¡Hola! Resolveré los ejercicios del 3 al 7 paso a paso.

Задание 3

Resolver las ecuaciones completando cuadrados y comprobar los resultados sustituyendo los valores obtenidos.

a) $x^2 + 8x = 20$

1. Completar el cuadrado: $x^2 + 8x + 16 = 20 + 16$
2. Factorizar: $(x + 4)^2 = 36$
3. Tomar la raíz cuadrada: $x + 4 = \pm 6$
4. Resolver para $x$: $x = -4 \pm 6$
5. Soluciones: $x_1 = 2$, $x_2 = -10$

Comprobación:

• Para $x_1 = 2$: $2^2 + 8(2) = 4 + 16 = 20$
• Para $x_2 = -10$: $(-10)^2 + 8(-10) = 100 - 80 = 20$

b) $x^2 + 10x = 39$

1. Completar el cuadrado: $x^2 + 10x + 25 = 39 + 25$
2. Factorizar: $(x + 5)^2 = 64$
3. Tomar la raíz cuadrada: $x + 5 = \pm 8$
4. Resolver para $x$: $x = -5 \pm 8$
5. Soluciones: $x_1 = 3$, $x_2 = -13$

Comprobación:

• Para $x_1 = 3$: $3^2 + 10(3) = 9 + 30 = 39$
• Para $x_2 = -13$: $(-13)^2 + 10(-13) = 169 - 130 = 39$

c) $x^2 + 6x = 16$

1. Completar el cuadrado: $x^2 + 6x + 9 = 16 + 9$
2. Factorizar: $(x + 3)^2 = 25$
3. Tomar la raíz cuadrada: $x + 3 = \pm 5$
4. Resolver para $x$: $x = -3 \pm 5$
5. Soluciones: $x_1 = 2$, $x_2 = -8$

Comprobación:

• Para $x_1 = 2$: $2^2 + 6(2) = 4 + 12 = 16$
• Para $x_2 = -8$: $(-8)^2 + 6(-8) = 64 - 48 = 16$

d) $x^2 + 10x - 65 = 0$

1. Reescribir la ecuación: $x^2 + 10x = 65$
2. Completar el cuadrado: $x^2 + 10x + 25 = 65 + 25$
3. Factorizar: $(x + 5)^2 = 90$
4. Tomar la raíz cuadrada: $x + 5 = \pm \sqrt{90} = \pm 3\sqrt{10}$
5. Resolver para $x$: $x = -5 \pm 3\sqrt{10}$
6. Soluciones: $x_1 = -5 + 3\sqrt{10}$, $x_2 = -5 - 3\sqrt{10}$

Comprobación (aproximada):

• Para $x_1 \approx 4.48$: $(4.48)^2 + 10(4.48) - 65 \approx 20.07 + 44.8 - 65 \approx 0$
• Para $x_2 \approx -14.48$: $(-14.48)^2 + 10(-14.48) - 65 \approx 209.67 - 144.8 - 65 \approx 0$

Задание 4

a) ¿Cuál es el área que vale 39?
El área que vale 39 es la suma del área del cuadrado grande incompleto y el cuadrado pequeño añadido para completar el cuadrado.

b) ¿El área del cuadrado de lado $x-5$?
El área del cuadrado de lado $x-5$ es $(x-5)^2$.

c) Resolver la ecuación y comprobar los resultados obtenidos.
La ecuación es $x^2 - 10x = 39$.

1. Completar el cuadrado: $x^2 - 10x + 25 = 39 + 25$
2. Factorizar: $(x - 5)^2 = 64$
3. Tomar la raíz cuadrada: $x - 5 = \pm 8$
4. Resolver para $x$: $x = 5 \pm 8$
5. Soluciones: $x_1 = 13$, $x_2 = -3$

Comprobación:

• Para $x_1 = 13$: $13^2 - 10(13) = 169 - 130 = 39$
• Para $x_2 = -3$: $(-3)^2 - 10(-3) = 9 + 30 = 39$

Задание 5

Resolver las ecuaciones completando cuadrados y comprobar los resultados sustituyendo los valores obtenidos.

