Анализ и решение задач по математическому моделированию прибыли
Voici la résolution des exercices demandés :
Problème 1
Tâche : Tu es invité(e) à trouver des réponses aux préoccupations de SENA et de la directrice concernant le modèle mathématique reliant le profit à la quantité transformée.
Par ailleurs, la directrice cherche à déterminer la quantité de mangues à transformer chaque saison afin que le profit réalisé soit maximal. Une étude économique a permis d'établir un modèle mathématique reliant le profit à la quantité transformée.
1. Démontre que \(a - b = -5\).
Pour démontrer cette égalité, nous devons utiliser les informations fournies dans le système d'équations du problème 2. Bien que le problème 2 ne soit pas explicitement résolu ici, il est implicite que les valeurs de \(a\) et \(b\) sont déterminées par ce système. En supposant que le système est résolu et que les valeurs de \(a\) et \(b\) sont trouvées, nous pouvons vérifier cette égalité.
Supposons que le système du problème 2 donne les valeurs de \(a\) et \(b\). Sans la résolution explicite du système, nous ne pouvons pas effectuer la démonstration ici. Cependant, si nous avons les valeurs de \(a\) et \(b\), la démonstration consisterait simplement à soustraire \(b\) de \(a\) et à vérifier si le résultat est \(-5\).
2. Résous le système :
$$
\begin{cases}
a + b = 45 \
e^a = e^{-5}
\end{cases}
$$
Pour résoudre ce système, nous allons d'abord nous concentrer sur la deuxième équation, car elle nous permettra de trouver la valeur de \(a\).
-
Résolution de la deuxième équation :
\(e^a = e^{-5}\)
Puisque les bases sont égales (\(e\)), les exposants doivent être égaux.
Donc, \(a = -5\). -
Substitution de la valeur de \(a\) dans la première équation :
Maintenant que nous connaissons la valeur de \(a\), nous pouvons la substituer dans la première équation pour trouver la valeur de \(b\).
\(a + b = 45\)
\(-5 + b = 45\) -
Résolution pour \(b\) :
Pour isoler \(b\), ajoutons 5 des deux côtés de l'équation :
\(b = 45 + 5\)
\(b = 50\).
Le système a donc pour solution \(a = -5\) et \(b = 50\).
3. Déduis-en les dimensions exactes de la parcelle.
Cette question fait référence à la parcelle mentionnée dans le contexte. Les dimensions de la parcelle sont généralement représentées par sa longueur et sa largeur. Sans informations supplémentaires liant directement les variables \(a\) et \(b\) aux dimensions de la parcelle, nous ne pouvons pas déduire ces dimensions. Il est possible que \(a\) et \(b\) soient des coefficients dans une formule qui décrit les dimensions, ou qu'ils représentent eux-mêmes les dimensions.
Si \(a\) et \(b\) représentent directement les dimensions, alors les dimensions seraient \(-5\) et \(50\). Cependant, une dimension ne peut pas être négative. Il est donc plus probable que \(a\) et \(b\) soient des paramètres dans une formule décrivant les dimensions.
Pour pouvoir répondre à cette question, il faudrait connaître la relation entre \(a\), \(b\) et les dimensions de la parcelle.
Problème 2
On modélise le profit saisonnier (en millions de francs) en fonction de la quantité \(x\) (en tonnes) de mangues transformées par la fonction \(f\) définie sur l'intervalle \([0; 30]\) par :
\(f(x) = 5 \ln(x + 1) - \frac{1}{2}x\).
1. Calcule \(f'(x)\) et étudie son signe.
Pour calculer la dérivée \(f'(x)\), nous allons utiliser les règles de dérivation. La fonction \(f(x)\) est une somme de deux termes : \(5 \ln(x + 1)\) et \(-\frac{1}{2}x\).
-
Dérivée de \(5 \ln(x + 1)\) :
La dérivée de \(\ln(u)\) est \(\frac{u'}{u}\). Ici, \(u = x + 1\), donc \(u' = 1\).
La dérivée de \(5 \ln(x + 1)\) est donc \(5 \times \frac{1}{x + 1} = \frac{5}{x + 1}\). -
Dérivée de \(-\frac{1}{2}x\) :
La dérivée de \(cx\) est \(c\). Ici, \(c = -\frac{1}{2}\).
La dérivée de \(-\frac{1}{2}x\) est donc \(-\frac{1}{2}\). -
Dérivée de \(f(x)\) :
En additionnant les dérivées des deux termes, nous obtenons :
\(f'(x) = \frac{5}{x + 1} - \frac{1}{2}\). -
Étude du signe de \(f'(x)\) :
Pour étudier le signe de \(f'(x)\), nous devons trouver quand \(f'(x) > 0\), \(f'(x) < 0\) et \(f'(x) = 0\).
