द्विघात समीकरण

Name: Homiwork
Rating: 4.92 (18437 reviews)
Author: Homiwork

द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के रूप का एक समीकरण है, जहाँ $a \neq 0$ है। इसके मूलों की संख्या विविक्तकर $D = b^2 - 4ac$ द्वारा निर्धारित होती है, और मूल स्वयं $x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$ सूत्र द्वारा ज्ञात किए जाते हैं। इस पेज पर विषय से संबंधित सब कुछ संकलित है: मानक रूप और गुणांक, अपूर्ण समीकरणों के तीन प्रकार, विविक्तकर और तीन स्थितियाँ, मूल सूत्र और इसका 'सम' संस्करण, मानक समीकरण और विएटा प्रमेय, गुणनखंडन और द्विघात-समान समीकरण — चरण-दर-चरण उदाहरणों, सामान्य गलतियों के विश्लेषण और एक इंटरैक्टिव सिम्युलेटर के साथ।

द्विघात समीकरण क्या है

द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के रूप का एक समीकरण है, जहाँ $x$ अज्ञात है, और $a$, $b$, $c$ संख्याएँ (गुणांक) हैं, जहाँ $a \neq 0$ है। इस लेखन को द्विघात समीकरण का मानक रूप कहा जाता है: बाईं ओर पद घात के घटते क्रम में होते हैं, दाईं ओर शून्य होता है।

$a \neq 0$ की शर्त कोई औपचारिकता नहीं है। यह $ax^2$ पद ही है जो समीकरण को द्विघात बनाता है: यदि $a = 0$ हो, तो $bx + c = 0$ बचता है, जो एक मूल वाला सामान्य रैखिक समीकरण है। इसलिए, पैरामीटर वाले कार्यों में, सबसे पहले यह जांचा जाता है कि क्या मुख्य गुणांक शून्य तो नहीं है।

समीकरण को लगभग हमेशा मानक रूप में लाया जा सकता है: कोष्ठक खोलें, सभी पदों को बाईं ओर ले जाएं और समान पदों को जोड़ें। उदाहरण के लिए, $5x^2 = 3x - 2$ स्थानांतरण के बाद $5x^2 - 3x + 2 = 0$ में बदल जाता है, जहाँ $a = 5$, $b = -3$, $c = 2$ है।

ax² + bx + c = 0

मुख्य गुणांक — x² का गुणक। हमेशा a ≠ 0: a = 0 होने पर समीकरण रैखिक हो जाता है।

द्वितीय गुणांक — x का गुणक। यह कुछ भी हो सकता है, शून्य या ऋणात्मक भी।

स्वतंत्र पद — x के बिना पद। यह भी शून्य हो सकता है।

चिह्न गुणांकों में शामिल होते हैं: x² − 4x − 5 = 0 में a = 1, b = −4, c = −5 होता है। यदि a = 1 हो, तो समीकरण को मानक कहा जाता है और इसे x² + px + q = 0 लिखा जाता है।

पूर्ण और अपूर्ण द्विघात समीकरण

यदि तीनों गुणांक शून्य से भिन्न हैं, तो समीकरण को पूर्ण कहा जाता है। यदि $b$ या $c$ (या दोनों) शून्य हैं, तो इसे अपूर्ण कहा जाता है। अपूर्ण प्रकार के ठीक तीन रूप हैं, और उनमें से किसी के लिए भी विविक्तकर की आवश्यकता नहीं होती है: प्रत्येक को एक या दो पंक्तियों में हल किया जाता है, और परीक्षा में समय बचाने का यह सबसे तेज़ तरीका है।

$ax^2 + bx = 0$ के लिए मुख्य विचार सामान्य गुणनखंड को बाहर निकालना है। गुणनफल $x(ax + b)$ केवल तभी शून्य के बराबर होता है जब कम से कम एक गुणनखंड शून्य हो, जिससे तुरंत दो मूल प्राप्त होते हैं। $ax^2 + c = 0$ के लिए विचार अलग है: $x^2$ को व्यक्त करें और प्राप्त संख्या के चिह्न को देखें — वास्तविक संख्या का वर्ग कभी ऋणात्मक नहीं होता है।