a) $x^2 - 10x = 65$

1. Completar el cuadrado: $x^2 - 10x + 25 = 65 + 25$
2. Factorizar: $(x - 5)^2 = 90$
3. Tomar la raíz cuadrada: $x - 5 = \pm \sqrt{90} = \pm 3\sqrt{10}$
4. Resolver para $x$: $x = 5 \pm 3\sqrt{10}$
5. Soluciones: $x_1 = 5 + 3\sqrt{10}$, $x_2 = 5 - 3\sqrt{10}$

b) $x^2 - 12x - 45 = 0$

1. Reescribir la ecuación: $x^2 - 12x = 45$
2. Completar el cuadrado: $x^2 - 12x + 36 = 45 + 36$
3. Factorizar: $(x - 6)^2 = 81$
4. Tomar la raíz cuadrada: $x - 6 = \pm 9$
5. Resolver para $x$: $x = 6 \pm 9$
6. Soluciones: $x_1 = 15$, $x_2 = -3$

c) $x^2 - 6x = 16$

1. Completar el cuadrado: $x^2 - 6x + 9 = 16 + 9$
2. Factorizar: $(x - 3)^2 = 25$
3. Tomar la raíz cuadrada: $x - 3 = \pm 5$
4. Resolver para $x$: $x = 3 \pm 5$
5. Soluciones: $x_1 = 8$, $x_2 = -2$

d) $x^2 - 8x = 20$

1. Completar el cuadrado: $x^2 - 8x + 16 = 20 + 16$
2. Factorizar: $(x - 4)^2 = 36$
3. Tomar la raíz cuadrada: $x - 4 = \pm 6$
4. Resolver para $x$: $x = 4 \pm 6$
5. Soluciones: $x_1 = 10$, $x_2 = -2$

Задание 6

a) Observando la figura, ¿qué ha de valer x?
De la figura, podemos ver que el área del cuadrado grande es $x^2$ y está siendo igualada a $6x$. Entonces, $x^2 = 6x$. Dividiendo ambos lados por $x$ (asumiendo $x \neq 0$), obtenemos $x = 6$.

b) Comprueba que el resultado obtenido es solución de la ecuación.
La ecuación es $x^2 - 6x = 0$. Sustituyendo $x = 6$:
$6^2 - 6(6) = 36 - 36 = 0$. Por lo tanto, $x = 6$ es una solución.

c) Resuelve las ecuaciones siguientes:

i. $x^2 + 5x = 0$

• Factorizar: $x(x + 5) = 0$
• Soluciones: $x_1 = 0$, $x_2 = -5$

ii. $x^2 - 7x = 0$

• Factorizar: $x(x - 7) = 0$
• Soluciones: $x_1 = 0$, $x_2 = 7$

iii. $x^2 = 10x$

• Reescribir: $x^2 - 10x = 0$
• Factorizar: $x(x - 10) = 0$
• Soluciones: $x_1 = 0$, $x_2 = 10$

iv. $x^2 = -50x$

• Reescribir: $x^2 + 50x = 0$
• Factorizar: $x(x + 50) = 0$
• Soluciones: $x_1 = 0$, $x_2 = -50$

Задание 7

a) ¿Sois capaces de resolver esta ecuación: $2x^2 + 12x = 14$? ¿Cómo lo habéis hecho?

1. Dividir la ecuación por 2: $x^2 + 6x = 7$
2. Completar el cuadrado: $x^2 + 6x + 9 = 7 + 9$
3. Factorizar: $(x + 3)^2 = 16$
4. Tomar la raíz cuadrada: $x + 3 = \pm 4$
5. Resolver para $x$: $x = -3 \pm 4$
6. Soluciones: $x_1 = 1$, $x_2 = -7$

b) ¿Sois capaces de resolver esta ecuación: $x^2 + 5x = 24$? ¿Cómo lo habéis hecho?

1. Completar el cuadrado: $x^2 + 5x + (\frac{5}{2})^2 = 24 + (\frac{5}{2})^2$
2. $x^2 + 5x + \frac{25}{4} = 24 + \frac{25}{4}$
3. Factorizar: $(x + \frac{5}{2})^2 = \frac{96 + 25}{4} = \frac{121}{4}$
4. Tomar la raíz cuadrada: $x + \frac{5}{2} = \pm \frac{11}{2}$
5. Resolver para $x$: $x = -\frac{5}{2} \pm \frac{11}{2}$
6. Soluciones: $x_1 = \frac{6}{2} = 3$, $x_2 = -\frac{16}{2} = -8$