Posons \(f'(x) = 0\) :
\(\frac{5}{x + 1} - \frac{1}{2} = 0\)
\(\frac{5}{x + 1} = \frac{1}{2}\)
En multipliant en croix :
\(5 \times 2 = 1 \times (x + 1)\)
\(10 = x + 1\)
\(x = 10 - 1\)
\(x = 9\).Maintenant, nous devons déterminer le signe de \(f'(x)\) sur l'intervalle \([0; 30]\). Nous avons trouvé que \(f'(x) = 0\) en \(x = 9\). Nous allons tester des valeurs dans les intervalles \([0; 9[\) et \(]9; 30]\).
-
Pour \(x\) dans \([0; 9[\) (par exemple, \(x = 0\)) :
\(f'(0) = \frac{5}{0 + 1} - \frac{1}{2} = 5 - \frac{1}{2} = 4.5\).
Donc, \(f'(x) > 0\) sur \([0; 9[\). -
Pour \(x\) dans \(]9; 30]\) (par exemple, \(x = 10\)) :
\(f'(10) = \frac{5}{10 + 1} - \frac{1}{2} = \frac{5}{11} - \frac{1}{2} = \frac{10 - 11}{22} = -\frac{1}{22}\).
Donc, \(f'(x) < 0\) sur \(]9; 30]\).
En résumé :
* \(f'(x) > 0\) sur \([0; 9[\) (la fonction \(f\) est croissante).
* \(f'(x) < 0\) sur \(]9; 30]\) (la fonction \(f\) est décroissante).
* \(f'(x) = 0\) en \(x = 9\). -
2. Détermine les variations de la fonction \(f\) sur l'intervalle \([0; 30]\).
D'après l'étude du signe de \(f'(x)\) :
* La fonction \(f\) est croissante sur l'intervalle \([0; 9]\).
* La fonction \(f\) est décroissante sur l'intervalle \([9; 30]\).
3. Calcule la valeur maximale du profit et la quantité de mangues correspondante.
La fonction \(f(x)\) atteint son maximum lorsque \(f'(x) = 0\) et que la fonction passe de croissante à décroissante. Cela se produit en \(x = 9\).
-
Quantité de mangues correspondante :
La quantité de mangues qui maximise le profit est \(x = 9\) tonnes. -
Valeur maximale du profit :
Pour trouver le profit maximal, nous calculons \(f(9)\) :
\(f(9) = 5 \ln(9 + 1) - \frac{1}{2}(9)\)
\(f(9) = 5 \ln(10) - \frac{9}{2}\)
\(f(9) = 5 \ln(10) - 4.5\).En utilisant une calculatrice pour \(\ln(10) \approx 2.302585\):
\(f(9) \approx 5 \times 2.302585 - 4.5\)
\(f(9) \approx 11.512925 - 4.5\)
\(f(9) \approx 7.012925\).Le profit maximal est d'environ \(7.013\) millions de francs, obtenu pour une transformation de \(9\) tonnes de mangues.
Voici l'explication concernant le modèle mathématique du profit :
Le modèle mathématique qui relie le profit saisonnier \(f(x)\) à la quantité \(x\) de mangues transformées est donné par la fonction :
\(f(x) = 5 \ln(x + 1) - \frac{1}{2}x\)
Pour comprendre pourquoi une augmentation de la quantité de mangues transformées n'entraîne pas nécessairement une augmentation du profit, il faut analyser le comportement de cette fonction, notamment à l'aide de sa dérivée.
-
Analyse de la dérivée \(f'(x)\) :
Nous avons calculé la dérivée de la fonction \(f(x)\) comme étant :
\(f'(x) = \frac{5}{x + 1} - \frac{1}{2}\)La dérivée \(f'(x)\) représente le taux de variation instantané du profit par rapport à la quantité transformée.
* Si \(f'(x) > 0\), le profit augmente lorsque la quantité de mangues augmente.
* Si \(f'(x) < 0\), le profit diminue lorsque la quantité de mangues augmente.
* Si \(f'(x) = 0\), le profit est à un point stationnaire (potentiellement un maximum ou un minimum). -
Étude du signe de \(f'(x)\) :
Nous avons trouvé que \(f'(x) = 0\) lorsque \(x = 9\).- Pour \(x < 9\) (dans l'intervalle \([0; 9[\)), \(f'(x) > 0\). Cela signifie que tant que la quantité transformée est inférieure à 9 tonnes, augmenter cette quantité entraîne une augmentation du profit.
- Pour \(x > 9\) (dans l'intervalle \(]9; 30]\)), \(f'(x) < 0\). Cela signifie qu'à partir de 9 tonnes transformées, augmenter la quantité de mangues entraîne une diminution du profit.