समीकरण का प्रकार	कैसे हल करें
ax² + c = 02x² − 50 = 0	c को दाईं ओर ले जाएं और a से विभाजित करें: x² = −c/a. वर्गमूल निकालें, दूसरा चिह्न न खोएं।x = 5 और x = −5
ax² + bx = 0x² + 7x = 0	x को कोष्ठक से बाहर निकालें: x(ax + b) = 0. गुणनफल शून्य होता है जब एक गुणनखंड शून्य हो।x = 0 और x = −7
ax² = 09x² = 0	a से विभाजित करें और शून्य का वर्गमूल निकालें। मूल हमेशा केवल एक होता है।x = 0

पहली पंक्ति में मूल नहीं भी हो सकते हैं: यदि −c/a ऋणात्मक है, तो किसी संख्या का वर्ग ऋणात्मक नहीं हो सकता।

विविक्तकर: कैसे खोजें और कितने मूल होंगे

विविक्तकर वह संख्या है जिसे पूर्ण समीकरण के गुणांकों द्वारा गिना जाता है:

\[D = b^2 - 4ac.\]

शब्द का अर्थ 'भेदक' है: विविक्तकर कुछ हल नहीं करता, यह केवल तीन स्थितियों में अंतर करता है — दो मूल, एक मूल या कोई मूल नहीं। इसलिए 'समीकरण के कितने मूल हैं' का प्रश्न मूलों को ज्ञात किए बिना ही हल हो जाता है।

$D$ की गणना सावधानी से की जानी चाहिए: $b^2$ हमेशा धनात्मक होता है, भले ही $b$ स्वयं ऋणात्मक हो, और $a$ और $c$ के चिह्न $4ac$ के गुणनफल में वैसे ही शामिल होते हैं। आइए $x^2 + 4x - 5 = 0$ लें: यहाँ $a = 1$, $b = 4$, $c = -5$ है, जिसका अर्थ है $D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36$। विविक्तकर धनात्मक है, और दो मूल होंगे।

D = b² − 4ac

D > 0

दो अलग-अलग मूल

x_1,2 = (−b ± √D) / 2a

D = 0

एक मूल

x = −b / 2a

D < 0

कोई वास्तविक मूल नहीं

ऋणात्मक संख्या का वर्गमूल नहीं निकाला जा सकता।

द्विघात समीकरण का मूल सूत्र

जब $D \ge 0$ होता है, तो मूल विषय के मुख्य सूत्र द्वारा ज्ञात किए जाते हैं:

\[x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}.\]

$\pm$ चिह्न का अर्थ दो गणनाएँ हैं: एक बार जोड़ के साथ, दूसरी बार घटाव के साथ। $D = 0$ पर, दोनों गणनाएँ एक ही संख्या $x = -\dfrac{b}{2a}$ देती हैं — इस मूल को द्वि-मूल कहा जाता है।

दो स्थान जहाँ सबसे अधिक गलतियाँ होती हैं: अंश में $b$ का ऋण होता है (यदि $b = -7$ है तो यह $+7$ हो जाता है), और हर में $2a$ होता है, न कि केवल $2$। $a = 1$ पर अंतर दिखाई नहीं देता, इसलिए गलती वहीं होती है जहाँ मुख्य गुणांक इकाई से भिन्न होता है।

आइए $2x^2 - 9x - 5 = 0$ हल करें: $D = (-9)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 81 + 40 = 121$, $\sqrt{D} = 11$, इसलिए $x_1 = \dfrac{9 + 11}{4} = 5$ और $x_2 = \dfrac{9 - 11}{4} = -0{,}5$।

