¡Hola! Vamos a resolver los límites aplicando las propiedades correspondientes.

Задание 12

El límite es:
$$\lim_{x \to 3} (x^3 + 2x^2 - x - 4)$$

Para resolver este límite, simplemente sustituimos $x$ por 3 en la expresión:

$$(3)^3 + 2(3)^2 - (3) - 4 = 27 + 2(9) - 3 - 4 = 27 + 18 - 3 - 4 = 38$$

Por lo tanto,
$$\lim_{x \to 3} (x^3 + 2x^2 - x - 4) = 38$$

Respuesta: 38

Задание 14

El límite es:
$$\lim_{x \to 2} \sqrt[3]{x^2 + 4}$$

Sustituimos $x$ por 2 en la expresión:

$$\sqrt[3]{(2)^2 + 4} = \sqrt[3]{4 + 4} = \sqrt[3]{8} = 2$$

Por lo tanto,
$$\lim_{x \to 2} \sqrt[3]{x^2 + 4} = 2$$

Respuesta: 2

Задание 15

El límite es:
$$\lim_{x \to 1} (x+3)(2x^2)$$

Sustituimos $x$ por 1 en la expresión:

$$(1+3)(2(1)^2) = (4)(2(1)) = (4)(2) = 8$$

Por lo tanto,
$$\lim_{x \to 1} (x+3)(2x^2) = 8$$

Respuesta: 8

¡Claro! Vamos a clasificar los límites resueltos según las propiedades generales que se aplican en cada caso.

Propiedades de los Límites Utilizadas

1. Límite de una Suma/Resta: El límite de una suma o resta de funciones es la suma o resta de los límites de cada función individualmente.
2. Límite de un Producto: El límite de un producto de funciones es el producto de los límites de cada función.
3. Límite de una Constante: El límite de una constante es la constante misma.
4. Límite de una Raíz: El límite de la raíz de una función es la raíz del límite de la función.
5. Sustitución Directa: Si la función es continua en el punto al que tiende $x$, simplemente sustituimos el valor de $x$ en la función.

Clasificación de los Límites Resueltos

Задание 12

$$\lim_{x \to 3} (x^3 + 2x^2 - x - 4)$$

• Tipo de Límite: Límite de un polinomio.
• Propiedades Utilizadas:
  • Límite de una Suma/Resta.
  • Límite de una Constante.
  • Sustitución Directa.

En este caso, aplicamos la sustitución directa porque el polinomio es continuo en $x = 3$.

Задание 14

$$\lim_{x \to 2} \sqrt[3]{x^2 + 4}$$

• Tipo de Límite: Límite de una raíz cúbica de una función.
• Propiedades Utilizadas:
  • Límite de una Raíz.
  • Límite de una Suma.
  • Sustitución Directa.

Aquí, primero aplicamos la propiedad del límite de una raíz y luego sustituimos directamente el valor de $x$.

Задание 15

$$\lim_{x \to 1} (x+3)(2x^2)$$

• Tipo de Límite: Límite de un producto de funciones.
• Propiedades Utilizadas:
  • Límite de un Producto.
  • Límite de una Suma.
  • Límite de una Constante.
  • Sustitución Directa.

Aplicamos la propiedad del límite de un producto y luego sustituimos directamente el valor de $x$ en cada factor.

¡Claro! Vamos a resolver el ejercicio 16 aplicando las propiedades de los límites.

Задание 16

El límite es:
$$\lim_{x \to 2} (x^5)$$

Para resolver este límite, simplemente sustituimos $x$ por 2 en la expresión:

$$(2)^5 = 32$$

Por lo tanto,
$$\lim_{x \to 2} (x^5) = 32$$

Respuesta: 32

• Tipo de Límite: Límite de una función potencia.
• Propiedades Utilizadas:
  • Sustitución Directa.

En este caso, aplicamos la sustitución directa porque la función $x^5$ es continua en $x = 2$.

¡Entendido! Vamos a resolver los ejercicios indicando el nombre de cada propiedad utilizada y el procedimiento correspondiente.

Задание 12

$$\lim_{x \to 3} (x^3 + 2x^2 - x - 4)$$

1. Propiedad de la Suma/Resta:
   $$\lim_{x \to 3} x^3 + \lim_{x \to 3} 2x^2 - \lim_{x \to 3} x - \lim_{x \to 3} 4$$
   Procedimiento: Separamos el límite en la suma y resta de cada término.

2. Propiedad del Producto por una Constante:
   $$\lim_{x \to 3} x^3 + 2\lim_{x \to 3} x^2 - \lim_{x \to 3} x - \lim_{x \to 3} 4$$
   Procedimiento: Sacamos la constante del límite.

3. Propiedad de la Sustitución Directa:
   $$(3)^3 + 2(3)^2 - (3) - 4$$
   Procedimiento: Sustituimos $x$ por 3 en cada término.

