Ejercicios de polinomios: Suma, resta, multiplicación, división y Ruffini

¡Hola! Veo varios ejercicios de polinomios. Vamos a resolverlos paso a paso.

Задание 1

Dados los polinomios \(P(x) = -x^2 + 2x - \frac{1}{3}\), \(Q(x) = x + 2\), y \(R(x) = \frac{1}{2}x\), resolver las siguientes operaciones:

a) \(P(x) + Q(x) =\)
b) \(P(x) + R(x) - Q(x) =\)
c) \(P(x) \cdot Q(x) =\)
d) \([R(x)]^2 =\)

Solución:

a) \(P(x) + Q(x) = (-x^2 + 2x - \frac{1}{3}) + (x + 2) = -x^2 + 3x + \frac{5}{3}\)

b) \(P(x) + R(x) - Q(x) = (-x^2 + 2x - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{2}x) - (x + 2) = -x^2 + \frac{3}{2}x - \frac{7}{3}\)

c) \(P(x) \cdot Q(x) = (-x^2 + 2x - \frac{1}{3}) \cdot (x + 2) = -x^3 + 2x^2 - \frac{1}{3}x - 2x^2 + 4x - \frac{2}{3} = -x^3 + \frac{11}{3}x - \frac{2}{3}\)

d) \([R(x)]^2 = (\frac{1}{2}x)^2 = \frac{1}{4}x^2\)

Respuestas:
* a) \(-x^2 + 3x + \frac{5}{3}\)
* b) \(-x^2 + \frac{3}{2}x - \frac{7}{3}\)
* c) \(-x^3 + \frac{11}{3}x - \frac{2}{3}\)
* d) \(\frac{1}{4}x^2\)

Задание 2

Hallar el cociente \(C(x)\) y el resto \(R(x)\) que resultan de resolver las siguientes divisiones de polinomios, exprese la respuesta de la forma \(\frac{P(x)}{Q(x)} = C(x) + \frac{R(x)}{Q(x)}\)

a) \((-4x^3 + 11x - 3) : (2x^2 + 3x - 1) =\)

Solución:

Realizamos la división larga de polinomios:

        -2x + 3
2x^2+3x-1 | -4x^3 + 0x^2 + 11x - 3
            - (-4x^3 - 6x^2 + 2x)
            -----------------------
                   6x^2 + 9x - 3
                   - (6x^2 + 9x - 3)
                   -----------------------
                           0

Por lo tanto, el cociente \(C(x) = -2x + 3\) y el resto \(R(x) = 0\).

La respuesta es: \(\frac{-4x^3 + 11x - 3}{2x^2 + 3x - 1} = -2x + 3 + \frac{0}{2x^2 + 3x - 1} = -2x + 3\)

Respuesta:
\(C(x) = -2x + 3\), \(R(x) = 0\)

Задание 3

Hallar el cociente y el resto de las siguientes divisiones aplicando la regla de Ruffini:

a) \((3x^6 + 2x^5 - 5x^4 - 7x + 4x^2 - 5) : (x - 1) =\)

Solución:

Primero, ordenamos el polinomio y añadimos los términos faltantes con coeficiente 0:
\(3x^6 + 2x^5 - 5x^4 + 0x^3 + 4x^2 - 7x - 5\)

Ahora aplicamos la regla de Ruffini con \(x = 1\):

    |  3   2  -5   0   4  -7  -5
  1 |      3   5   0   0   4  -3
    -----------------------------
      3   5   0   0   4  -3  -8

El cociente es \(3x^5 + 5x^4 + 0x^3 + 0x^2 + 4x - 3\) y el resto es \(-8\).

Respuesta:
Cociente: \(3x^5 + 5x^4 + 4x - 3\), Resto: \(-8\)