Physics exam questions and solutions
¡Hola! Con gusto te ayudaré a resolver estos ejercicios de física. Vamos a empezar con los primeros tres problemas de límites.
Задание 12
El límite a calcular es:
\(\lim_{x \to \infty} \frac{5x+x}{3x}\)
Primero, simplificamos la expresión:
\(\lim_{x \to \infty} \frac{6x}{3x}\)
Luego, simplificamos aún más:
\(\lim_{x \to \infty} 2 = 2\)
Por lo tanto, el límite es 2.
Respuesta: a) 2
Задание 13
El límite a calcular es:
\(\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 5x + 6}{x - 2}\)
Primero, factorizamos el numerador:
\(x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)\)
Entonces, la expresión se convierte en:
\(\lim_{x \to 2} \frac{(x - 2)(x - 3)}{x - 2}\)
Cancelamos el término \((x - 2)\):
\(\lim_{x \to 2} (x - 3)\)
Sustituimos \(x = 2\):
\(2 - 3 = -1\)
Por lo tanto, el límite es -1.
Respuesta: a) -1
Задание 14
El límite a calcular es:
\(\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt[3]{x} - \sqrt{x}}{x - 1}\)
Este límite es indeterminado de la forma \(\frac{0}{0}\). Para resolverlo, podemos usar la regla de L'Hôpital o manipular algebraicamente la expresión. Usaremos la regla de L'Hôpital, que consiste en derivar el numerador y el denominador con respecto a \(x\):
\(\frac{d}{dx}(\sqrt[3]{x} - \sqrt{x}) = \frac{1}{3}x^{-2/3} - \frac{1}{2}x^{-1/2}\)
\(\frac{d}{dx}(x - 1) = 1\)
Entonces, el límite se convierte en:
\(\lim_{x \to 1} \left(\frac{1}{3}x^{-2/3} - \frac{1}{2}x^{-1/2}\right)\)
Sustituimos \(x = 1\):
\(\frac{1}{3}(1)^{-2/3} - \frac{1}{2}(1)^{-1/2} = \frac{1}{3} - \frac{1}{2} = \frac{2 - 3}{6} = -\frac{1}{6}\)
Por lo tanto, el límite es -1/6.
Respuesta: a) -1/6
¡Claro! Continuemos con la resolución de los ejercicios.
Задание 15
El límite a calcular es:
\(\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1-x) - \sin x}{1 - \cos^2 x}\)
Primero, simplificamos el denominador usando la identidad trigonométrica \(1 - \cos^2 x = \sin^2 x\):
\(\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1-x) - \sin x}{\sin^2 x}\)
Este límite es indeterminado de la forma \(\frac{0}{0}\). Podemos usar la regla de L'Hôpital. Derivamos el numerador y el denominador con respecto a \(x\):
\(\frac{d}{dx}(\ln(1-x) - \sin x) = \frac{-1}{1-x} - \cos x\)
\(\frac{d}{dx}(\sin^2 x) = 2\sin x \cos x\)
Entonces, el límite se convierte en:
\(\lim_{x \to 0} \frac{\frac{-1}{1-x} - \cos x}{2\sin x \cos x}\)
Este límite sigue siendo indeterminado. Aplicamos la regla de L'Hôpital nuevamente:
\(\frac{d}{dx}\left(\frac{-1}{1-x} - \cos x\right) = \frac{-1}{(1-x)^2} - (-\sin x) = \frac{-1}{(1-x)^2} + \sin x\)
\(\frac{d}{dx}(2\sin x \cos x) = 2(\cos^2 x - \sin^2 x) = 2\cos(2x)\)
Entonces, el límite se convierte en:
\(\lim_{x \to 0} \frac{\frac{-1}{(1-x)^2} + \sin x}{2\cos(2x)}\)
Sustituimos \(x = 0\):
\(\frac{\frac{-1}{(1-0)^2} + \sin 0}{2\cos(2 \cdot 0)} = \frac{-1 + 0}{2 \cdot 1} = -\frac{1}{2}\)
Por lo tanto, el límite es -1/2. Sin embargo, esta opción no está disponible. Revisemos el desarrollo.
Otra forma de resolverlo es usando series de Taylor:
\(\ln(1-x) = -x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} - ...\)
\(\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - ...\)
\(\sin^2 x = (x - \frac{x^3}{3!} + ...)^2 = x^2 - \frac{x^4}{3} + ...\)
\(\lim_{x \to 0} \frac{-x - \frac{x^2}{2} - x + \frac{x^3}{6}}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{-2x - \frac{x^2}{2}}{x^2}\)
Este límite tiende a infinito.
Respuesta: b) infinito
Задание 16
¿Qué describe el modelo del Big Bang?
El modelo del Big Bang describe:
b) La expansión del universo desde un estado inicial denso y caliente.
Respuesta: b)
Задание 17
La inflación cósmica se refiere a:
a) Un periodo de expansión acelerada en los primeros momentos del universo.
Respuesta: a)