मानक रूप में लाएं

कोष्ठक खोलें, सब कुछ बाईं ओर ले जाएं और समान पदों को जोड़ें: ax² + bx + c = 0

a, b, c को चिह्नों के साथ लिखें

पद के सामने का ऋण चिह्न गुणांक का हिस्सा है, न कि अलग चिह्न

विविक्तकर की गणना करें

D = b² − 4ac — b का वर्ग हमेशा धनात्मक होता है

D की तुलना शून्य से करें और मूल ज्ञात करें

x_1,2 = (−b ± √D) / 2a; D = 0 पर एक मूल, D < 0 पर कोई मूल नहीं

प्रतिस्थापन द्वारा जांचें

प्रत्येक मूल को मूल समीकरण में रखें — 0 = 0 प्राप्त होना चाहिए

सम द्वितीय गुणांक: D₁ के साथ सूत्र

यदि $b$ एक सम संख्या है, तो इसे $b = 2k$ के रूप में लिखना और 'लघु' विविक्तकर की गणना करना सुविधाजनक है:

\[D_1 = k^2 - ac, \qquad x_{1,2} = \frac{-k \pm \sqrt{D_1}}{a}.\]

गणना में संख्याएँ चार गुना छोटी हो जाती हैं ($D = 4D_1$), और $D_1$ का चिह्न वही रहता है जो $D$ का है — जिसका अर्थ है कि मूलों की संख्या के बारे में निष्कर्ष नहीं बदलता है।

उदाहरण: $3x^2 + 8x - 3 = 0$। यहाँ $b = 8$, यानी $k = 4$, और $D_1 = 4^2 - 3 \cdot (-3) = 16 + 9 = 25$, $\sqrt{D_1} = 5$। तब $x_1 = \dfrac{-4 + 5}{3} = \dfrac{1}{3}$ और $x_2 = \dfrac{-4 - 5}{3} = -3$। सामान्य सूत्र के साथ $D = 100$ के साथ काम करना पड़ता — परिणाम वही है, लेकिन अंकगणित अधिक है।

मानक समीकरण और विएटा प्रमेय

a = 1 वाले समीकरण को मानक कहा जाता है और इसे $x^2 + px + q = 0$ के रूप में लिखा जाता है। किसी भी द्विघात समीकरण को a से विभाजित करके इस रूप में लाया जा सकता है: उदाहरण के लिए, $4x^2 - 12x + 8 = 0$ को 4 से विभाजित करने के बाद $x^2 - 3x + 2 = 0$ बन जाता है।

मानक रूप मूल्यवान है क्योंकि इसके लिए विएटा प्रमेय काम करता है: मूलों का योग $-p$ के बराबर है, और गुणनफल $q$ के बराबर है। $x^2 - 7x + 10 = 0$ के लिए हमें 7 के योग और 10 के गुणनफल वाली दो संख्याओं की आवश्यकता है — ये 2 और 5 हैं, और विविक्तकर की गणना करने की आवश्यकता नहीं पड़ी।

विएटा द्वारा चयन तब काम आता है जब मूल पूर्णांक और छोटे होते हैं, और यह विविक्तकर के माध्यम से पाए गए उत्तर की मुफ्त में जांच भी करता है: योग $-p$ देना चाहिए, गुणनफल — $q$। सामान्य रूप के लिए सूत्र, व्युत्क्रम प्रमेय और चयन एल्गोरिदम को एक अलग सामग्री में समझाया गया है — विएटा प्रमेय।

द्विघात त्रिपद का गुणनखंडन

यदि मूल $x_1$ और $x_2$ मिल जाते हैं, तो द्विघात त्रिपद का गुणनखंडन किया जाता है:

\[ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2).\]

गुणक $a$ को भूलना नहीं चाहिए — इसके बिना समानता सही नहीं रहती। गुणनखंडन की जांच करना हमेशा आसान होता है: कोष्ठक खोलें और मूल त्रिपद के साथ तुलना करें। मान लीजिए, $x^2 + 2x - 8$ के मूल 2 और $-4$ हैं, इसलिए $x^2 + 2x - 8 = (x - 2)(x + 4)$।