4. Cálculo:
   $$27 + 2(9) - 3 - 4 = 27 + 18 - 3 - 4 = 38$$
   Procedimiento: Realizamos las operaciones aritméticas.

Respuesta: 38

Задание 14

$$\lim_{x \to 2} \sqrt[3]{x^2 + 4}$$

1. Propiedad de la Raíz:
   $$\sqrt[3]{\lim_{x \to 2} (x^2 + 4)}$$
   Procedimiento: Introducimos el límite dentro de la raíz.

2. Propiedad de la Suma:
   $$\sqrt[3]{\lim_{x \to 2} x^2 + \lim_{x \to 2} 4}$$
   Procedimiento: Separamos el límite en la suma de cada término.

3. Propiedad de la Sustitución Directa:
   $$\sqrt[3]{(2)^2 + 4}$$
   Procedimiento: Sustituimos $x$ por 2 en el término $x^2$.

4. Cálculo:
   $$\sqrt[3]{4 + 4} = \sqrt[3]{8} = 2$$
   Procedimiento: Realizamos las operaciones aritméticas.

Respuesta: 2

Задание 15

$$\lim_{x \to 1} (x+3)(2x^2)$$

1. Propiedad del Producto:
   $$(\lim_{x \to 1} (x+3))(\lim_{x \to 1} (2x^2))$$
   Procedimiento: Separamos el límite en el producto de los límites de cada factor.

2. Propiedad de la Suma y Producto por una Constante:
   $$(\lim_{x \to 1} x + \lim_{x \to 1} 3)(2\lim_{x \to 1} x^2)$$
   Procedimiento: Separamos el límite en la suma y sacamos la constante del límite.

3. Propiedad de la Sustitución Directa:
   $$(1+3)(2(1)^2)$$
   Procedimiento: Sustituimos $x$ por 1 en cada término.

4. Cálculo:
   $$(4)(2(1)) = (4)(2) = 8$$
   Procedimiento: Realizamos las operaciones aritméticas.

Respuesta: 8

Задание 16

$$\lim_{x \to 2} (x^5)$$

1. Propiedad de la Sustitución Directa:
   $$(2)^5$$
   Procedimiento: Sustituimos $x$ por 2.

2. Cálculo:
   $$32$$
   Procedimiento: Realizamos la operación de potencia.

Respuesta: 32

¡Claro! Vamos a resolver los ejercicios 9, 10 y 11 aplicando las propiedades de los límites.

Задание 9

El límite es:
$$\lim_{x \to 10} \frac{x-10}{x^2 - 100}$$

Primero, factorizamos el denominador:
$$x^2 - 100 = (x - 10)(x + 10)$$

Entonces, el límite se convierte en:
$$\lim_{x \to 10} \frac{x-10}{(x - 10)(x + 10)}$$

Cancelamos el factor común $(x - 10)$:
$$\lim_{x \to 10} \frac{1}{x + 10}$$

Ahora, sustituimos $x$ por 10:
$$\frac{1}{10 + 10} = \frac{1}{20}$$

Por lo tanto,
$$\lim_{x \to 10} \frac{x-10}{x^2 - 100} = \frac{1}{20}$$

Respuesta: $\frac{1}{20}$

• Tipo de Límite: Límite de una función racional con indeterminación $\frac{0}{0}$.
• Propiedades Utilizadas:
  • Factorización.
  • Simplificación.
  • Sustitución Directa.

Задание 10

El límite es:
$$\lim_{x \to -1} \frac{x+1}{8 + x^3}$$

Primero, factorizamos el denominador usando la suma de cubos:
$$x^3 + 1 = (x + 1)(x^2 - x + 1)$$
Entonces,
$$x^3 + 8 = (x + 2)(x^2 - 2x + 4)$$

Entonces, el límite se convierte en:
$$\lim_{x \to -1} \frac{x+1}{(x + 2)(x^2 - 2x + 4)}$$

Sustituimos $x$ por -1:
$$\frac{-1+1}{(-1 + 2)((-1)^2 - 2(-1) + 4)} = \frac{0}{(1)(1 + 2 + 4)} = \frac{0}{7} = 0$$

Por lo tanto,
$$\lim_{x \to -1} \frac{x+1}{8 + x^3} = 0$$

Respuesta: $0$

• Tipo de Límite: Límite de una función racional con indeterminación $\frac{0}{0}$.
• Propiedades Utilizadas:
  • Factorización (suma de cubos).
  • Simplificación.
  • Sustitución Directa.

Задание 11

El límite es:
$$\lim_{x \to -2} \frac{2+x}{8 + x^3}$$

Primero, factorizamos el denominador usando la suma de cubos:
$$x^3 + 8 = (x + 2)(x^2 - 2x + 4)$$

Entonces, el límite se convierte en:
$$\lim_{x \to -2} \frac{2+x}{(x + 2)(x^2 - 2x + 4)}$$

Cancelamos el factor común $(x + 2)$:
$$\lim_{x \to -2} \frac{1}{x^2 - 2x + 4}$$

Ahora, sustituimos $x$ por -2:
$$\frac{1}{(-2)^2 - 2(-2) + 4} = \frac{1}{4 + 4 + 4} = \frac{1}{12}$$

Por lo tanto,
$$\lim_{x \to -2} \frac{2+x}{8 + x^3} = \frac{1}{12}$$

Respuesta: $\frac{1}{12}$

• Tipo de Límite: Límite de una función racional con indeterminación $\frac{0}{0}$.
• Propiedades Utilizadas:
  • Factorización (suma de cubos).
  • Simplificación.
  • Sustitución Directa.

