קנה המידה של המפה מראה פי כמה המרחק על המפה קטן מהמרחק האמיתי בשטח. הוא זה שמאפשר, עם סרגל ביד, לדעת כמה קילומטרים יש בין שתי ערים מבלי לצאת מהבית. נסביר שלושה סוגי קנה מידה — מספרי, מילולי ולינארי, נלמד להמיר אחד לשני, לחשב מרחק על המפה ולקבוע את קנה המידה באופן עצמאי. בסוף — מתרגל אינטראקטיבי עם בעיות.
מהו קנה מידה של מפה
קנה מידה הוא היחס בין אורך קטע על המפה (או תוכנית) לאורך הקטע המתאים בשטח. רושמים אותו כיחס בין שני מספרים: 1 : 200,000. המספר הראשון הוא תמיד אחד — זה 1 ס"מ על המפה. המספר השני, המכנה, מראה לכמה סנטימטרים בשטח סנטימטר זה מתאים.
קנה מידה 1 : 200,000 פירושו שכל המרחקים על המפה מוקטנים פי 200,000. כלומר, 1 ס"מ על המפה — זה 200,000 ס"מ בשטח, כלומר 2 ק"מ.
שני חלקי היחס מבוטאים באותן יחידות — בסנטימטרים, ולכן לקנה מידה אין יחידות מידה: הרישום "1 : 200,000 ק"מ" אינו נכון. לקנה מידה יש לכל מפה, תוכנית שטח, שרטוט ומודל — הוא נחתם בתחתית המפה או במקרא שלה.
סוגי קנה מידה: מספרי, מילולי ולינארי
אותו קנה מידה נרשם בשלוש דרכים — כולן פירושן בדיוק אותו הדבר:
- קנה מידה מספרי — יחס מספרים: 1 : 100,000. רישום אוניברסלי, נוח לחישוב.
- קנה מידה מילולי — במילים: ב-1 ס"מ — 1 ק"מ. מיד ברור כמה קילומטרים "נכנסים בסנטימטר אחד".
- קנה מידה לינארי — סרגל-סקאלה מתחת למפה עם סימונים חתומים. לפיו מודדים מרחק ישירות, ללא חישובים.
כדי להמיר קנה מידה מספרי לקנה מידה מילולי, מחלקים את המכנה ב-100 (מתקבלים מטרים) או ב-100,000 (מתקבלים קילומטרים) — כי 1 מ' = 100 ס"מ, ו-1 ק"מ = 100,000 ס"מ. ההמרה ההפוכה, מילולי למספרי, נעשית באותה צורה הפוכה: ממירים את הגודל לסנטימטרים ומציבים במכנה.
| קנה מידה מספרי | מילולי |
|---|---|
| 1 : 1001 ס"מ = 100 ס"מ | 1 מ' |
| 1 : 50001 ס"מ = 5000 ס"מ | 50 מ' |
| 1 : 25 0001 ס"מ = 25 000 ס"מ | 250 מ' |
| 1 : 100 0001 ס"מ = 100 000 ס"מ | 1 ק"מ |
| 1 : 200 0001 ס"מ = 200 000 ס"מ | 2 ק"מ |
| 1 : 1 000 0001 ס"מ = 1 000 000 ס"מ | 10 ק"מ |
קנה מידה לינארי: כיצד למדוד מרחק ללא חישובים
קנה מידה לינארי הוא סקאלה מוכנה, מצוירת מתחת למפה: הסימונים שלה כבר חתומים במטרים או קילומטרים, ולכן אין צורך להכפיל או לחלק.
כיצד להשתמש בו:
- מדדו את הקטע על המפה בעזרת ציקלומטר או סמנו את אורכו על קצה רצועת נייר.
- הניחו את הקטע על הסקאלה כך שהקצה הימני יתלכד בדיוק עם סימון שלם.
- הקצה השמאלי יתמקם בסימון משמאל לאפס — הוא מחולק במיוחד לחלקים קטנים. לפיהם קוראים את השארית: מאות מטרים.
- חברו את הסימונים השלמים ואת השארית — זהו המרחק בשטח.
על הסקאלה למטה, הקצה הימני של הקטע נמצא בסימון "2", והשמאלי — ב-400 מ' משמאל לאפס. אורך הקטע — 2 ק"מ + 400 מ' = 2.4 ק"מ.
כיצד לחשב מרחק על המפה ולקבוע את קנה המידה
כמעט כל בעיות קנה המידה בבית הספר הן שלוש פעולות הפוכות זו לזו.
מרחק בשטח. מדדו את הקטע על המפה בסנטימטרים והכפילו במכנה קנה המידה — תקבלו סנטימטרים בשטח. לאחר מכן המירו אותם למטרים (÷ 100) או קילומטרים (÷ 100,000).
קנה מידה של מפה. אם ידוע המרחק האמיתי ואורך הקטע על המפה, המירו את המרחק לסנטימטרים וחלקו באורך הקטע. המספר המתקבל הוא מכנה קנה המידה.
