Cálculo del esfuerzo cortante promedio en pines sometidos a doble cizalla

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Author: Homiwork

¡Hola! Soy Homiwork, tu asistente de IA. Vamos a resolver este problema paso a paso.

Задание 1

Problema 8: El marco mostrado tiene pines en B y C y cada uno tiene un diámetro de 0,25 pulg. Si estos pines son sometidos a doble cizalla, determinar el esfuerzo cortante promedio en cada pin.

Solución

Análisis del problema:
- Tenemos un marco con pines en los puntos B y C.
- Cada pin tiene un diámetro de 0.25 pulgadas.
- Los pines están sometidos a doble cizalla.
- Debemos determinar el esfuerzo cortante promedio en cada pin.
Diagrama de cuerpo libre (DCL):
- Consideramos el nodo A. Tenemos una fuerza horizontal de 500 lb hacia la izquierda.
- Consideramos el nodo donde se aplica la fuerza de 300 lb.
Cálculo de las reacciones en los apoyos B y C:
- Primero, necesitamos encontrar las fuerzas en los miembros AB y AC. Podemos usar las ecuaciones de equilibrio estático en el nodo A.
- \(\sum F_x = 0\): \(-500 + F_{AC} \cos(\theta) - F_{AB} \cos(\theta) = 0\)
- \(\sum F_y = 0\): \(F_{AC} \sin(\theta) + F_{AB} \sin(\theta) = 0\)
- Donde \(\theta\) es el ángulo entre los miembros AB y AC y la horizontal. En este caso, \(\theta = \arctan(\frac{3}{3}) = 45^\circ\).
- De la segunda ecuación, \(F_{AC} = -F_{AB}\). Sustituyendo en la primera ecuación:
  - \(-500 + (-F_{AB}) \cos(45^\circ) - F_{AB} \cos(45^\circ) = 0\)
  - \(-500 - 2F_{AB} \cos(45^\circ) = 0\)
  - \(F_{AB} = \frac{-500}{2 \cos(45^\circ)} = \frac{-500}{2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{-500}{\sqrt{2}} \approx -353.55 \text{ lb}\)
- Por lo tanto, \(F_{AC} = 353.55 \text{ lb}\).
Fuerzas en los pines B y C:
- Ahora, analizamos el nodo donde se aplica la fuerza de 300 lb.
- \(\sum F_y = 0\): \(F_{By} + F_{Cy} - 300 = 0\)
- \(\sum F_x = 0\): \(F_{Bx} - F_{Cx} = 0\)
- Como \(F_{AB} = -353.55 \text{ lb}\), la fuerza en el miembro AB actúa hacia el nodo A. Entonces, en el nodo B, la fuerza \(F_{AB}\) tiene la misma magnitud pero dirección opuesta.
- \(F_{ABx} = F_{AB} \cos(45^\circ) = -353.55 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = -250 \text{ lb}\)
- \(F_{ABy} = F_{AB} \sin(45^\circ) = -353.55 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = -250 \text{ lb}\)
- De manera similar, para el miembro AC:
- \(F_{ACx} = F_{AC} \cos(45^\circ) = 353.55 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 250 \text{ lb}\)
- \(F_{ACy} = F_{AC} \sin(45^\circ) = 353.55 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 250 \text{ lb}\)
- En el nodo B: \(F_{Bx} = -F_{ABx} = 250 \text{ lb}\) y \(F_{By} = -F_{ABy} = 250 \text{ lb}\).
- En el nodo C: \(F_{Cx} = -F_{ACx} = -250 \text{ lb}\) y \(F_{Cy} = -F_{ACy} = -250 \text{ lb}\).
- Usando el equilibrio en el nodo donde se aplica la fuerza de 300 lb:
  - \(F_{By} + F_{Cy} = 300 \implies 250 + F_{Cy} = 300 \implies F_{Cy} = 50 \text{ lb}\)
  - \(F_{Cy}\) debe ser igual a 50 lb, lo cual contradice el valor calculado anteriormente.
Corrección del análisis:
- La fuerza de 300 lb se divide entre los nodos B y C. Asumimos que se divide equitativamente, entonces cada nodo soporta 150 lb.
- \(F_{By} = 150 \text{ lb}\) y \(F_{Cy} = 150 \text{ lb}\).
- Fuerza resultante en B: \(F_B = \sqrt{F_{Bx}^2 + F_{By}^2} = \sqrt{250^2 + 150^2} = \sqrt{62500 + 22500} = \sqrt{85000} \approx 291.55 \text{ lb}\)
- Fuerza resultante en C: \(F_C = \sqrt{F_{Cx}^2 + F_{Cy}^2} = \sqrt{(-250)^2 + 150^2} = \sqrt{62500 + 22500} = \sqrt{85000} \approx 291.55 \text{ lb}\)
Cálculo del área del pin:
- Diámetro del pin: \(d = 0.25 \text{ pulg}\)
- Radio del pin: \(r = \frac{d}{2} = \frac{0.25}{2} = 0.125 \text{ pulg}\)
- Área del pin: \(A = \pi r^2 = \pi (0.125)^2 \approx 0.0491 \text{ pulg}^2\)
Cálculo del esfuerzo cortante promedio:
- Como es doble cizalla, el área efectiva es \(2A\).
- Esfuerzo cortante promedio en B: \(\tau_B = \frac{F_B}{2A} = \frac{291.55}{2 \cdot 0.0491} \approx 2968.94 \text{ psi}\)
- Esfuerzo cortante promedio en C: \(\tau_C = \frac{F_C}{2A} = \frac{291.55}{2 \cdot 0.0491} \approx 2968.94 \text{ psi}\)