Resolución de límites aplicando propiedades generales

¡Hola! Vamos a resolver los límites aplicando las propiedades correspondientes.

Задание 12

El límite es:
$\(\lim_{x \to 3} (x^3 + 2x^2 - x - 4)\)$

Para resolver este límite, simplemente sustituimos \(x\) por 3 en la expresión:

Por lo tanto,
$\(\lim_{x \to 3} (x^3 + 2x^2 - x - 4) = 38\)$

Respuesta: 38

Задание 14

El límite es:
$\(\lim_{x \to 2} \sqrt[3]{x^2 + 4}\)$

Sustituimos \(x\) por 2 en la expresión:

Por lo tanto,
$\(\lim_{x \to 2} \sqrt[3]{x^2 + 4} = 2\)$

Respuesta: 2

Задание 15

El límite es:
$\(\lim_{x \to 1} (x+3)(2x^2)\)$

Sustituimos \(x\) por 1 en la expresión:

Por lo tanto,
$\(\lim_{x \to 1} (x+3)(2x^2) = 8\)$

Respuesta: 8

¡Claro! Vamos a clasificar los límites resueltos según las propiedades generales que se aplican en cada caso.

Propiedades de los Límites Utilizadas

1. Límite de una Suma/Resta: El límite de una suma o resta de funciones es la suma o resta de los límites de cada función individualmente.
2. Límite de un Producto: El límite de un producto de funciones es el producto de los límites de cada función.
3. Límite de una Constante: El límite de una constante es la constante misma.
4. Límite de una Raíz: El límite de la raíz de una función es la raíz del límite de la función.
5. Sustitución Directa: Si la función es continua en el punto al que tiende \(x\), simplemente sustituimos el valor de \(x\) en la función.

Clasificación de los Límites Resueltos

Задание 12

• Tipo de Límite: Límite de un polinomio.
• Propiedades Utilizadas:
  • Límite de una Suma/Resta.
  • Límite de una Constante.
  • Sustitución Directa.

En este caso, aplicamos la sustitución directa porque el polinomio es continuo en \(x = 3\).

Задание 14

• Tipo de Límite: Límite de una raíz cúbica de una función.
• Propiedades Utilizadas:
  • Límite de una Raíz.
  • Límite de una Suma.
  • Sustitución Directa.

Aquí, primero aplicamos la propiedad del límite de una raíz y luego sustituimos directamente el valor de \(x\).

Задание 15

• Tipo de Límite: Límite de un producto de funciones.
• Propiedades Utilizadas:
  • Límite de un Producto.
  • Límite de una Suma.
  • Límite de una Constante.
  • Sustitución Directa.

Aplicamos la propiedad del límite de un producto y luego sustituimos directamente el valor de \(x\) en cada factor.

¡Claro! Vamos a resolver el ejercicio 16 aplicando las propiedades de los límites.

Задание 16

El límite es:
$\(\lim_{x \to 2} (x^5)\)$

Para resolver este límite, simplemente sustituimos \(x\) por 2 en la expresión:

Por lo tanto,
$\(\lim_{x \to 2} (x^5) = 32\)$

Respuesta: 32

• Tipo de Límite: Límite de una función potencia.
• Propiedades Utilizadas:
  • Sustitución Directa.

En este caso, aplicamos la sustitución directa porque la función \(x^5\) es continua en \(x = 2\).

¡Entendido! Vamos a resolver los ejercicios indicando el nombre de cada propiedad utilizada y el procedimiento correspondiente.

Задание 12

1. Propiedad de la Suma/Resta:
   $\(\lim_{x \to 3} x^3 + \lim_{x \to 3} 2x^2 - \lim_{x \to 3} x - \lim_{x \to 3} 4\)$
   Procedimiento: Separamos el límite en la suma y resta de cada término.

2. Propiedad del Producto por una Constante:
   $\(\lim_{x \to 3} x^3 + 2\lim_{x \to 3} x^2 - \lim_{x \to 3} x - \lim_{x \to 3} 4\)$
   Procedimiento: Sacamos la constante del límite.

3. Propiedad de la Sustitución Directa:
   $\((3)^3 + 2(3)^2 - (3) - 4\)$
   Procedimiento: Sustituimos \(x\) por 3 en cada término.

4. Cálculo:
   $\(27 + 2(9) - 3 - 4 = 27 + 18 - 3 - 4 = 38\)$
   Procedimiento: Realizamos las operaciones aritméticas.

Respuesta: 38

Задание 14

1. Propiedad de la Raíz:
   $\(\sqrt[3]{\lim_{x \to 2} (x^2 + 4)}\)$
   Procedimiento: Introducimos el límite dentro de la raíz.