¡Claro! Vamos a resolver los límites indeterminados factorizando los binomios del numerador, del denominador o de ambos según se necesite.

Задание 17

$$\lim_{x \to 3} \frac{x^3 - 27}{9 - x^2}$$

1. Factorización:

   • Numerador: $x^3 - 27 = (x - 3)(x^2 + 3x + 9)$
   • Denominador: $9 - x^2 = (3 - x)(3 + x) = -(x - 3)(3 + x)$

2. Sustitución:
   $$\lim_{x \to 3} \frac{(x - 3)(x^2 + 3x + 9)}{-(x - 3)(3 + x)}$$

3. Simplificación:
   $$\lim_{x \to 3} \frac{x^2 + 3x + 9}{-(3 + x)}$$

4. Sustitución Directa:
   $$\frac{(3)^2 + 3(3) + 9}{-(3 + 3)} = \frac{9 + 9 + 9}{-6} = \frac{27}{-6} = -\frac{9}{2}$$

Respuesta: $-\frac{9}{2}$

Задание 18

$$\lim_{x \to -1} \frac{x^3 + 1}{3x^2 + 3x}$$

1. Factorización:

   • Numerador: $x^3 + 1 = (x + 1)(x^2 - x + 1)$
   • Denominador: $3x^2 + 3x = 3x(x + 1)$

2. Sustitución:
   $$\lim_{x \to -1} \frac{(x + 1)(x^2 - x + 1)}{3x(x + 1)}$$

3. Simplificación:
   $$\lim_{x \to -1} \frac{x^2 - x + 1}{3x}$$

4. Sustitución Directa:
   $$\frac{(-1)^2 - (-1) + 1}{3(-1)} = \frac{1 + 1 + 1}{-3} = \frac{3}{-3} = -1$$

Respuesta: $-1$

Задание 19

$$\lim_{x \to 5} \frac{x^2 - 25}{x + 5}$$

1. Factorización:

   • Numerador: $x^2 - 25 = (x - 5)(x + 5)$
   • Denominador: $x + 5$

2. Sustitución:
   $$\lim_{x \to 5} \frac{(x - 5)(x + 5)}{x + 5}$$

3. Simplificación:
   $$\lim_{x \to 5} (x - 5)$$

4. Sustitución Directa:
   $$5 - 5 = 0$$

Respuesta: $0$

¡Entendido! Vamos a resolver los ejercicios 9, 10 y 11 de la hoja que me enviaste, factorizando los binomios del numerador y/o denominador según sea necesario.

Задание 9

$$\lim_{x \to 10} \frac{10-x}{x^2 - 100}$$

1. Factorización:

   • Numerador: $10 - x = -(x - 10)$
   • Denominador: $x^2 - 100 = (x - 10)(x + 10)$

2. Sustitución:
   $$\lim_{x \to 10} \frac{-(x - 10)}{(x - 10)(x + 10)}$$

3. Simplificación:
   $$\lim_{x \to 10} \frac{-1}{x + 10}$$

4. Sustitución Directa:
   $$\frac{-1}{10 + 10} = \frac{-1}{20} = -\frac{1}{20}$$

Respuesta: $-\frac{1}{20}$

Задание 10

$$\lim_{x \to -1} \frac{x^3 + 1}{x + 1}$$

1. Factorización:

   • Numerador: $x^3 + 1 = (x + 1)(x^2 - x + 1)$
   • Denominador: $x + 1$

2. Sustitución:
   $$\lim_{x \to -1} \frac{(x + 1)(x^2 - x + 1)}{x + 1}$$

3. Simplificación:
   $$\lim_{x \to -1} (x^2 - x + 1)$$

4. Sustitución Directa:
   $$(-1)^2 - (-1) + 1 = 1 + 1 + 1 = 3$$

Respuesta: $3$

Задание 11

$$\lim_{x \to -2} \frac{2 + x}{8 + x^3}$$

1. Factorización:

   • Numerador: $2 + x = x + 2$
   • Denominador: $8 + x^3 = (2 + x)(4 - 2x + x^2)$

2. Sustitución:
   $$\lim_{x \to -2} \frac{x + 2}{(x + 2)(4 - 2x + x^2)}$$

3. Simplificación:
   $$\lim_{x \to -2} \frac{1}{4 - 2x + x^2}$$

4. Sustitución Directa:
   $$\frac{1}{4 - 2(-2) + (-2)^2} = \frac{1}{4 + 4 + 4} = \frac{1}{12}$$

Respuesta: $\frac{1}{12}$