उल्टा तरीका भी काम करता है: यदि त्रिपद का गुणनखंडन मौखिक रूप से किया जा सकता है, तो मूल तुरंत दिखाई देते हैं और विविक्तकर की आवश्यकता नहीं होती है। यहाँ संक्षिप्त गुणन सूत्र मदद करते हैं — उदाहरण के लिए, $x^2 - 16 = (x - 4)(x + 4)$ तुरंत मूल $4$ और $-4$ देता है।

मूल सूत्र के बिना काम चलाने का तीसरा तरीका — पूर्ण वर्ग बनाना है। $x^2 + 6x + 5 = 0$ में पहले दो पदों को योग के वर्ग तक पूरा किया जाता है: $(x + 3)^2 - 9 + 5 = 0$, यानी $(x + 3)^2 = 4$, जहाँ से $x + 3 = \pm 2$ और $x = -1$ या $x = -5$। इसी तकनीक से मूल सूत्र को सामान्य रूप में निकाला जाता है।

द्विघात समीकरणों में कम करने योग्य समीकरण: द्विघात-समान

द्विघात-समान समीकरण का रूप $ax^4 + bx^2 + c = 0$ होता है: केवल सम घातें। इसे $t = x^2$ प्रतिस्थापन द्वारा हल किया जाता है, और यह $t \ge 0$ शर्त के साथ अनिवार्य है — वास्तविक संख्या का वर्ग ऋणात्मक नहीं होता है।

प्रतिस्थापन के बाद एक सामान्य द्विघात समीकरण $at^2 + bt + c = 0$ प्राप्त होता है। इसे विविक्तकर द्वारा हल किया जाता है, और फिर प्रत्येक गैर-ऋणात्मक मूल $t$ के लिए $x = \pm\sqrt{t}$ पर वापस लौटा जाता है। यहाँ से मूलों की संख्या: चार तक।

उदाहरण के लिए, $x^4 - 5x^2 + 4 = 0$ प्रतिस्थापन के बाद $t^2 - 5t + 4 = 0$ देता है जिसके मूल $t = 1$ और $t = 4$ हैं। दोनों धनात्मक हैं, इसलिए $x = \pm 1$ और $x = \pm 2$ — कुल चार मूल। यदि $t$ में से एक ऋणात्मक होता, तो उसे बस छोड़ दिया जाता।

उसी तकनीक से भिन्नात्मक-तार्किक समीकरणों (सामान्य हर में लाने और निषिद्ध मानों को छोड़ने के बाद) और $t = x^2 + 3x$ प्रकार के प्रतिस्थापन वाले समीकरणों को हल किया जाता है।

द्विघात समीकरण समाधान के उदाहरण

उदाहरण 1. पूर्ण समीकरण, D > 0

हल करें $3x^2 - 7x + 2 = 0$।

चरण 1. समीकरण पहले से ही मानक रूप में है: $a = 3$, $b = -7$, $c = 2$।

चरण 2. $D = (-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 49 - 24 = 25 > 0$ — दो मूल।

चरण 3. $\sqrt{D} = 5$, इसलिए $x_{1,2} = \dfrac{7 \pm 5}{6}$: $x_1 = \dfrac{12}{6} = 2$, $x_2 = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}$।

चरण 4. प्रतिस्थापन द्वारा जांच। $3 \cdot 2^2 - 7 \cdot 2 + 2 = 12 - 14 + 2 = 0$; $3 \cdot \left(\tfrac{1}{3}\right)^2 - 7 \cdot \tfrac{1}{3} + 2 = \tfrac{1}{3} - \tfrac{7}{3} + 2 = 0$।

उत्तर: $x_1 = 2$, $x_2 = \dfrac{1}{3}$।

उदाहरण 2. विविक्तकर शून्य के बराबर है

हल करें $4x^2 - 12x + 9 = 0$।

चरण 1. $a = 4$, $b = -12$, $c = 9$।

चरण 2. $D = (-12)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 9 = 144 - 144 = 0$ — एक मूल।

चरण 3. $x = -\dfrac{b}{2a} = \dfrac{12}{8} = 1{,}5$।

चरण 4. जांच। $4 \cdot 1{,}5^2 - 12 \cdot 1{,}5 + 9 = 9 - 18 + 9 = 0$।

उत्तर: $x = 1{,}5$। ध्यान दें: बाईं ओर पूर्ण वर्ग $(2x - 3)^2$ है, इसलिए केवल एक मूल प्राप्त हुआ।

