Resolución de ecuaciones cuadráticas completando cuadrados

¡Hola! Resolveré los ejercicios del 3 al 7 paso a paso.

Задание 3

Resolver las ecuaciones completando cuadrados y comprobar los resultados sustituyendo los valores obtenidos.

a) \(x^2 + 8x = 20\)

1. Completar el cuadrado: \(x^2 + 8x + 16 = 20 + 16\)
2. Factorizar: \((x + 4)^2 = 36\)
3. Tomar la raíz cuadrada: \(x + 4 = \pm 6\)
4. Resolver para \(x\): \(x = -4 \pm 6\)
5. Soluciones: \(x_1 = 2\), \(x_2 = -10\)

Comprobación:

• Para \(x_1 = 2\): \(2^2 + 8(2) = 4 + 16 = 20\)
• Para \(x_2 = -10\): \((-10)^2 + 8(-10) = 100 - 80 = 20\)

b) \(x^2 + 10x = 39\)

1. Completar el cuadrado: \(x^2 + 10x + 25 = 39 + 25\)
2. Factorizar: \((x + 5)^2 = 64\)
3. Tomar la raíz cuadrada: \(x + 5 = \pm 8\)
4. Resolver para \(x\): \(x = -5 \pm 8\)
5. Soluciones: \(x_1 = 3\), \(x_2 = -13\)

Comprobación:

• Para \(x_1 = 3\): \(3^2 + 10(3) = 9 + 30 = 39\)
• Para \(x_2 = -13\): \((-13)^2 + 10(-13) = 169 - 130 = 39\)

c) \(x^2 + 6x = 16\)

1. Completar el cuadrado: \(x^2 + 6x + 9 = 16 + 9\)
2. Factorizar: \((x + 3)^2 = 25\)
3. Tomar la raíz cuadrada: \(x + 3 = \pm 5\)
4. Resolver para \(x\): \(x = -3 \pm 5\)
5. Soluciones: \(x_1 = 2\), \(x_2 = -8\)

Comprobación:

• Para \(x_1 = 2\): \(2^2 + 6(2) = 4 + 12 = 16\)
• Para \(x_2 = -8\): \((-8)^2 + 6(-8) = 64 - 48 = 16\)

d) \(x^2 + 10x - 65 = 0\)

1. Reescribir la ecuación: \(x^2 + 10x = 65\)
2. Completar el cuadrado: \(x^2 + 10x + 25 = 65 + 25\)
3. Factorizar: \((x + 5)^2 = 90\)
4. Tomar la raíz cuadrada: \(x + 5 = \pm \sqrt{90} = \pm 3\sqrt{10}\)
5. Resolver para \(x\): \(x = -5 \pm 3\sqrt{10}\)
6. Soluciones: \(x_1 = -5 + 3\sqrt{10}\), \(x_2 = -5 - 3\sqrt{10}\)

Comprobación (aproximada):

• Para \(x_1 \approx 4.48\): \((4.48)^2 + 10(4.48) - 65 \approx 20.07 + 44.8 - 65 \approx 0\)
• Para \(x_2 \approx -14.48\): \((-14.48)^2 + 10(-14.48) - 65 \approx 209.67 - 144.8 - 65 \approx 0\)

Задание 4

a) ¿Cuál es el área que vale 39?
El área que vale 39 es la suma del área del cuadrado grande incompleto y el cuadrado pequeño añadido para completar el cuadrado.

b) ¿El área del cuadrado de lado \(x-5\)?
El área del cuadrado de lado \(x-5\) es \((x-5)^2\).

c) Resolver la ecuación y comprobar los resultados obtenidos.
La ecuación es \(x^2 - 10x = 39\).

1. Completar el cuadrado: \(x^2 - 10x + 25 = 39 + 25\)
2. Factorizar: \((x - 5)^2 = 64\)
3. Tomar la raíz cuadrada: \(x - 5 = \pm 8\)
4. Resolver para \(x\): \(x = 5 \pm 8\)
5. Soluciones: \(x_1 = 13\), \(x_2 = -3\)

Comprobación:

• Para \(x_1 = 13\): \(13^2 - 10(13) = 169 - 130 = 39\)
• Para \(x_2 = -3\): \((-3)^2 - 10(-3) = 9 + 30 = 39\)

Задание 5

Resolver las ecuaciones completando cuadrados y comprobar los resultados sustituyendo los valores obtenidos.

a) \(x^2 - 10x = 65\)

