余弦定理は、三角形の3つの辺と1つの角を関連付ける定理です：\(c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C\)。これはどんな三角形でも成り立つため、中学3年生では直角がない場所で三平方の定理の代わりとして使われます。これを使えば、2辺とその間の角がわかっているときに第3の辺を求めることができ、系である \(\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}\) を使えば、3辺から任意の角や三角形の種類を判定できます。このページでは、公式の定義と3通りの書き方、証明、余弦表、「正弦か余弦か」の覚え方、高校入試問題の解説、自己チェック用の練習問題を紹介します。
余弦定理：定義と公式
余弦定理はどんな三角形でも成り立ちます。直角である必要はありません。3辺と1つの角を関連付けるため、2辺とその間の角がわかっているときに辺を求めるのに使われます。
定義。 三角形の1辺の2乗は、他の2辺の2乗の和から、それらの辺の積の2倍と間の角の余弦の積を引いたものに等しい。
ここで \(a, b, c\) は三角形の辺、\(C\) は辺 \(a\) と \(b\) の間の角です。辺 \(c\) はその角の対辺です。文字はどれを使っても構いません。公式は対称的であり、3つの等価な書き方があります：
代入の重要なルール：積に含まれる2辺の間の角を使い、その対辺を求めます。もし「隣の」角を使ってしまうと、計算結果が間違ったものになります。
なぜ三平方の定理は余弦定理の特殊なケースなのか
公式に直角、つまり \(C = 90°\) を代入してみましょう。直角の余弦は0なので、第3項は消滅します：
これは中学2年生で習った三平方の定理そのものです。そのため、余弦定理は三平方の定理の一般化と呼ばれます。三平方の定理は「90°のときの特殊なケース」であり、余弦定理はすべての角に対して一度に成り立ちます。
項 \(-2ab\cos C\) は、角が直角でないことに対する補正と考えるとわかりやすいです：
- 角が鋭角なら、\(\cos C > 0\) で補正分が引かれ、辺 \(c\) は三平方の定理よりも短くなります；
- 角が直角なら、\(\cos C = 0\) で補正はなく、\(c^2 = a^2 + b^2\) となります；
- 角が鈍角なら、\(\cos C < 0\) で補正分が足され、辺 \(c\) は長くなります。
余弦定理の証明
最も短い学校での証明は座標を使う方法です。頂点 \(C\) を原点に置き、辺 \(b = CA\) を \(x\) 軸上に置きます。すると頂点の座標は以下のようになります：
- \(C(0;\ 0)\) — 原点；
- \(A(b;\ 0)\) — 原点から距離 \(b\) の \(x\) 軸上の点；
- \(B(a\cos C;\ a\sin C)\) — 原点から距離 \(a\) で、\(x\) 軸と角 \(C\) をなす頂点。
辺 \(c\) は線分 \(AB\) の長さです。2点間の距離の公式で計算します：
括弧を展開します：
\(a^2\) を含む項をまとめ、三角関数の基本恒等式 \(\sin^2 C + \cos^2 C = 1\) を適用します：
これで証明完了です。注意：角 \(C\) が鋭角である必要はどこにもありませんでした。鈍角であっても余弦は負になり、座標 \(a\cos C\) は \(y\) 軸の左側に移動しますが、計算結果は同じままです。そのため、この定理はどんな三角形でも成り立ちます。
系：3辺から角を求める方法
余弦定理から余弦そのものを導くのが、この定理の主な系です。これを使えば、3辺すべてがわかっているときに角を求めることができます：
分子には、角に隣接する2辺の2乗の和から、対辺の2乗を引いたものが来ます。分母には、隣接する2辺の積の2倍が来ます。他の角についても同様です：
解く手順：
- 求める角を選び、その対辺を特定します。その2乗を分子でマイナスにします；
- 分数を計算します（分母は常に正なので、符号は分子だけで決まります）；
- 値の表または逆余弦を使って角を求めます。
便利なテクニック：最も長い辺から始めること。その対辺が最大の角であり、直角や鈍角になり得るのはその角だけです。他の2つの角は常に鋭角です。
鈍角の余弦は負：値の表
学校の問題では、角はほとんどの場合「表にある値」です：30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 135°, 150°。鋭角の余弦は正、直角は0、鈍角は負です。鈍角の値は、鋭角の値から誘導公式 \(\cos(180° - \alpha) = -\cos\alpha\) を使って求めます。例えば \(\cos 120° = -\cos 60° = -0{,}5\) です。