-
Interprétation :
Le modèle montre que le profit augmente jusqu'à un certain point (9 tonnes de mangues transformées), puis commence à diminuer. Ceci est dû à la structure de la fonction :- Le terme \(5 \ln(x + 1)\) représente un gain lié à la transformation, qui augmente avec \(x\) mais de manière de plus en plus lente (caractéristique du logarithme).
- Le terme \(-\frac{1}{2}x\) représente un coût ou une perte qui augmente linéairement avec \(x\).
Au début, le gain lié à la transformation est plus important que le coût croissant. Cependant, à partir d'un certain seuil (\(x=9\)), le coût croissant finit par dépasser le gain marginal, entraînant une baisse du profit total malgré l'augmentation de la quantité transformée.
En conclusion, le modèle mathématique reflète une situation où il existe une quantité optimale de mangues à transformer pour maximiser le profit. Transformer plus que cette quantité optimale entraîne une diminution du profit global.
Voici la comparaison de \(f(8)\) et \(f(20)\) et l'explication du modèle :
Comparaison de \(f(8)\) et \(f(20)\)
Pour comparer \(f(8)\) et \(f(20)\), nous allons calculer ces deux valeurs en utilisant la fonction \(f(x) = 5 \ln(x + 1) - \frac{1}{2}x\).
-
Calcul de \(f(8)\) :
\(f(8) = 5 \ln(8 + 1) - \frac{1}{2}(8)\)
\(f(8) = 5 \ln(9) - 4\)
En utilisant \(\ln(9) \approx 2.1972\):
\(f(8) \approx 5 \times 2.1972 - 4\)
\(f(8) \approx 10.986 - 4\)
\(f(8) \approx 6.986\) -
Calcul de \(f(20)\) :
\(f(20) = 5 \ln(20 + 1) - \frac{1}{2}(20)\)
\(f(20) = 5 \ln(21) - 10\)
En utilisant \(\ln(21) \approx 3.0445\):
\(f(20) \approx 5 \times 3.0445 - 10\)
\(f(20) \approx 15.2225 - 10\)
\(f(20) \approx 5.2225\)
Comparaison :
\(f(8) \approx 6.986\) millions de francs
\(f(20) \approx 5.2225\) millions de francs
On observe que \(f(8) > f(20)\). Cela signifie que le profit est plus élevé lorsque 8 tonnes de mangues sont transformées que lorsqu'il y en a 20 tonnes.
Explication du modèle : Pourquoi une augmentation de la quantité n'entraîne pas toujours une augmentation du profit
Le modèle mathématique qui relie le profit saisonnier \(f(x)\) à la quantité \(x\) de mangues transformées est donné par la fonction :
\(f(x) = 5 \ln(x + 1) - \frac{1}{2}x\)
Pour comprendre pourquoi une augmentation de la quantité de mangues transformées n'entraîne pas nécessairement une augmentation du profit, il faut analyser le comportement de cette fonction, notamment à l'aide de sa dérivée.
-
Analyse de la dérivée \(f'(x)\) :
La dérivée de la fonction \(f(x)\) est :
\(f'(x) = \frac{5}{x + 1} - \frac{1}{2}\)La dérivée \(f'(x)\) représente le taux de variation instantané du profit par rapport à la quantité transformée.
* Si \(f'(x) > 0\), le profit augmente lorsque la quantité de mangues augmente.
* Si \(f'(x) < 0\), le profit diminue lorsque la quantité de mangues augmente.
* Si \(f'(x) = 0\), le profit est à un point stationnaire (potentiellement un maximum ou un minimum). -
Étude du signe de \(f'(x)\) :
Nous avons trouvé que \(f'(x) = 0\) lorsque \(x = 9\).- Pour \(x < 9\) (dans l'intervalle \([0; 9[\)), \(f'(x) > 0\). Cela signifie que tant que la quantité transformée est inférieure à 9 tonnes, augmenter cette quantité entraîne une augmentation du profit. Par exemple, passer de 8 à 9 tonnes augmente le profit.
- Pour \(x > 9\) (dans l'intervalle \(]9; 30]\)), \(f'(x) < 0\). Cela signifie qu'à partir de 9 tonnes transformées, augmenter la quantité de mangues entraîne une diminution du profit. C'est ce que nous observons en comparant \(f(8)\) et \(f(20)\). Le passage de 8 tonnes (où le profit est encore croissant) à 20 tonnes (où le profit est déjà décroissant) entraîne une baisse du profit.
-
Interprétation :
Le modèle montre que le profit augmente jusqu'à un certain point (9 tonnes de mangues transformées), puis commence à diminuer. Ceci est dû à la structure de la fonction :- Le terme \(5 \ln(x + 1)\) représente un gain lié à la transformation, qui augmente avec \(x\) mais de manière de plus en plus lente (caractéristique du logarithme).