2. Propiedad de la Suma:
   $\(\sqrt[3]{\lim_{x \to 2} x^2 + \lim_{x \to 2} 4}\)$
   Procedimiento: Separamos el límite en la suma de cada término.

3. Propiedad de la Sustitución Directa:
   $\(\sqrt[3]{(2)^2 + 4}\)$
   Procedimiento: Sustituimos \(x\) por 2 en el término \(x^2\).

4. Cálculo:
   $\(\sqrt[3]{4 + 4} = \sqrt[3]{8} = 2\)$
   Procedimiento: Realizamos las operaciones aritméticas.

Respuesta: 2

Задание 15

1. Propiedad del Producto:
   $\((\lim_{x \to 1} (x+3))(\lim_{x \to 1} (2x^2))\)$
   Procedimiento: Separamos el límite en el producto de los límites de cada factor.

2. Propiedad de la Suma y Producto por una Constante:
   $\((\lim_{x \to 1} x + \lim_{x \to 1} 3)(2\lim_{x \to 1} x^2)\)$
   Procedimiento: Separamos el límite en la suma y sacamos la constante del límite.

3. Propiedad de la Sustitución Directa:
   $\((1+3)(2(1)^2)\)$
   Procedimiento: Sustituimos \(x\) por 1 en cada término.

4. Cálculo:
   $\((4)(2(1)) = (4)(2) = 8\)$
   Procedimiento: Realizamos las operaciones aritméticas.

Respuesta: 8

Задание 16

1. Propiedad de la Sustitución Directa:
   $\((2)^5\)$
   Procedimiento: Sustituimos \(x\) por 2.

2. Cálculo:
   $\(32\)$
   Procedimiento: Realizamos la operación de potencia.

Respuesta: 32

¡Claro! Vamos a resolver los ejercicios 9, 10 y 11 aplicando las propiedades de los límites.

Задание 9

El límite es:
$\(\lim_{x \to 10} \frac{x-10}{x^2 - 100}\)$

Primero, factorizamos el denominador:
$\(x^2 - 100 = (x - 10)(x + 10)\)$

Entonces, el límite se convierte en:
$\(\lim_{x \to 10} \frac{x-10}{(x - 10)(x + 10)}\)$

Cancelamos el factor común \((x - 10)\):
$\(\lim_{x \to 10} \frac{1}{x + 10}\)$

Ahora, sustituimos \(x\) por 10:
$\(\frac{1}{10 + 10} = \frac{1}{20}\)$

Por lo tanto,
$\(\lim_{x \to 10} \frac{x-10}{x^2 - 100} = \frac{1}{20}\)$

Respuesta: \(\frac{1}{20}\)

• Tipo de Límite: Límite de una función racional con indeterminación \(\frac{0}{0}\).
• Propiedades Utilizadas:
  • Factorización.
  • Simplificación.
  • Sustitución Directa.

Задание 10

El límite es:
$\(\lim_{x \to -1} \frac{x+1}{8 + x^3}\)$

Primero, factorizamos el denominador usando la suma de cubos:
$\(x^3 + 1 = (x + 1)(x^2 - x + 1)\)$
Entonces,
$\(x^3 + 8 = (x + 2)(x^2 - 2x + 4)\)$

Entonces, el límite se convierte en:
$\(\lim_{x \to -1} \frac{x+1}{(x + 2)(x^2 - 2x + 4)}\)$

Sustituimos \(x\) por -1:
$\(\frac{-1+1}{(-1 + 2)((-1)^2 - 2(-1) + 4)} = \frac{0}{(1)(1 + 2 + 4)} = \frac{0}{7} = 0\)$

Por lo tanto,
$\(\lim_{x \to -1} \frac{x+1}{8 + x^3} = 0\)$

Respuesta: \(0\)

• Tipo de Límite: Límite de una función racional con indeterminación \(\frac{0}{0}\).
• Propiedades Utilizadas:
  • Factorización (suma de cubos).
  • Simplificación.
  • Sustitución Directa.

Задание 11

El límite es:
$\(\lim_{x \to -2} \frac{2+x}{8 + x^3}\)$

Primero, factorizamos el denominador usando la suma de cubos:
$\(x^3 + 8 = (x + 2)(x^2 - 2x + 4)\)$

Entonces, el límite se convierte en:
$\(\lim_{x \to -2} \frac{2+x}{(x + 2)(x^2 - 2x + 4)}\)$

Cancelamos el factor común \((x + 2)\):
$\(\lim_{x \to -2} \frac{1}{x^2 - 2x + 4}\)$

Ahora, sustituimos \(x\) por -2:
$\(\frac{1}{(-2)^2 - 2(-2) + 4} = \frac{1}{4 + 4 + 4} = \frac{1}{12}\)$

Por lo tanto,
$\(\lim_{x \to -2} \frac{2+x}{8 + x^3} = \frac{1}{12}\)$

Respuesta: \(\frac{1}{12}\)

• Tipo de Límite: Límite de una función racional con indeterminación \(\frac{0}{0}\).
• Propiedades Utilizadas:
  • Factorización (suma de cubos).
  • Simplificación.
  • Sustitución Directa.