これが実戦で何を意味するか：鈍角の場合、式 \(-2ab\cos C\) はプラスに変わります（マイナス×マイナス）。120°の角の場合、式は次のようになります：
ここで最も点数を落としやすいです。\(-0{,}5\) の代わりに \(0{,}5\) を代入してしまい、与えられた辺よりも短い辺を求めてしまいます。これは明らかに不可能です。鈍角の対辺は三角形の中で最も長い辺だからです。
| 角 | 余弦 |
|---|---|
| 30° | √3/2 ≈ 0,87 |
| 45° | √2/2 ≈ 0,71 |
| 60° | 1/2 = 0,5 |
| 90° | 0 |
| 120° | −1/2 = −0,5 |
| 135° | −√2/2 ≈ −0,71 |
| 150° | −√3/2 ≈ −0,87 |
3辺から三角形の種類を判定する方法
余弦定理を使えば、分度器で角を測らなくても三角形の種類がわかります。分数 \(\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}\) の符号は分子だけで決まります。分母の \(2ab\) は常に正だからです。つまり、最も長い辺の2乗と他の2辺の2乗の和を比較するだけで十分です。
\(c\) を最も長い辺とすると、その対辺に最大の角 \(C\) があります：
- \(a^2 + b^2 > c^2\) → \(\cos C > 0\) → 角 \(C\) は鋭角。他の角もそれより小さいので、3つの角すべてが鋭角 — 三角形は鋭角三角形；
- \(a^2 + b^2 = c^2\) → \(\cos C = 0\) → \(C = 90°\) — 三角形は直角三角形（これが三平方の定理の逆です）；
- \(a^2 + b^2 < c^2\) → \(\cos C < 0\) → 角 \(C\) は鈍角 — 三角形は鈍角三角形。
他の角を調べる必要はありません。三角形の直角や鈍角は1つしかあり得ないからです。また、三角形の成立条件を忘れないでください。最も長い辺が他の2辺の和以上であれば、そのような三角形は存在しません。
正弦定理か余弦定理か：選び方
どちらの定理も、三角形の未知の辺や角を求めるという同じ問題を解決しますが、必要なデータセットが異なります。正弦定理は辺とその対角を関連付けます：
ここから選び方のルールが決まります。条件の中に「辺と対角」のペアがすでにある場合は正弦定理を使い、そのようなペアがない場合は余弦定理から始めます。4つの学校で習うデータセットの覚え方は表の通りです。
多くの場合、問題は2ステップで解けます。まず余弦定理で第3の辺を求め、次に正弦定理で残りの角を素早く求めます。
| 既知のデータ | 使う定理 |
|---|---|
| SAS2辺とその間の角 | 余弦定理第3の辺を求める |
| SSS3辺すべて | 余弦定理任意の角と三角形の種類を求める |
| ASA1辺と2つの角 | 正弦定理他の2辺を求める |
| SSA2辺と一方の対角 | 正弦定理対角を求める |
高校入試における余弦定理
高校入試の数学では、余弦定理は平面図形の問題（前半の小問や記述式問題）で登場します。典型的なパターンは以下の通りです：
- 2辺とその間の角から辺を求める — 公式の直接的な適用。60°や120°の角が最も一般的です。
- 3辺から角やその余弦を求める — 系 \(\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}\) を使用。問題文に「\(\cos\angle A\) を求めよ」とある場合、逆余弦をとる必要はありません。その分数自体が答えです。
- 平行四辺形の対角線。 対角線は2辺とその間の角を持つ三角形を切り出します。平行四辺形の隣り合う角の和は180°なので、余弦は逆符号になります。鋭角の対辺には短い対角線が、鈍角の対辺には長い対角線が来ます。
- 3つの数から三角形の種類を判定 — \(a^2 + b^2\) と \(c^2\) の比較。
- 三角形の中線。 公式 \(m_c = \frac{1}{2}\sqrt{2a^2 + 2b^2 - c^2}\) は、底辺の2つの隣接する角に余弦定理を2回適用することで導かれます。
試験でのアドバイス：計算する前に、既知の2辺に「挟まれた」角を図にマークしてください。そのような角がない場合、余弦定理はまだ使えません。別の方法を探す必要があります。
余弦定理の問題の解き方例
例1. 2辺と60°の角から辺を求める
問題。 三角形 \(ABC\) で辺 \(a = 7, b = 15\)、間の角 \(C = 60°\) です。辺 \(c\) を求めてください。
ステップ1. 角 \(C\) は辺 \(a\) と \(b\) に挟まれています。これはまさに定理が想定しているケースです：
ステップ2. 数値を代入します。\(\cos 60° = 0{,}5\) です：
ステップ3. 平方根をとります：\(c = \sqrt{169} = 13\).