אורך הקטע על המפה. המירו את המרחק בשטח לסנטימטרים וחלקו במכנה קנה המידה.
כל האריתמטיקה נשענת על שרשרת יחידות אחת, שכדאי ללמוד בעל פה: 1 מ' = 100 ס"מ, 1 ק"מ = 1000 מ' = 100,000 ס"מ.
קנה מידה גדול וקטן של מפה
כאן טועים הכי הרבה. הכלל אחד: ככל שהמכנה גדול יותר, כך קנה המידה קטן יותר. קנה מידה הוא שבר 1/200,000, ומשני שברים, הגדול יותר הוא זה שהמכנה שלו קטן יותר.
- קנה מידה גדול (1 : 5000, 1 : 10,000) — מכנה קטן, הקטנה חלשה. התמונה מפורטת: רואים בתים בודדים ושבילים, אך על הדף נכנס שטח קטן. כך עושים תוכניות שטח.
- קנה מידה קטן (1 : 10,000,000) — מכנה עצום, הקטנה חזקה. על דף אחד נכנס יבשת שלמה, אך הפרטים נעלמים: נשארים רק ערים גדולות, נהרות ומערכות הרים.
לפי קנה מידה, מפות מחולקות למפות בקנה מידה גדול (מ-1 : 10,000 עד 1 : 200,000), מפות בקנה מידה בינוני (מ-1 : 200,000 עד 1 : 1,000,000) ומפות בקנה מידה קטן (קטן מ-1 : 1,000,000). תוכניות שטח תמיד גדולות מ-1 : 10,000.
דוגמאות לפתרון בעיות קנה מידה
דוגמה 1. מרחק על המפה → לשטח
בעיה. קנה המידה של המפה 1 : 200,000. המרחק בין שני יישובים על המפה — 3 ס"מ. כמה קילומטרים יש ביניהם בשטח?
שלב 1. מכנה קנה המידה — 200,000. כלומר, 1 ס"מ על המפה = 200,000 ס"מ בשטח.
שלב 2. נכפיל את אורך הקטע במכנה: 3 × 200,000 = 600,000 ס"מ.
שלב 3. נמיר סנטימטרים למטרים: 600,000 ÷ 100 = 6000 מ'.
שלב 4. מטרים לקילומטרים: 6000 ÷ 1000 = 6 ק"מ.
תשובה: 6 ק"מ. דרך קצרה: 600,000 ÷ 100,000 = 6 ק"מ, כי 1 ק"מ = 100,000 ס"מ.
דוגמה 2. כיצד לקבוע את קנה המידה של המפה
בעיה. ידוע שהמרחק בין ערים הוא 12 ק"מ, ועל המפה מרחק זה שווה ל-8 ס"מ. קבע את קנה המידה המספרי של המפה.
שלב 1. נמיר את המרחק האמיתי לסנטימטרים: 12 ק"מ × 100,000 = 1,200,000 ס"מ.
שלב 2. נחלק באורך הקטע על המפה: 1,200,000 ÷ 8 = 150,000.
שלב 3. נרשום את התשובה כיחס: 1 : 150,000.
בדיקה. בדרך הפוכה: 8 × 150,000 = 1,200,000 ס"מ = 12 ק"מ. מסתדר.
תשובה: קנה מידה 1 : 150,000, מילולי — ב-1 ס"מ 1.5 ק"מ.
דוגמה 3. מה יהיה אורך הקטע על המפה
בעיה. קנה המידה של תוכנית שטח הוא 1 : 25,000. מה יהיה אורך קטע המייצג כביש באורך 3 ק"מ על התוכנית?
שלב 1. נמיר את המרחק לסנטימטרים: 3 ק"מ × 100,000 = 300,000 ס"מ.
שלב 2. נחלק במכנה קנה המידה: 300,000 ÷ 25,000 = 12 ס"מ.
בדיקה. 12 × 25,000 = 300,000 ס"מ = 3 ק"מ. מסתדר.
תשובה: 12 ס"מ. שימו לב: כאן אנו מחלקים, לא מכפילים — הבעיה הפוכה מהראשונה.
דוגמה 4. המרת קנה מידה מסוג לסוג
בעיה. המירו את קנה המידה 1 : 25,000 לקנה מידה מילולי, ואת קנה המידה המילולי "ב-1 ס"מ 500 מ'" — לקנה מידה מספרי.
מספרי → מילולי. מכנה 25,000 הוא סנטימטרים. נחלק ב-100: 25,000 ÷ 100 = 250 מ'. נקבל "ב-1 ס"מ — 250 מ'".
מילולי → מספרי. נמיר 500 מ' לסנטימטרים: 500 × 100 = 50,000 ס"מ. נציב מספר זה במכנה: 1 : 50,000.
טיפ. אם המכנה מתחלק ב-100,000, התשובה מתקבלת מיד בקילומטרים: 1 : 500,000 → 500,000 ÷ 100,000 = 5, כלומר "ב-1 ס"מ 5 ק"מ".