¡Claro! Vamos a resolver los límites indeterminados factorizando los binomios del numerador, del denominador o de ambos según se necesite.

Задание 17

1. Factorización:

   • Numerador: \(x^3 - 27 = (x - 3)(x^2 + 3x + 9)\)
   • Denominador: \(9 - x^2 = (3 - x)(3 + x) = -(x - 3)(3 + x)\)

2. Sustitución:
   $\(\lim_{x \to 3} \frac{(x - 3)(x^2 + 3x + 9)}{-(x - 3)(3 + x)}\)$

3. Simplificación:
   $\(\lim_{x \to 3} \frac{x^2 + 3x + 9}{-(3 + x)}\)$

4. Sustitución Directa:
   $\(\frac{(3)^2 + 3(3) + 9}{-(3 + 3)} = \frac{9 + 9 + 9}{-6} = \frac{27}{-6} = -\frac{9}{2}\)$

Respuesta: \(-\frac{9}{2}\)

Задание 18

1. Factorización:

   • Numerador: \(x^3 + 1 = (x + 1)(x^2 - x + 1)\)
   • Denominador: \(3x^2 + 3x = 3x(x + 1)\)

2. Sustitución:
   $\(\lim_{x \to -1} \frac{(x + 1)(x^2 - x + 1)}{3x(x + 1)}\)$

3. Simplificación:
   $\(\lim_{x \to -1} \frac{x^2 - x + 1}{3x}\)$

4. Sustitución Directa:
   $\(\frac{(-1)^2 - (-1) + 1}{3(-1)} = \frac{1 + 1 + 1}{-3} = \frac{3}{-3} = -1\)$

Respuesta: \(-1\)

Задание 19

1. Factorización:

   • Numerador: \(x^2 - 25 = (x - 5)(x + 5)\)
   • Denominador: \(x + 5\)

2. Sustitución:
   $\(\lim_{x \to 5} \frac{(x - 5)(x + 5)}{x + 5}\)$

3. Simplificación:
   $\(\lim_{x \to 5} (x - 5)\)$

4. Sustitución Directa:
   $\(5 - 5 = 0\)$

Respuesta: \(0\)

¡Entendido! Vamos a resolver los ejercicios 9, 10 y 11 de la hoja que me enviaste, factorizando los binomios del numerador y/o denominador según sea necesario.

Задание 9

1. Factorización:

   • Numerador: \(10 - x = -(x - 10)\)
   • Denominador: \(x^2 - 100 = (x - 10)(x + 10)\)

2. Sustitución:
   $\(\lim_{x \to 10} \frac{-(x - 10)}{(x - 10)(x + 10)}\)$

3. Simplificación:
   $\(\lim_{x \to 10} \frac{-1}{x + 10}\)$

4. Sustitución Directa:
   $\(\frac{-1}{10 + 10} = \frac{-1}{20} = -\frac{1}{20}\)$

Respuesta: \(-\frac{1}{20}\)

Задание 10

1. Factorización:

   • Numerador: \(x^3 + 1 = (x + 1)(x^2 - x + 1)\)
   • Denominador: \(x + 1\)

2. Sustitución:
   $\(\lim_{x \to -1} \frac{(x + 1)(x^2 - x + 1)}{x + 1}\)$

3. Simplificación:
   $\(\lim_{x \to -1} (x^2 - x + 1)\)$

4. Sustitución Directa:
   $\((-1)^2 - (-1) + 1 = 1 + 1 + 1 = 3\)$

Respuesta: \(3\)

Задание 11

1. Factorización:

   • Numerador: \(2 + x = x + 2\)
   • Denominador: \(8 + x^3 = (2 + x)(4 - 2x + x^2)\)

2. Sustitución:
   $\(\lim_{x \to -2} \frac{x + 2}{(x + 2)(4 - 2x + x^2)}\)$

3. Simplificación:
   $\(\lim_{x \to -2} \frac{1}{4 - 2x + x^2}\)$

4. Sustitución Directa:
   $\(\frac{1}{4 - 2(-2) + (-2)^2} = \frac{1}{4 + 4 + 4} = \frac{1}{12}\)$

Respuesta: \(\frac{1}{12}\)