1. Completar el cuadrado: \(x^2 - 10x + 25 = 65 + 25\)
2. Factorizar: \((x - 5)^2 = 90\)
3. Tomar la raíz cuadrada: \(x - 5 = \pm \sqrt{90} = \pm 3\sqrt{10}\)
4. Resolver para \(x\): \(x = 5 \pm 3\sqrt{10}\)
5. Soluciones: \(x_1 = 5 + 3\sqrt{10}\), \(x_2 = 5 - 3\sqrt{10}\)

b) \(x^2 - 12x - 45 = 0\)

1. Reescribir la ecuación: \(x^2 - 12x = 45\)
2. Completar el cuadrado: \(x^2 - 12x + 36 = 45 + 36\)
3. Factorizar: \((x - 6)^2 = 81\)
4. Tomar la raíz cuadrada: \(x - 6 = \pm 9\)
5. Resolver para \(x\): \(x = 6 \pm 9\)
6. Soluciones: \(x_1 = 15\), \(x_2 = -3\)

c) \(x^2 - 6x = 16\)

1. Completar el cuadrado: \(x^2 - 6x + 9 = 16 + 9\)
2. Factorizar: \((x - 3)^2 = 25\)
3. Tomar la raíz cuadrada: \(x - 3 = \pm 5\)
4. Resolver para \(x\): \(x = 3 \pm 5\)
5. Soluciones: \(x_1 = 8\), \(x_2 = -2\)

d) \(x^2 - 8x = 20\)

1. Completar el cuadrado: \(x^2 - 8x + 16 = 20 + 16\)
2. Factorizar: \((x - 4)^2 = 36\)
3. Tomar la raíz cuadrada: \(x - 4 = \pm 6\)
4. Resolver para \(x\): \(x = 4 \pm 6\)
5. Soluciones: \(x_1 = 10\), \(x_2 = -2\)

Задание 6

a) Observando la figura, ¿qué ha de valer x?
De la figura, podemos ver que el área del cuadrado grande es \(x^2\) y está siendo igualada a \(6x\). Entonces, \(x^2 = 6x\). Dividiendo ambos lados por \(x\) (asumiendo \(x \neq 0\)), obtenemos \(x = 6\).

b) Comprueba que el resultado obtenido es solución de la ecuación.
La ecuación es \(x^2 - 6x = 0\). Sustituyendo \(x = 6\):
\(6^2 - 6(6) = 36 - 36 = 0\). Por lo tanto, \(x = 6\) es una solución.

c) Resuelve las ecuaciones siguientes:

i. \(x^2 + 5x = 0\)

• Factorizar: \(x(x + 5) = 0\)
• Soluciones: \(x_1 = 0\), \(x_2 = -5\)

ii. \(x^2 - 7x = 0\)

• Factorizar: \(x(x - 7) = 0\)
• Soluciones: \(x_1 = 0\), \(x_2 = 7\)

iii. \(x^2 = 10x\)

• Reescribir: \(x^2 - 10x = 0\)
• Factorizar: \(x(x - 10) = 0\)
• Soluciones: \(x_1 = 0\), \(x_2 = 10\)

iv. \(x^2 = -50x\)

• Reescribir: \(x^2 + 50x = 0\)
• Factorizar: \(x(x + 50) = 0\)
• Soluciones: \(x_1 = 0\), \(x_2 = -50\)

Задание 7

a) ¿Sois capaces de resolver esta ecuación: \(2x^2 + 12x = 14\)? ¿Cómo lo habéis hecho?

1. Dividir la ecuación por 2: \(x^2 + 6x = 7\)
2. Completar el cuadrado: \(x^2 + 6x + 9 = 7 + 9\)
3. Factorizar: \((x + 3)^2 = 16\)
4. Tomar la raíz cuadrada: \(x + 3 = \pm 4\)
5. Resolver para \(x\): \(x = -3 \pm 4\)
6. Soluciones: \(x_1 = 1\), \(x_2 = -7\)

b) ¿Sois capaces de resolver esta ecuación: \(x^2 + 5x = 24\)? ¿Cómo lo habéis hecho?

1. Completar el cuadrado: \(x^2 + 5x + (\frac{5}{2})^2 = 24 + (\frac{5}{2})^2\)
2. \(x^2 + 5x + \frac{25}{4} = 24 + \frac{25}{4}\)
3. Factorizar: \((x + \frac{5}{2})^2 = \frac{96 + 25}{4} = \frac{121}{4}\)
4. Tomar la raíz cuadrada: \(x + \frac{5}{2} = \pm \frac{11}{2}\)
5. Resolver para \(x\): \(x = -\frac{5}{2} \pm \frac{11}{2}\)
6. Soluciones: \(x_1 = \frac{6}{2} = 3\), \(x_2 = -\frac{16}{2} = -8\)