Resolución de problemas de física sin cantidad de movimiento

Aquí tienes la solución al problema:

Задание P.2.6

Datos:
* Masa de la caja (\(m\)): 12 kg
* Fuerza horizontal aplicada (\(F_{aplicada}\)): 200 N
* Velocidad inicial (\(v_i\)): 15 m/s
* Velocidad final (\(v_f\)): 60 m/s
* Tiempo (\(t\)): 5 s

Incógnitas:
a) Trabajo total aplicado sobre la caja (\(W_{total}\))
b) Fuerza de fricción (\(F_f\))
c) Coeficiente de fricción dinámico (\(\mu_d\))

a) Cálculo del trabajo total aplicado sobre la caja

El trabajo total aplicado sobre la caja es igual al cambio en su energía cinética, según el Teorema del Trabajo y la Energía.

Fórmula:
\(W_{total} = \Delta E_c = \frac{1}{2} m v_f^2 - \frac{1}{2} m v_i^2\)

Resolución:
1. Calculamos la energía cinética inicial (\(E_{ci}\)):
\(E_{ci} = \frac{1}{2} \times 12 \text{ kg} \times (15 \text{ m/s})^2 = \frac{1}{2} \times 12 \times 225 \text{ J} = 6 \times 225 \text{ J} = 1350 \text{ J}\)

2. Calculamos la energía cinética final (\(E_{cf}\)):
   \(E_{cf} = \frac{1}{2} \times 12 \text{ kg} \times (60 \text{ m/s})^2 = \frac{1}{2} \times 12 \times 3600 \text{ J} = 6 \times 3600 \text{ J} = 21600 \text{ J}\)

3. Calculamos el trabajo total:
   \(W_{total} = E_{cf} - E_{ci} = 21600 \text{ J} - 1350 \text{ J} = 20250 \text{ J}\)

Respuesta: El trabajo total aplicado sobre la caja es 20250 J.

b) Cálculo de la fuerza de fricción que actúa sobre la caja

El trabajo total es la suma del trabajo realizado por todas las fuerzas que actúan sobre la caja. En este caso, las fuerzas principales son la fuerza aplicada y la fuerza de fricción.

Fórmula:
\(W_{total} = W_{aplicada} + W_{fricción}\)

El trabajo realizado por la fuerza aplicada es:
\(W_{aplicada} = F_{aplicada} \times d\)

El trabajo realizado por la fuerza de fricción es:
\(W_{fricción} = -F_f \times d\) (El signo negativo indica que la fricción se opone al movimiento)

Donde \(d\) es la distancia recorrida. Primero necesitamos calcular la distancia. Podemos usar las ecuaciones de movimiento si asumimos una aceleración constante.

Cálculo de la aceleración (\(a\)):
Podemos usar la fórmula: \(v_f = v_i + a t\)
\(60 \text{ m/s} = 15 \text{ m/s} + a \times 5 \text{ s}\)
\(45 \text{ m/s} = a \times 5 \text{ s}\)
\(a = \frac{45 \text{ m/s}}{5 \text{ s}} = 9 \text{ m/s}^2\)

Cálculo de la distancia (\(d\)):
Podemos usar la fórmula: \(d = v_i t + \frac{1}{2} a t^2\)
\(d = (15 \text{ m/s})(5 \text{ s}) + \frac{1}{2} (9 \text{ m/s}^2) (5 \text{ s})^2\)
\(d = 75 \text{ m} + \frac{1}{2} \times 9 \times 25 \text{ m}\)
\(d = 75 \text{ m} + 112.5 \text{ m} = 187.5 \text{ m}\)

Cálculo del trabajo de la fuerza aplicada:
\(W_{aplicada} = F_{aplicada} \times d = 200 \text{ N} \times 187.5 \text{ m} = 37500 \text{ J}\)

Cálculo del trabajo de la fricción:
Ahora usamos la fórmula del trabajo total:
\(W_{total} = W_{aplicada} + W_{fricción}\)
\(20250 \text{ J} = 37500 \text{ J} + W_{fricción}\)
\(W_{fricción} = 20250 \text{ J} - 37500 \text{ J} = -17250 \text{ J}\)

Cálculo de la fuerza de fricción:
Sabemos que \(W_{fricción} = -F_f \times d\)
\(-17250 \text{ J} = -F_f \times 187.5 \text{ m}\)
\(F_f = \frac{17250 \text{ J}}{187.5 \text{ m}} = 92 \text{ N}\)

Respuesta: La fuerza de fricción que actúa sobre la caja es 92 N.

Nota: La solución proporcionada indica 92 N, lo cual coincide con nuestro cálculo. Es importante notar que el trabajo total es la suma de los trabajos de la fuerza aplicada y la fuerza de fricción.

c) Cálculo del coeficiente de fricción dinámico

La fuerza de fricción se relaciona con el coeficiente de fricción dinámico y la fuerza normal.