उदाहरण 3. विविक्तकर ऋणात्मक है

हल करें $2x^2 + 3x + 5 = 0$।

चरण 1. $a = 2$, $b = 3$, $c = 5$।

चरण 2. $D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot 5 = 9 - 40 = -31 < 0$।

चरण 3. विविक्तकर ऋणात्मक है, जिसका अर्थ है कि वास्तविक संख्याओं के बीच $\sqrt{D}$ नहीं निकाला जा सकता। मूल सूत्र लागू करने की आवश्यकता नहीं है — समाधान यहीं समाप्त होता है।

उत्तर: कोई वास्तविक मूल नहीं है। यह एक पूर्ण उत्तर है, न कि गलती का संकेत: फलन $y = 2x^2 + 3x + 5$ का ग्राफ बस x-अक्ष को नहीं काटता है।

उदाहरण 4. ax² + c = 0 प्रकार का अपूर्ण समीकरण

हल करें $3x^2 - 27 = 0$।

चरण 1. स्वतंत्र पद को स्थानांतरित करें: $3x^2 = 27$।

चरण 2. 3 से विभाजित करें: $x^2 = 9$।

चरण 3. दो संख्याओं का वर्ग 9 होता है: $x = 3$ और $x = -3$। दूसरा चिह्न अक्सर खो जाता है।

चरण 4. जांच। $3 \cdot 3^2 - 27 = 0$; $3 \cdot (-3)^2 - 27 = 27 - 27 = 0$।

उत्तर: $x_1 = 3$, $x_2 = -3$। $2x^2 + 8 = 0$ समीकरण के साथ तुलना करें: वहाँ $x^2 = -4$ है, और कोई वास्तविक मूल नहीं है।

उदाहरण 5. ax² + bx = 0 प्रकार का अपूर्ण समीकरण

हल करें $5x^2 - 15x = 0$।

चरण 1. सामान्य गुणनखंड बाहर निकालें: $5x(x - 3) = 0$।

चरण 2. गुणनफल शून्य होता है जब एक गुणनखंड शून्य हो: $5x = 0$ या $x - 3 = 0$।

चरण 3. यहाँ से $x_1 = 0$, $x_2 = 3$।

चरण 4. जांच। $5 \cdot 0^2 - 15 \cdot 0 = 0$; $5 \cdot 3^2 - 15 \cdot 3 = 45 - 45 = 0$।

उत्तर: $x_1 = 0$, $x_2 = 3$। यदि मूल समीकरण को $x$ से काट दिया जाए, तो केवल $x = 3$ बचेगा — $x = 0$ मूल खो जाएगा। अज्ञात वाले व्यंजक से विभाजित नहीं करना चाहिए।

उदाहरण 6. सम द्वितीय गुणांक

हल करें $5x^2 - 22x + 8 = 0$।

चरण 1. $b = -22$ — सम है, इसलिए $k = -11$, और $a = 5$, $c = 8$।

चरण 2. $D_1 = k^2 - ac = (-11)^2 - 5 \cdot 8 = 121 - 40 = 81$, $\sqrt{D_1} = 9$।

चरण 3. $x_{1,2} = \dfrac{-k \pm \sqrt{D_1}}{a} = \dfrac{11 \pm 9}{5}$: $x_1 = 4$, $x_2 = \dfrac{2}{5} = 0{,}4$।

चरण 4. जांच। $5 \cdot 4^2 - 22 \cdot 4 + 8 = 80 - 88 + 8 = 0$; $5 \cdot 0{,}4^2 - 22 \cdot 0{,}4 + 8 = 0{,}8 - 8{,}8 + 8 = 0$।

उत्तर: $x_1 = 4$, $x_2 = 0{,}4$। सामान्य विविक्तकर $D = 324$ देता — वही उत्तर, लेकिन गणना में अधिक समय लगता।