טעויות נפוצות בעבודה עם קנה מידה
-
חושבים ש-1 : 1,000,000 הוא קנה מידה "גדול", כי המספר גדול, ואילו 1 : 5000 — "קטן".
ההפך. קנה מידה הוא שבר 1/1,000,000, וככל שהמכנה גדול יותר, כך השבר קטן יותר וקנה המידה קטן יותר. 1 : 5000 גדול פי מאתיים מ-1 : 1,000,000.
-
מאבדים אפסים בהמרת סנטימטרים לקילומטרים: 600,000 ס"מ נרשמים כ-60 ק"מ או 600 ק"מ.
זכרו את השרשרת: 1 ק"מ = 1000 מ' = 100,000 ס"מ. יש לחלק ב-100,000, לא ב-10,000 ולא ב-1000: 600,000 ÷ 100,000 = 6 ק"מ. שיטה אמינה — לחשב בשני שלבים: קודם ÷ 100 (מטרים), ואז ÷ 1000 (קילומטרים).
-
בבעיה הפוכה מכפילים במקום לחלק: כדי למצוא את אורך הקטע על המפה, מכפילים את המרחק במכנה קנה המידה.
על המפה הכל מוקטן, לכן אורך הקטע קטן יותר — אסור להכפיל. מהשטח למפה תמיד מחלקים במכנה, מהמפה לשטח — מכפילים. בדיקה מהירה: תשובה "קטע על המפה 400 ס"מ" עבור 4 ק"מ היא ברור אבסורדית.
-
רושמים יחידות מידה בקנה מידה: "1 : 100,000 ק"מ" או "1 ס"מ : 1 ק"מ".
קנה מידה מספרי הוא יחס בין גדלים בעלי אותן יחידות, ולכן אין לו יחידות: נכון "1 : 100,000". ואילו רישום במילים — זה כבר קנה מידה מילולי, והוא מעוצב אחרת: "ב-1 ס"מ — 1 ק"מ".
-
נהר או כביש מתפתלים נמדדים בסרגל בקו ישר בין הנקודות הסופיות.
כך יתקבל אורך בקו ישר, ולא אורך המסלול. קו מעוקם מודדים בעזרת קורבימטר, חוט שפורסים לאחר מכן ומצמידים לסרגל, או מחלקים לקטעים ישרים קצרים וסוכמים את אורכיהם — ורק אז מכפילים בקנה המידה.
שאלות ותשובות
מה מראה קנה המידה של המפה?
קנה המידה מראה פי כמה המרחקים על המפה מוקטנים בהשוואה למרחקים האמיתיים בשטח. קנה מידה 1 : 200,000 פירושו הקטנה פי 200,000: לסנטימטר אחד על המפה מתאימים 200,000 ס"מ, כלומר 2 ק"מ בשטח.
כיצד לקבוע את קנה המידה של המפה אם הוא אינו חתום?
צריך לדעת לפחות מרחק אמיתי אחד. מדדו קטע זה על המפה בסנטימטרים, המירו את המרחק הידוע לסנטימטרים (1 ק"מ = 100,000 ס"מ) וחלקו אחד בשני. לדוגמה, 20 ק"מ = 2,000,000 ס"מ, קטע 8 ס"מ: 2,000,000 ÷ 8 = 250,000, קנה מידה 1 : 250,000.
איזה קנה מידה גדול יותר: 1 : 10,000 או 1 : 100,000?
גדול יותר 1 : 10,000, כי יש לו מכנה קטן יותר והקטנה חלשה יותר. על מפה כזו רואים יותר פרטים, אך נכנסת טריטוריה קטנה יותר. הכלל פשוט: ככל שהמכנה גדול יותר, כך קנה המידה קטן יותר.
כמה סנטימטרים יש בקילומטר אחד?
בקילומטר אחד יש 100,000 סנטימטרים: 1 ק"מ = 1000 מ', ו-1 מ' = 100 ס"מ, כלומר 1000 × 100 = 100,000 ס"מ. בדיוק בגלל זה קנה מידה 1 : 100,000 נקרא "ב-1 ס"מ — 1 ק"מ".
במה שונה קנה המידה של תוכנית שטח מקנה המידה של מפה?
העיקרון זהה, רק הגודל שונה. לתוכנית שטח קנה מידה גדול — בדרך כלל 1 : 5000 ומעלה, ולכן רואים עליה בניינים בודדים, שבילים ועצים. למפות קנה מידה קטן יותר, אך כיסוי השטח גדול יותר — עד כל העולם.
כיצד להשתמש בקנה מידה לינארי על המפה?
הניחו את הקטע שנמדד על הסקאלה כך שהקצה הימני יתלכד עם סימון שלם. הקצה השמאלי יתמקם בסימון משמאל לאפס, המחולק לחלקים קטנים — לפיהם קוראים את השארית במאות מטרים. סכום הסימונים השלמים והשארית הוא המרחק; אין צורך לחשב דבר.