Fórmula:
\(F_f = \mu_d \times N\)

Donde \(N\) es la fuerza normal. Como la caja se mueve sobre una superficie horizontal y no hay fuerzas verticales aplicadas aparte de la gravedad y la normal, la fuerza normal es igual al peso de la caja.

Cálculo de la fuerza normal (\(N\)):
\(N = m \times g\)
Usaremos \(g \approx 9.8 \text{ m/s}^2\) (aceleración debido a la gravedad).
\(N = 12 \text{ kg} \times 9.8 \text{ m/s}^2 = 117.6 \text{ N}\)

Cálculo del coeficiente de fricción dinámico (\(\mu_d\)):
\(\mu_d = \frac{F_f}{N}\)
\(\mu_d = \frac{92 \text{ N}}{117.6 \text{ N}} \approx 0.7823\)

Redondeando a dos cifras significativas, obtenemos 0.78.

Respuesta: El coeficiente de fricción dinámico es aproximadamente 0.78.

Claro, puedo ayudarte a resolver este problema sin utilizar la cantidad de movimiento, basándonos en la conservación de la energía y las leyes de Newton.

Para poder resolver el problema sin recurrir a la cantidad de movimiento, necesitamos hacer una suposición clave: el impacto entre \(m_1\) y \(m_2\) es perfectamente elástico. Esto significa que la energía cinética total del sistema se conserva durante la colisión. Si la colisión no fuera elástica, se perdería energía (generalmente en forma de calor y sonido), y necesitaríamos conocer el coeficiente de restitución o la pérdida de energía para resolverlo.

Asumiendo un impacto elástico, aquí tienes la resolución:

Задание 5

Datos:
* Masa del cuerpo 1 (\(m_1\)): 1 kg
* Radio de la guía semicircular (\(r\)): 2 m
* Masa del cuerpo 2 (\(m_2\)): 500 g = 0.5 kg
* Altura alcanzada por el conjunto (\(h\)): 60 cm = 0.6 m
* Tramo AB: sin fricción
* Tramo BC: con fricción
* Punto A: altura inicial de \(m_1\)
* Punto B: punto más bajo de la guía, donde ocurre la colisión
* Punto C: punto donde el conjunto alcanza la altura \(h\)

Incógnitas:
a) Velocidad con la que \(m_1\) choca contra \(m_2\) (\(v_{1B}\))
b) Trabajo de la fuerza de fricción en el tramo BC (\(W_f\))
c) Fuerza que hace la guía sobre el conjunto en el punto C (\(N_C\))

a) Cálculo de la velocidad con la que \(m_1\) choca contra \(m_2\)

Para calcular la velocidad de \(m_1\) al llegar al punto B, utilizamos la conservación de la energía mecánica en el tramo AB, ya que no hay fricción.

Concepto: La energía mecánica total (suma de la energía cinética y potencial) se conserva.
\(E_{m,A} = E_{m,B}\)
\(E_{c,A} + E_{p,A} = E_{c,B} + E_{p,B}\)

Consideramos el punto B como el nivel de referencia para la energía potencial (\(E_p = 0\) en B). El punto A está a una altura igual al radio de la semicircunferencia (\(r\)).

• En el punto A: \(m_1\) se deja caer, por lo que su velocidad inicial es 0.
  \(E_{c,A} = \frac{1}{2} m_1 v_{1A}^2 = 0\)
  \(E_{p,A} = m_1 g y_A = m_1 g r\)

• En el punto B: \(m_1\) tiene una velocidad \(v_{1B}\) y su altura es 0.
  \(E_{c,B} = \frac{1}{2} m_1 v_{1B}^2\)
  \(E_{p,B} = m_1 g y_B = 0\)

Aplicando la conservación de la energía:
\(0 + m_1 g r = \frac{1}{2} m_1 v_{1B}^2 + 0\)

Podemos cancelar \(m_1\) de ambos lados:
\(g r = \frac{1}{2} v_{1B}^2\)

Despejamos \(v_{1B}\):
\(v_{1B}^2 = 2 g r\)
\(v_{1B} = \sqrt{2 g r}\)

Sustituyendo los valores:
\(v_{1B} = \sqrt{2 \times 9.8 \text{ m/s}^2 \times 2 \text{ m}}\)
\(v_{1B} = \sqrt{39.2 \text{ m}^2/\text{s}^2}\)
\(v_{1B} \approx 6.26 \text{ m/s}\)

Respuesta: La velocidad con la que \(m_1\) choca contra \(m_2\) es aproximadamente 6.26 m/s.

b) Cálculo del trabajo de la fuerza de fricción en el tramo BC

Después del impacto elástico en B, las dos masas se unen y se mueven como un solo cuerpo (\(m = m_1 + m_2\)) hasta alcanzar una altura \(h\). Como hay fricción en el tramo BC, la energía mecánica no se conserva en este tramo.