उदाहरण 7. पहले मानक रूप में लाएं

हल करें $(x - 3)(x + 5) = 9$।

चरण 1. कोष्ठक खोलें: $x^2 + 5x - 3x - 15 = 9$, यानी $x^2 + 2x - 15 = 9$।

चरण 2. नौ को बाईं ओर ले जाएं: $x^2 + 2x - 24 = 0$। केवल अब गुणांक लिख सकते हैं: $a = 1$, $b = 2$, $c = -24$।

चरण 3. $D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 4 + 96 = 100$, $\sqrt{D} = 10$, $x_{1,2} = \dfrac{-2 \pm 10}{2}$: $x_1 = 4$, $x_2 = -6$।

चरण 4. मूल समीकरण में जांच। $(4 - 3)(4 + 5) = 1 \cdot 9 = 9$; $(-6 - 3)(-6 + 5) = (-9) \cdot (-1) = 9$।

उत्तर: $x_1 = 4$, $x_2 = -6$। यहाँ सामान्य गलती — प्रत्येक कोष्ठक को 9 के बराबर करना: 'गुणनफल शून्य है' नियम केवल शून्य के लिए काम करता है।

उदाहरण 8. त्रिपद का गुणनखंडन

गुणनखंडन करें $2x^2 - 5x - 3$ का।

चरण 1. त्रिपद को शून्य के बराबर करें और मूल ज्ञात करें: $D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49$, $\sqrt{D} = 7$, $x_{1,2} = \dfrac{5 \pm 7}{4}$: $x_1 = 3$, $x_2 = -\dfrac{1}{2}$।

चरण 2. सूत्र $a(x - x_1)(x - x_2)$ में रखें: $2(x - 3)\left(x + \tfrac{1}{2}\right)$।

चरण 3. दो को दूसरे कोष्ठक में ले जाना सुविधाजनक है: $(x - 3)(2x + 1)$।

चरण 4. कोष्ठक खोलकर जांच। $(x - 3)(2x + 1) = 2x^2 + x - 6x - 3 = 2x^2 - 5x - 3$।

उत्तर: $2x^2 - 5x - 3 = (x - 3)(2x + 1)$।

उदाहरण 9. द्विघात-समान समीकरण

हल करें $x^4 - 13x^2 + 36 = 0$।

चरण 1. प्रतिस्थापन $t = x^2$, जहाँ $t \ge 0$। समीकरण $t^2 - 13t + 36 = 0$ में बदल जाता है।

चरण 2. $D = (-13)^2 - 4 \cdot 36 = 169 - 144 = 25$, $\sqrt{D} = 5$, $t_{1,2} = \dfrac{13 \pm 5}{2}$: $t_1 = 9$, $t_2 = 4$।

चरण 3. दोनों मान गैर-ऋणात्मक हैं, इसलिए $x$ पर वापस लौटते हैं: $x^2 = 9$ से $x = \pm 3$ मिलता है, $x^2 = 4$ से — $x = \pm 2$।

चरण 4. जांच। $3^4 - 13 \cdot 3^2 + 36 = 81 - 117 + 36 = 0$; $2^4 - 13 \cdot 2^2 + 36 = 16 - 52 + 36 = 0$। ऋणात्मक मानों के लिए सम घातें वही संख्याएँ देती हैं।

उत्तर: $x = \pm 2$ और $x = \pm 3$ — चार मूल।

द्विघात समीकरण हल करते समय सामान्य गलतियाँ

समीकरण को मानक रूप में लाए बिना विविक्तकर की गणना करना: $2x^2 + 3x = x^2 + 5$ के लिए तुरंत $a = 2$, $b = 3$, $c = 0$ लेते हैं।

पहले सब कुछ बाईं ओर ले जाएं और समान पदों को जोड़ें: $2x^2 + 3x - x^2 - 5 = 0$, यानी $x^2 + 3x - 5 = 0$। केवल यहाँ से $a = 1$, $b = 3$, $c = -5$ है। मूल सूत्र केवल मानक रूप के साथ काम करता है।
$b$ का वर्ग करते समय चिह्न खोना: $x^2 - 9x + 14 = 0$ के लिए $D = -81 - 56$ लिखते हैं।

