなります。逆もまた真なり：もし円周角が直角ならば、それは直径に対してできます。
3. 円周角は鈍角になることもある。 弧が\(180°\)より大きい場合、角は\(90°\)より大きくなります。「弧の半分」という公式は例外なく成り立ちます。

これらの性質は「逆方向」にも使えます。例えば、一つの線分に対してできる角が等しいことから、4つの点が同一円周上にあることを証明できます。

四角形の4つの頂点がすべて円周上にある場合、その四角形は円に内接する（そして円はその四角形に外接する）と言います。このような四角形の角は円周角なので、同じ定理が適用されます。

• 円に内接する四角形の対角の和は\(180°\)である。 角\(A\)と角\(C\)は、合わせると円全体（\(360°\)）になる2つの弧に対する角なので、\(\angle A + \angle C = 360° : 2 = 180°\)となります。
• 円に内接する四角形の外角は、その隣の内角の対角に等しい。 外角は、隣接する内角との和が\(180°\)になりますが、これは対角もちょうど同じ関係です。
• 対角の和の性質は、四角形が円に内接するための条件でもあります：四角形の対角の和が\(180°\)であれば、その四角形は円に外接させることができます。そのため、どんな長方形も円に内接しますが、ひし形（正方形を除く）は内接しません。

問題では、円周角の他に、円外の一点から引かれた2本の接線がなす角も登場します。この角は、円周から切り取る2つの弧の差の半分に等しくなります。