Identifier les racines (zéros) de la fonction:

• Les racines sont les points où la parabole coupe l'axe des x. D'après le graphique, les racines sont $x_1 = 0$ et $x_2 = 2$.

Forme factorisée d'une fonction quadratique:

• La forme factorisée d'une fonction quadratique est donnée par $f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)$, où $x_1$ et $x_2$ sont les racines et $a$ est un coefficient.

Substituer les racines dans la forme factorisée:

• $f(x) = a(x - 0)(x - 2) = a \cdot x \cdot (x - 2)$

Déterminer le coefficient 'a':

• On peut utiliser un point connu de la parabole pour trouver $a$. Par exemple, le sommet de la parabole semble être au point $(1, 1)$. Donc, $f(1) = 1$.
• $1 = a \cdot 1 \cdot (1 - 2)$
• $1 = a \cdot 1 \cdot (-1)$
• $1 = -a$
• $a = -1$

Écrire la forme factorisée complète:

• $f(x) = -1 \cdot x \cdot (x - 2)$
• $f(x) = -x(x - 2)$
• $f(x) = -x^2 + 2x$

Identifier les racines (zéros) de la fonction:

• Les racines sont les points où la parabole coupe l'axe des x. D'après le graphique, les racines sont $x_1 = 0$ et $x_2 = 2$.

Forme factorisée d'une fonction quadratique:

• La forme factorisée d'une fonction quadratique est donnée par $f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)$, où $x_1$ et $x_2$ sont les racines et $a$ est un coefficient.

Substituer les racines dans la forme factorisée:

• $f(x) = a(x - 0)(x - 2) = a \cdot x \cdot (x - 2)$

Déterminer le coefficient 'a':

• On peut utiliser un point connu de la parabole pour trouver $a$. Par exemple, le sommet de la parabole semble être au point $(1, 1)$. Donc, $f(1) = 1$.
• $1 = a \cdot 1 \cdot (1 - 2)$
• $1 = a \cdot 1 \cdot (-1)$
• $1 = -a$
• $a = -1$

Écrire la forme factorisée complète:

• $f(x) = -1 \cdot x \cdot (x - 2)$
• $f(x) = -x(x - 2)$
• $f(x) = -x^2 + 2x$

Identifier les racines (zéros) de la fonction:

• Les racines sont les points où la parabole coupe l'axe des x. Selon vos indications, les racines sont $x_1 = -1$ et $x_2 = 5$.

Forme factorisée d'une fonction quadratique:

• La forme factorisée d'une fonction quadratique est donnée par $f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)$, où $x_1$ et $x_2$ sont les racines et $a$ est un coefficient.

Substituer les racines dans la forme factorisée:

• $f(x) = a(x - (-1))(x - 5) = a(x + 1)(x - 5)$

Déterminer le coefficient 'a':

• On peut utiliser un point connu de la parabole pour trouver $a$. D'après le graphique, le sommet de la parabole semble être au point $(2, 9)$. Donc, $f(2) = 9$.
• $9 = a(2 + 1)(2 - 5)$
• $9 = a(3)(-3)$
• $9 = -9a$
• $a = -1$

Écrire la forme factorisée complète:

• $f(x) = -1(x + 1)(x - 5)$
• $f(x) = -(x + 1)(x - 5)$
• $f(x) = -(x^2 - 5x + x - 5)$
• $f(x) = -(x^2 - 4x - 5)$
• $f(x) = -x^2 + 4x + 5$

Forme canonique d'une fonction quadratique:

• La forme canonique d'une fonction quadratique est donnée par $f(x) = a(x - h)^2 + k$, où $(h, k)$ est le sommet de la parabole.

Identifier les coefficients:

• Dans $f(x) = 3x^2 - x + 7$, on a $a = 3$, $b = -1$, et $c = 7$.

Calculer h (l'abscisse du sommet):

• $h = \frac{-b}{2a} = \frac{-(-1)}{2 \cdot 3} = \frac{1}{6}$

Calculer k (l'ordonnée du sommet):

• $k = f(h) = f\left(\frac{1}{6}\right) = 3\left(\frac{1}{6}\right)^2 - \frac{1}{6} + 7$
• $k = 3\left(\frac{1}{36}\right) - \frac{1}{6} + 7 = \frac{1}{12} - \frac{1}{6} + 7$
• $k = \frac{1}{12} - \frac{2}{12} + \frac{84}{12} = \frac{83}{12}$

Écrire la forme canonique:

• $f(x) = a(x - h)^2 + k = 3\left(x - \frac{1}{6}\right)^2 + \frac{83}{12}$

Forme canonique d'une fonction quadratique:

• La forme canonique d'une fonction quadratique est donnée par $f(x) = a(x - h)^2 + k$, où $(h, k)$ est le sommet de la parabole.
• L'objectif est de transformer l'expression $f(x) = 3x^2 - x + 7$ en cette forme.

Identifier les coefficients:

• Dans $f(x) = 3x^2 - x + 7$, on a $a = 3$, $b = -1$, et $c = 7$.
• $a$ est le coefficient de $x^2$, $b$ est le coefficient de $x$, et $c$ est le terme constant.

Calculer h (l'abscisse du sommet):

• La formule pour trouver $h$ est $h = \frac{-b}{2a}$.
• Dans notre cas, $h = \frac{-(-1)}{2 \cdot 3} = \frac{1}{6}$.
• $h$ représente la valeur de $x$ au sommet de la parabole.

Calculer k (l'ordonnée du sommet):

• $k = f(h) = f\left(\frac{1}{6}\right)$. Cela signifie que nous devons substituer $x = \frac{1}{6}$ dans l'équation originale de $f(x)$.
• $k = 3\left(\frac{1}{6}\right)^2 - \frac{1}{6} + 7$
• $k = 3\left(\frac{1}{36}\right) - \frac{1}{6} + 7 = \frac{1}{12} - \frac{1}{6} + 7$
• Pour additionner ces termes, nous devons trouver un dénominateur commun, qui est 12.
• $k = \frac{1}{12} - \frac{2}{12} + \frac{84}{12} = \frac{1 - 2 + 84}{12} = \frac{83}{12}$
• $k$ représente la valeur de $y$ au sommet de la parabole.

Écrire la forme canonique:

• Maintenant que nous avons trouvé $a = 3$, $h = \frac{1}{6}$, et $k = \frac{83}{12}$, nous pouvons écrire la forme canonique:
• $f(x) = a(x - h)^2 + k = 3\left(x - \frac{1}{6}\right)^2 + \frac{83}{12}$