答え： \(13\)。意味の確認：60°は鋭角なので、その対辺は最も長くはありません。実際 \(13 < 15\) です。
例2. 鈍角：マイナス×マイナス
問題。 三角形 \(ABC\) で \(AB = 6, BC = 10\)、角 \(B = 120°\) です。辺 \(AC\) を求めてください。
ステップ1. 角 \(B\) は辺 \(AB\) と \(BC\) に挟まれており、辺 \(AC\) はその対辺です：
ステップ2. 角は鈍角なので \(\cos 120° = -0{,}5\) です。積の前のマイナスと余弦のマイナスでプラスになります：
ステップ3. \(AC = \sqrt{196} = 14\).
答え： \(14\)。確認：鈍角の対辺には最も長い辺が来ます。\(14\) は \(6\) と \(10\) の両方より大きいです。
例3. 3辺から角を求める
問題。 三角形の辺が \(3, 5, 7\) です。最大の角を求めてください。
ステップ1. 最大の角は最大の辺の対辺にあります。つまり辺 \(7\) の対辺です。これを \(C\) とすると \(c = 7\)、隣接する辺は \(a = 3, b = 5\) です。
ステップ2. 系を適用します：
ステップ3. 余弦が負なので角は鈍角です。値の表より \(\cos 120° = -0{,}5\) なので \(C = 120°\) です。
答え： \(120°\)。ついでに、この三角形が鈍角三角形であることもわかりました。
例4. 三角形の種類を判定する
問題。 辺が \(6, 7, 10\) の三角形の種類を判定してください。
ステップ1. 三角形の成立条件を確認：\(6 + 7 = 13 > 10\) — 三角形は存在します。最大の辺は \(10\) です。
ステップ2. 小さい2辺の2乗の和と最大の辺の2乗を比較します：
ステップ3. \(85 < 100\) なので分数の分子は負であり、\(\cos C < 0\) となります。辺 \(10\) の対角は鈍角です。必要であれば角自体も求められます：
答え： 鈍角三角形。「見た目」ではわかりません。辺の長さは近いですが、角はすでに \(90°\) を超えています。
例5. 高校入試レベル：平行四辺形の対角線
問題。 平行四辺形の辺が \(5\) と \(8\)、鋭角が \(60°\) です。短い方の対角線を求めてください。
ステップ1. 対角線は2辺 (\(5\) と \(8\)) とその間の角を持つ三角形を切り出します。短い対角線は鋭角 \(60°\) の対辺にあります。
ステップ2. 計算します：
ステップ3. 確認。 もう一方の対角線は \(120°\) の角の対辺にあります（平行四辺形の隣り合う角の和は \(180°\)）：\(D^2 = 89 + 40 = 129\)、つまり \(D = \sqrt{129} \approx 11{,}4\)。対角線の2乗の和は \(49 + 129 = 178\)、辺の2乗の和の2倍は \(2(25 + 64) = 178\)。一致したので計算は正しいです。
答え： \(7\)。
余弦定理の問題でのよくある間違い
-
鈍角の余弦をプラスの符号でとってしまう。辺 $4$ と $9$、角 $120°$ の場合、$c^2 = 16 + 81 - 2 \cdot 4 \cdot 9 \cdot 0{,}5 = 61$ と計算して $c \approx 7{,}8$ としてしまう。
\(\cos 120° = -0{,}5\) であり、マイナス×マイナスはプラスになります：\(c^2 = 97 + 36 = 133\)、つまり \(c = \sqrt{133} \approx 11{,}5\)。簡単な確認：鈍角の対辺には最も長い辺が来るので、答えは \(9\) より大きくなければなりません。
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与えられた辺に挟まれていない角を代入してしまう：問題で与えられた角を、図を見ずに「そのまま」使ってしまう。
