Trigonometry problem solving in Spanish
¡Hola! Vamos a resolver el problema paso a paso.
Задание 1
El problema dice: "Si \(\tan(A) = 4\), siendo \(A\) un ángulo del tercer cuadrante, calcula las demás razones trigonométricas de \(A\)."
Paso 1: Determinar el signo de las funciones trigonométricas en el tercer cuadrante
En el tercer cuadrante:
* El seno (sen) es negativo.
* El coseno (cos) es negativo.
* La tangente (tan) es positiva (dado en el problema).
* La cosecante (csc) es negativa.
* La secante (sec) es negativa.
* La cotangente (cot) es positiva.
Paso 2: Calcular la cotangente
La cotangente es el inverso de la tangente:
$\(\cot(A) = \frac{1}{\tan(A)} = \frac{1}{4}\)$
Paso 3: Calcular el seno y el coseno
Usamos la identidad trigonométrica:
$\(1 + \tan^2(A) = \sec^2(A)\)$
$\(1 + 4^2 = \sec^2(A)\)$
$\(1 + 16 = \sec^2(A)\)$
$\(\sec^2(A) = 17\)$
$\(\sec(A) = \pm\sqrt{17}\)$
Como estamos en el tercer cuadrante, el coseno y la secante son negativos:
$\(\sec(A) = -\sqrt{17}\)$
Ahora, calculamos el coseno:
$\(\cos(A) = \frac{1}{\sec(A)} = \frac{1}{-\sqrt{17}} = -\frac{1}{\sqrt{17}} = -\frac{\sqrt{17}}{17}\)$
Usamos la identidad trigonométrica:
$\(\tan(A) = \frac{\sin(A)}{\cos(A)}\)$
$\(4 = \frac{\sin(A)}{-\frac{\sqrt{17}}{17}}\)$
$\(\sin(A) = 4 \cdot \left(-\frac{\sqrt{17}}{17}\right) = -\frac{4\sqrt{17}}{17}\)$
Paso 4: Calcular la cosecante
La cosecante es el inverso del seno:
$\(\csc(A) = \frac{1}{\sin(A)} = \frac{1}{-\frac{4\sqrt{17}}{17}} = -\frac{17}{4\sqrt{17}} = -\frac{17\sqrt{17}}{4 \cdot 17} = -\frac{\sqrt{17}}{4}\)$
Resumen de las razones trigonométricas:
- \(\sin(A) = -\frac{4\sqrt{17}}{17}\)
- \(\cos(A) = -\frac{\sqrt{17}}{17}\)
- \(\tan(A) = 4\)
- \(\csc(A) = -\frac{\sqrt{17}}{4}\)
- \(\sec(A) = -\sqrt{17}\)
- \(\cot(A) = \frac{1}{4}\)
¡Claro! Vamos a convertir los resultados anteriores a números decimales.
Задание 1 (Conversión a decimales)
Usaremos los resultados que obtuvimos anteriormente:
- \(\sin(A) = -\frac{4\sqrt{17}}{17}\)
- \(\cos(A) = -\frac{\sqrt{17}}{17}\)
- \(\tan(A) = 4\)
- \(\csc(A) = -\frac{\sqrt{17}}{4}\)
- \(\sec(A) = -\sqrt{17}\)
- \(\cot(A) = \frac{1}{4}\)
Paso 1: Calcular los valores decimales
- \(\sin(A) = -\frac{4\sqrt{17}}{17} \approx -\frac{4 \cdot 4.123}{17} \approx -\frac{16.492}{17} \approx -0.970\)
- \(\cos(A) = -\frac{\sqrt{17}}{17} \approx -\frac{4.123}{17} \approx -0.243\)
- \(\tan(A) = 4\)
- \(\csc(A) = -\frac{\sqrt{17}}{4} \approx -\frac{4.123}{4} \approx -1.031\)
- \(\sec(A) = -\sqrt{17} \approx -4.123\)
- \(\cot(A) = \frac{1}{4} = 0.25\)
Resumen de las razones trigonométricas en decimales:
- \(\sin(A) \approx -0.970\)
- \(\cos(A) \approx -0.243\)
- \(\tan(A) = 4\)
- \(\csc(A) \approx -1.031\)
- \(\sec(A) \approx -4.123\)
- \(\cot(A) = 0.25\)
