Exercice de mathématiques: forme factorisée d'une fonction quadratique

Identifier les racines (zéros) de la fonction:

• Les racines sont les points où la parabole coupe l'axe des x. D'après le graphique, les racines sont \(x_1 = 0\) et \(x_2 = 2\).

Forme factorisée d'une fonction quadratique:

• La forme factorisée d'une fonction quadratique est donnée par \(f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\), où \(x_1\) et \(x_2\) sont les racines et \(a\) est un coefficient.

Substituer les racines dans la forme factorisée:

• \(f(x) = a(x - 0)(x - 2) = a \cdot x \cdot (x - 2)\)

Déterminer le coefficient 'a':

• On peut utiliser un point connu de la parabole pour trouver \(a\). Par exemple, le sommet de la parabole semble être au point \((1, 1)\). Donc, \(f(1) = 1\).
• \(1 = a \cdot 1 \cdot (1 - 2)\)
• \(1 = a \cdot 1 \cdot (-1)\)
• \(1 = -a\)
• \(a = -1\)

Écrire la forme factorisée complète:

• \(f(x) = -1 \cdot x \cdot (x - 2)\)
• \(f(x) = -x(x - 2)\)
• \(f(x) = -x^2 + 2x\)

Identifier les racines (zéros) de la fonction:

• Les racines sont les points où la parabole coupe l'axe des x. D'après le graphique, les racines sont \(x_1 = 0\) et \(x_2 = 2\).

Forme factorisée d'une fonction quadratique:

• La forme factorisée d'une fonction quadratique est donnée par \(f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\), où \(x_1\) et \(x_2\) sont les racines et \(a\) est un coefficient.

Substituer les racines dans la forme factorisée:

• \(f(x) = a(x - 0)(x - 2) = a \cdot x \cdot (x - 2)\)

Déterminer le coefficient 'a':

• On peut utiliser un point connu de la parabole pour trouver \(a\). Par exemple, le sommet de la parabole semble être au point \((1, 1)\). Donc, \(f(1) = 1\).
• \(1 = a \cdot 1 \cdot (1 - 2)\)
• \(1 = a \cdot 1 \cdot (-1)\)
• \(1 = -a\)
• \(a = -1\)

Écrire la forme factorisée complète:

• \(f(x) = -1 \cdot x \cdot (x - 2)\)
• \(f(x) = -x(x - 2)\)
• \(f(x) = -x^2 + 2x\)

Identifier les racines (zéros) de la fonction:

• Les racines sont les points où la parabole coupe l'axe des x. Selon vos indications, les racines sont \(x_1 = -1\) et \(x_2 = 5\).

Forme factorisée d'une fonction quadratique:

• La forme factorisée d'une fonction quadratique est donnée par \(f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\), où \(x_1\) et \(x_2\) sont les racines et \(a\) est un coefficient.

Substituer les racines dans la forme factorisée:

• \(f(x) = a(x - (-1))(x - 5) = a(x + 1)(x - 5)\)

Déterminer le coefficient 'a':

• On peut utiliser un point connu de la parabole pour trouver \(a\). D'après le graphique, le sommet de la parabole semble être au point \((2, 9)\). Donc, \(f(2) = 9\).
• \(9 = a(2 + 1)(2 - 5)\)
• \(9 = a(3)(-3)\)
• \(9 = -9a\)
• \(a = -1\)

Écrire la forme factorisée complète:

• \(f(x) = -1(x + 1)(x - 5)\)
• \(f(x) = -(x + 1)(x - 5)\)
• \(f(x) = -(x^2 - 5x + x - 5)\)
• \(f(x) = -(x^2 - 4x - 5)\)
• \(f(x) = -x^2 + 4x + 5\)

Forme canonique d'une fonction quadratique:

• La forme canonique d'une fonction quadratique est donnée par \(f(x) = a(x - h)^2 + k\), où \((h, k)\) est le sommet de la parabole.

Identifier les coefficients:

• Dans \(f(x) = 3x^2 - x + 7\), on a \(a = 3\), \(b = -1\), et \(c = 7\).

Calculer h (l'abscisse du sommet):

• \(h = \frac{-b}{2a} = \frac{-(-1)}{2 \cdot 3} = \frac{1}{6}\)

Calculer k (l'ordonnée du sommet):

• \(k = f(h) = f\left(\frac{1}{6}\right) = 3\left(\frac{1}{6}\right)^2 - \frac{1}{6} + 7\)
• \(k = 3\left(\frac{1}{36}\right) - \frac{1}{6} + 7 = \frac{1}{12} - \frac{1}{6} + 7\)
• \(k = \frac{1}{12} - \frac{2}{12} + \frac{84}{12} = \frac{83}{12}\)

Écrire la forme canonique:

• \(f(x) = a(x - h)^2 + k = 3\left(x - \frac{1}{6}\right)^2 + \frac{83}{12}\)

Forme canonique d'une fonction quadratique:

• La forme canonique d'une fonction quadratique est donnée par \(f(x) = a(x - h)^2 + k\), où \((h, k)\) est le sommet de la parabole.
• L'objectif est de transformer l'expression \(f(x) = 3x^2 - x + 7\) en cette forme.

Identifier les coefficients:

• Dans \(f(x) = 3x^2 - x + 7\), on a \(a = 3\), \(b = -1\), et \(c = 7\).
• \(a\) est le coefficient de \(x^2\), \(b\) est le coefficient de \(x\), et \(c\) est le terme constant.

Calculer h (l'abscisse du sommet):

• La formule pour trouver \(h\) est \(h = \frac{-b}{2a}\).
• Dans notre cas, \(h = \frac{-(-1)}{2 \cdot 3} = \frac{1}{6}\).
• \(h\) représente la valeur de \(x\) au sommet de la parabole.

Calculer k (l'ordonnée du sommet):

• \(k = f(h) = f\left(\frac{1}{6}\right)\). Cela signifie que nous devons substituer \(x = \frac{1}{6}\) dans l'équation originale de \(f(x)\).
• \(k = 3\left(\frac{1}{6}\right)^2 - \frac{1}{6} + 7\)
• \(k = 3\left(\frac{1}{36}\right) - \frac{1}{6} + 7 = \frac{1}{12} - \frac{1}{6} + 7\)
• Pour additionner ces termes, nous devons trouver un dénominateur commun, qui est 12.
• \(k = \frac{1}{12} - \frac{2}{12} + \frac{84}{12} = \frac{1 - 2 + 84}{12} = \frac{83}{12}\)
• \(k\) représente la valeur de \(y\) au sommet de la parabole.

Écrire la forme canonique:

• Maintenant que nous avons trouvé \(a = 3\), \(h = \frac{1}{6}\), et \(k = \frac{83}{12}\), nous pouvons écrire la forme canonique:
• \(f(x) = a(x - h)^2 + k = 3\left(x - \frac{1}{6}\right)^2 + \frac{83}{12}\)