किसी भी संख्या का वर्ग गैर-ऋणात्मक होता है: $(-9)^2 = 81$, न कि $-81$। सही $D = 81 - 56 = 25$, मूल $x = \dfrac{9 \pm 5}{2}$, यानी 7 और 2 है। जांच: $49 - 63 + 14 = 0$ और $4 - 18 + 14 = 0$।
अंश में $-b$ के बजाय $b$ छोड़ना: $x^2 + 5x - 6 = 0$ के लिए $x = \dfrac{5 \pm 7}{2}$ गिनते हैं।

सूत्र में $-b$ है, इसलिए $b = 5$ पर अंश में $-5$ होगा: $x = \dfrac{-5 \pm 7}{2}$, जहाँ से $x_1 = 1$, $x_2 = -6$। प्रतिस्थापन पुष्टि करता है: $1 + 5 - 6 = 0$ और $36 - 30 - 6 = 0$।
$D = 0$ पर 'कोई मूल नहीं' लिखना: $x^2 + 14x + 49 = 0$ के लिए विविक्तकर शून्य है, और समाधान को बीच में छोड़ देते हैं।

कोई मूल नहीं केवल $D < 0$ पर होता है। $D = 0$ पर केवल एक मूल है: $x = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{14}{2} = -7$। जांच: $49 - 98 + 49 = 0$।
$4x^2 - 9x = 0$ समीकरण को $x$ से काटना और केवल एक मूल $x = 2{,}25$ प्राप्त करना।

अज्ञात वाले व्यंजक से विभाजित नहीं करना चाहिए: $x$ शून्य हो सकता है, और $x = 0$ मूल खो जाता है। सही गुणनखंड बाहर निकालना है: $x(4x - 9) = 0$, जहाँ से $x_1 = 0$ और $x_2 = 2{,}25$। जांच: $4 \cdot 2{,}25^2 - 9 \cdot 2{,}25 = 20{,}25 - 20{,}25 = 0$।
$x^2 = 16$ समीकरण में केवल $x = 4$ लिखना।

वर्ग 16 संख्या $-4$ का भी होता है। दोनों मूल लिखने चाहिए: $x = \pm 4$। मानक रूप $x^2 - 16 = 0$ के माध्यम से हल करना अधिक विश्वसनीय है, यानी $(x - 4)(x + 4) = 0$ — तब दोनों गुणनखंड तुरंत दिखाई देते हैं।
पैरामीटर वाले समीकरण में $a \neq 0$ शर्त की जांच न करना: $(m - 2)x^2 + 3x - 1 = 0$ में तुरंत विविक्तकर की गणना करना।

$m = 2$ पर मुख्य गुणांक शून्य हो जाता है, और समीकरण $3x - 1 = 0$ रैखिक बन जाता है जिसका एकमात्र मूल $x = \dfrac{1}{3}$ है। $m = 2$ स्थिति को अलग से हल करें, और मूल सूत्र केवल $m \neq 2$ पर लागू करें।

प्रश्न और उत्तर

द्विघात समीकरण क्या है?

यह $ax^2 + bx + c = 0$ के रूप का समीकरण है, जहाँ $a$, $b$, $c$ संख्याएँ हैं और $a \neq 0$ है। अज्ञात इसमें दूसरी घात में आता है, इसलिए दो, एक या कोई मूल नहीं हो सकता है।

द्विघात समीकरण का मानक रूप कैसा दिखता है?

मानक (सामान्य) रूप — $ax^2 + bx + c = 0$: सभी पद बाईं ओर घात के घटते क्रम में एकत्र किए गए हैं, दाईं ओर शून्य है। विविक्तकर की गणना करने से पहले किसी भी द्विघात समीकरण को इसी रूप में लाया जाता है।

विविक्तकर कैसे खोजें?

