El problema consiste en simplificar fracciones que contienen raíces cuadradas en el denominador. Para ello, se debe racionalizar el denominador, es decir, eliminar la raíz cuadrada del denominador multiplicando el numerador y el denominador por la raíz cuadrada presente.

Задание 1 (a)

Simplificar la expresión: $\frac{2}{3\sqrt{2}}$

Solución:

1. Identificar la raíz cuadrada en el denominador: $\sqrt{2}$.
2. Multiplicar el numerador y el denominador por $\sqrt{2}$:
   $\frac{2}{3\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$
3. Realizar la multiplicación:
   Numerador: $2 \times \sqrt{2} = 2\sqrt{2}$
   Denominador: $3\sqrt{2} \times \sqrt{2} = 3 \times (\sqrt{2})^2 = 3 \times 2 = 6$
4. Combinar el numerador y el denominador:
   $\frac{2\sqrt{2}}{6}$
5. Simplificar la fracción dividiendo el numerador y el denominador por su máximo común divisor, que es 2:
   $\frac{2\sqrt{2} \div 2}{6 \div 2} = \frac{\sqrt{2}}{3}$

Respuesta: $\frac{\sqrt{2}}{3}$

Задание 2 (b)

Simplificar la expresión: $\frac{4}{2\sqrt{2}}$

Solución:

1. Identificar la raíz cuadrada en el denominador: $\sqrt{2}$.
2. Multiplicar el numerador y el denominador por $\sqrt{2}$:
   $\frac{4}{2\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$
3. Realizar la multiplicación:
   Numerador: $4 \times \sqrt{2} = 4\sqrt{2}$
   Denominador: $2\sqrt{2} \times \sqrt{2} = 2 \times (\sqrt{2})^2 = 2 \times 2 = 4$
4. Combinar el numerador y el denominador:
   $\frac{4\sqrt{2}}{4}$
5. Simplificar la fracción dividiendo el numerador y el denominador por su máximo común divisor, que es 4:
   $\frac{4\sqrt{2} \div 4}{4 \div 4} = \frac{\sqrt{2}}{1} = \sqrt{2}$

Respuesta: $\sqrt{2}$

Задание 3 (c)

Simplificar la expresión: $\frac{6}{2\sqrt{1}}$

Solución:

1. Observar la expresión: el término $\sqrt{1}$ en el denominador.
2. Simplificar $\sqrt{1}$:
   $\sqrt{1} = 1$
3. Reescribir el denominador:
   $2\sqrt{1} = 2 \times 1 = 2$
4. La expresión se convierte en:
   $\frac{6}{2}$
5. Simplificar la fracción:
   $\frac{6}{2} = 3$

Respuesta: 3

Задание 4 (d)

Simplificar la expresión: $\frac{2}{5\sqrt{3}}$

Solución:

1. Identificar la raíz cuadrada en el denominador: $\sqrt{3}$.
2. Multiplicar el numerador y el denominador por $\sqrt{3}$:
   $\frac{2}{5\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$
3. Realizar la multiplicación:
   Numerador: $2 \times \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$
   Denominador: $5\sqrt{3} \times \sqrt{3} = 5 \times (\sqrt{3})^2 = 5 \times 3 = 15$
4. Combinar el numerador y el denominador:
   $\frac{2\sqrt{3}}{15}$
5. Verificar si la fracción se puede simplificar. En este caso, 2 y 15 no tienen factores comunes aparte de 1, por lo que la fracción ya está simplificada.

Respuesta: $\frac{2\sqrt{3}}{15}$