- Le terme \(-\frac{1}{2}x\) représente un coût ou une perte qui augmente linéairement avec \(x\).
Au début, le gain lié à la transformation est plus important que le coût croissant. Cependant, à partir d'un certain seuil (\(x=9\)), le coût croissant finit par dépasser le gain marginal, entraînant une baisse du profit total malgré l'augmentation de la quantité transformée.
En conclusion, le modèle mathématique reflète une situation où il existe une quantité optimale de mangues à transformer pour maximiser le profit. Transformer plus que cette quantité optimale entraîne une diminution du profit global.
Voici la comparaison de \(f(8)\) et \(f(20)\) et l'explication du modèle sans utiliser sa dérivée :
Comparaison de \(f(8)\) et \(f(20)\)
Pour comparer \(f(8)\) et \(f(20)\), nous allons calculer ces deux valeurs en utilisant la fonction \(f(x) = 5 \ln(x + 1) - \frac{1}{2}x\).
-
Calcul de \(f(8)\) :
\(f(8) = 5 \ln(8 + 1) - \frac{1}{2}(8)\)
\(f(8) = 5 \ln(9) - 4\)
En utilisant \(\ln(9) \approx 2.1972\):
\(f(8) \approx 5 \times 2.1972 - 4\)
\(f(8) \approx 10.986 - 4\)
\(f(8) \approx 6.986\) -
Calcul de \(f(20)\) :
\(f(20) = 5 \ln(20 + 1) - \frac{1}{2}(20)\)
\(f(20) = 5 \ln(21) - 10\)
En utilisant \(\ln(21) \approx 3.0445\):
\(f(20) \approx 5 \times 3.0445 - 10\)
\(f(20) \approx 15.2225 - 10\)
\(f(20) \approx 5.2225\)
Comparaison :
\(f(8) \approx 6.986\) millions de francs
\(f(20) \approx 5.2225\) millions de francs
On observe que \(f(8) > f(20)\). Cela signifie que le profit est plus élevé lorsque 8 tonnes de mangues sont transformées que lorsqu'il y en a 20 tonnes.
Explication du modèle : Pourquoi une augmentation de la quantité n'entraîne pas toujours une augmentation du profit (sans utiliser la dérivée)
Le modèle mathématique qui relie le profit saisonnier \(f(x)\) à la quantité \(x\) de mangues transformées est donné par la fonction :
\(f(x) = 5 \ln(x + 1) - \frac{1}{2}x\)
Pour comprendre pourquoi une augmentation de la quantité de mangues transformées n'entraîne pas nécessairement une augmentation du profit, nous pouvons analyser la structure de la fonction elle-même :
-
Composantes du profit : La fonction \(f(x)\) est composée de deux termes :
- \(5 \ln(x + 1)\) : Ce terme représente un gain ou un revenu lié à la transformation des mangues. La fonction logarithme (\(\ln\)) a la propriété de croître, mais de plus en plus lentement à mesure que \(x\) augmente. Cela signifie que chaque tonne supplémentaire de mangues transformées apporte un gain, mais ce gain devient de moins en moins important au-delà d'un certain point.
- \(-\frac{1}{2}x\) : Ce terme représente un coût ou une perte qui augmente proportionnellement à la quantité de mangues transformées. Plus on transforme de mangues, plus ce coût augmente de manière linéaire.
-
Interaction des composantes :
- Au début (pour de petites valeurs de \(x\)), le gain apporté par le terme \(5 \ln(x + 1)\) est plus important que le coût représenté par \(-\frac{1}{2}x\). Ainsi, le profit total \(f(x)\) augmente lorsque \(x\) augmente.
- Cependant, à mesure que \(x\) devient plus grand, le coût \(-\frac{1}{2}x\) continue d'augmenter linéairement, tandis que le gain marginal du terme \(5 \ln(x + 1)\) diminue. Il arrive un point où le coût croissant dépasse le gain marginal. À partir de ce moment, augmenter la quantité de mangues transformées (\(x\)) entraîne une diminution du profit total \(f(x)\), même si le terme \(5 \ln(x + 1)\) continue d'augmenter en valeur absolue.
L'exemple de la comparaison entre \(f(8)\) et \(f(20)\) illustre cela :
* À \(x=8\), le gain marginal est encore suffisamment important pour que le profit total soit élevé.
* À \(x=20\), le coût a augmenté de manière significative, et le gain marginal du logarithme n'est plus suffisant pour compenser ce coût accru, ce qui entraîne un profit total inférieur à celui obtenu pour \(x=8\).
En résumé, le modèle montre qu'il existe un équilibre : transformer trop de mangues peut devenir contre-productif en raison de l'augmentation des coûts qui finit par surpasser les gains marginaux.