सूत्र $D = b^2 - 4ac$ द्वारा, गुणांकों को उनके चिह्नों के साथ रखकर। उदाहरण के लिए, $x^2 + 3x - 10 = 0$ के लिए हमें $D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49$ प्राप्त होता है, और मूल $\dfrac{-3 \pm 7}{2}$ के बराबर हैं, यानी 2 और $-5$।

द्विघात समीकरण का मूल सूत्र क्या है?

$x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$, या संक्षेप में $x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$। यह $D \ge 0$ पर लागू होता है; हर में ठीक $2a$ है, न कि 2।

द्विघात समीकरण के कितने मूल हो सकते हैं?

दो से अधिक नहीं। $D > 0$ पर दो मूल, $D = 0$ पर — एक (द्वि-मूल), $D < 0$ पर वास्तविक मूल नहीं होते हैं।

अपूर्ण द्विघात समीकरण क्या है?

यह वह समीकरण है जिसमें $b = 0$, $c = 0$ या दोनों एक साथ हैं: $ax^2 + c = 0$, $ax^2 + bx = 0$, $ax^2 = 0$। तीनों को विविक्तकर के बिना हल किया जाता है — पद को स्थानांतरित करके या $x$ को कोष्ठक से बाहर निकालकर।

विविक्तकर के बिना द्विघात समीकरण कैसे हल करें?

तीन रास्ते हैं: मानक समीकरण के लिए विएटा प्रमेय द्वारा मूलों का चयन, गुणनखंडन और पूर्ण वर्ग बनाना। सबसे तेज़ चयन काम करता है, जब मूल — छोटी पूर्णांक संख्याएँ हों।

यदि विविक्तकर ऋणात्मक हो तो क्या करें?

लिखें कि वास्तविक मूल नहीं हैं, और समाधान समाप्त करें। ऋणात्मक विविक्तकर — यह एक सामान्य उत्तर है: संबंधित परवलय का ग्राफ x-अक्ष को नहीं काटता है। इस मामले में मूल केवल सम्मिश्र संख्याओं के बीच मौजूद होते हैं, और उनका अध्ययन बाद में किया जाता है।

प्राप्त मूलों की जांच कैसे करें?

प्रत्येक मूल को मूल समीकरण में रखें — एक सही समानता प्राप्त होनी चाहिए। मानक समीकरण के लिए विएटा प्रमेय द्वारा भी त्वरित जांच है: मूलों का योग $-p$ के बराबर है, गुणनफल $q$ के बराबर है।

द्विघात और द्विघातीय समीकरण — क्या यह एक ही बात है?

हाँ, ये $ax^2 + bx + c = 0$ वस्तु के दो नाम हैं। इसे द्विघातीय फलन $y = ax^2 + bx + c$ के साथ भ्रमित न करें: समीकरण के मूल — वास्तव में उन बिंदुओं के भुज हैं जहाँ फलन का ग्राफ x-अक्ष को काटता है।

द्विघात समीकरण किस कक्षा में पढ़ाए जाते हैं?

कक्षा 8 में बीजगणित में: पहले अपूर्ण समीकरण, फिर विविक्तकर, मूल सूत्र और विएटा प्रमेय। आगे विषय द्विघातीय फलन, असमिकाओं, OGE और EGE कार्यों में मिलता है।

क्या कोई प्रश्न बाकी है? चैट में जारी रखें

मेरा समीकरण हल करें मेरे समाधान की जांच करें कितने मूल? गुणनखंडन करें अपूर्ण समीकरण समझाएं अभ्यास के लिए कार्य दें

User #4365351

मुझे फोटो-पर-टेक्स्ट एडिटर बहुत पसंद आया — परिणाम बिल्कुल शानदार रहा।

Web · मई 2026

User #4383661

धन्यवाद, न्यूरल नेटवर्क का काम देखकर मैं वाकई प्रभावित हूँ। एकदम सही!

User #4279467

मुझे यह बहुत पसंद आया — अगर कुछ और मुफ्त प्रयास मिलें तो बहुत अच्छा होगा।

Google Play · मई 2026

User #4160129

किफायती कीमतों वाला एक शानदार ऐप।