式 \(c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C\) では、辺 \(a\) と \(b\) が角 \(C\) を作り、辺 \(c\) がその対辺です。既知の角が求める辺に隣接している場合、この式は使えません。3つの式の別のものを使うか、正弦定理が必要です。
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平方根をとるのを忘れて、辺の2乗を答えにしてしまう：$c^2 = 225$ となり「辺は225」と書いてしまう。
公式は常に辺の2乗を与えます。最後のステップは必須です：\(c = \sqrt{225} = 15\)。答えを書く前に問題文を読み返してください。
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系で項の順序を間違えて $\cos C = \dfrac{c^2 - a^2 - b^2}{2ab}$ と書いてしまう。
正しい分子は \(a^2 + b^2 - c^2\) です。隣接する辺の2乗の和から対辺の2乗を引きます。入れ替えると分数の符号が逆になり、鈍角 \(120°\) の代わりに鋭角 \(60°\) になってしまいます。
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余弦の絶対値で角を求めてしまう：$-0{,}25$ となったのに、余弦が $+0{,}25$ だったかのように鋭角を答えてしまう。
余弦が負なら常に鈍角です。符号を落としてはいけません：cos 60° = 0,5、cos 120° = −0,5。負の数の逆余弦は \(90°\) より大きくなります。
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「2辺とその間の角」の問題を正弦定理で解こうとして、最初の行で行き詰まる。
正弦定理には「辺と対角」のペアが必要です。2辺とその間の角がある場合、そのようなペアはありません。まず余弦定理で第3の辺を求め、それから正弦定理を使います。
Q&A
余弦定理とは？
三角形の1辺の2乗は、他の2辺の2乗の和から、それらの辺の積の2倍と間の角の余弦の積を引いたものに等しい：c² = a² + b² − 2ab·cos C。この定理は直角三角形だけでなく、どんな三角形でも成り立ちます。
2辺とその間の角から三角形の辺を求めるには？
データを式 c² = a² + b² − 2ab·cos C に代入し、平方根をとります。例えば辺が4と6、間の角が60°なら：c² = 16 + 36 − 2·4·6·0,5 = 28、よって c = √28 ≈ 5,3。
3辺がわかっているとき、三角形の角を求めるには？
余弦定理の系を使います：cos C = (a² + b² − c²) / (2ab)。ここで c は求める角の対辺です。例えば辺が2, 3, 4なら、最大の角の余弦は (4 + 9 − 16) / (2·2·3) = −0,25、つまり角は鈍角で約104°です。
なぜ三平方の定理は余弦定理の特殊なケースなのですか？
直角の場合 cos 90° = 0 となり、項 −2ab·cos C が消えるからです。式には c² = a² + b² が残り、これが直角三角形の三平方の定理です。
余弦定理は鈍角三角形でも成り立ちますか？
はい、そのまま成り立ちます。鈍角の余弦は負なので、項 −2ab·cos C は正になり、2乗の和に足されます。このため、鈍角の対辺が最も長くなります。
正弦定理と余弦定理はいつ使い分けますか？
正弦定理は「辺と対角」のペアが既知の場合（例えば1辺と2つの角）に使います。余弦定理はペアがない場合（2辺とその間の角、または3辺）に使います。多くの場合、まず余弦定理、次に正弦定理という2ステップで解きます。
3辺から三角形の種類を判定するには？
最大の辺の2乗 c² と他の2辺の2乗の和を比較します。a² + b² > c² なら鋭角三角形、a² + b² = c² なら直角三角形、a² + b² < c² なら鈍角三角形です。この差の符号は、最大の角の余弦の符号と一致します。
余弦定理はいつ習いますか？
中学3年生の幾何学の「三角形の辺と角の関係」という単元で、正弦定理と一緒に習います。その後、高校入試や大学入試の平面図形や空間図形で常に使われます。