Concepto: El trabajo total realizado por fuerzas no conservativas (en este caso, la fricción) es igual al cambio en la energía mecánica.
\(W_{no\_conservativas} = \Delta E_m = E_{m,C} - E_{m,B'}\)

Donde \(E_{m,B'}\) es la energía mecánica del conjunto inmediatamente después de la colisión (en B), y \(E_{m,C}\) es la energía mecánica del conjunto al alcanzar la altura \(h\) (en C).

Impacto elástico (sin cantidad de movimiento):
Para resolver esto sin cantidad de movimiento, debemos asumir que la velocidad del conjunto \(m_1+m_2\) justo después de la colisión es la misma que la velocidad de \(m_1\) justo antes de la colisión, \(v_{1B}\). Esto es una simplificación que solo sería estrictamente cierta si \(m_2\) estuviera inicialmente en reposo y el impacto fuera completamente elástico donde toda la energía de \(m_1\) se transfiere. Sin embargo, para evitar la cantidad de movimiento, vamos a asumir que justo después del impacto, la velocidad del conjunto \(m_1+m_2\) es igual a \(v_{1B}\). Si este no fuera el caso (por ejemplo, si \(m_2\) tuviera algo de velocidad inicial o el impacto no fuera perfectamente elástico), necesitaríamos más información o usar cantidad de movimiento.

Energía en B (justo después de la colisión, \(v_{B'} = v_{1B}\)):
* Masa total del conjunto: \(M = m_1 + m_2 = 1 \text{ kg} + 0.5 \text{ kg} = 1.5 \text{ kg}\)
* Velocidad del conjunto: \(v_{B'} = v_{1B} \approx 6.26 \text{ m/s}\)
* Altura en B: \(y_B = 0\)
* Energía cinética en B: \(E_{c,B'} = \frac{1}{2} M v_{B'}^2 = \frac{1}{2} (1.5 \text{ kg}) (6.26 \text{ m/s})^2\)
\(E_{c,B'} \approx \frac{1}{2} \times 1.5 \times 39.2 \text{ J} \approx 29.4 \text{ J}\)
* Energía potencial en B: \(E_{p,B'} = M g y_B = 0\)
* Energía mecánica en B: \(E_{m,B'} = E_{c,B'} + E_{p,B'} \approx 29.4 \text{ J}\)

Energía en C (alcanzando altura \(h\)):
* Masa total del conjunto: \(M = 1.5 \text{ kg}\)
* Velocidad en C: \(v_C\). Al alcanzar la altura máxima, la velocidad del conjunto será 0. \(v_C = 0\).
* Altura en C: \(y_C = h = 0.6 \text{ m}\)
* Energía cinética en C: \(E_{c,C} = \frac{1}{2} M v_C^2 = 0\)
* Energía potencial en C: \(E_{p,C} = M g h = (1.5 \text{ kg})(9.8 \text{ m/s}^2)(0.6 \text{ m})\)
\(E_{p,C} = 1.5 \times 9.8 \times 0.6 \text{ J} = 8.82 \text{ J}\)
* Energía mecánica en C: \(E_{m,C} = E_{c,C} + E_{p,C} = 8.82 \text{ J}\)

Cálculo del trabajo de la fricción:
El trabajo de la fricción es la única fuerza no conservativa actuando en el tramo BC.
\(W_f = E_{m,C} - E_{m,B'}\)
\(W_f = 8.82 \text{ J} - 29.4 \text{ J}\)
\(W_f = -20.58 \text{ J}\)

El signo negativo indica que la fricción realiza un trabajo negativo, disipando energía.

Respuesta: El trabajo de la fuerza de fricción en el tramo BC es -20.58 J.

c) Cálculo de la fuerza que hace la guía sobre el conjunto en el punto C

En el punto C, el conjunto se mueve horizontalmente (o su velocidad es horizontal en ese instante si la guía no es perfectamente recta). La fuerza que hace la guía sobre el conjunto es la fuerza normal (\(N_C\)). En el punto C, el movimiento es horizontal, por lo que la aceleración neta en la dirección vertical es cero. Sin embargo, la guía ejerce una fuerza normal que se opone a la gravedad y, si hubiera movimiento vertical curvo, habría una componente centrípeta.

Dado que el conjunto alcanza una altura \(h\) en el punto C y luego se detiene, asumimos que en el punto C la velocidad es horizontal y la guía está ejerciendo una fuerza vertical hacia arriba.

Diagrama de cuerpo libre en el punto C (asumiendo movimiento horizontal):
* Peso del conjunto (\(Mg\)) actuando hacia abajo.
* Fuerza normal de la guía (\(N_C\)) actuando hacia arriba.

Aplicando la Segunda Ley de Newton en la dirección vertical:
\(\sum F_y = M a_y\)

Si asumimos que en el punto C la velocidad es puramente horizontal, la aceleración vertical es cero (\(a_y = 0\)).
\(N_C - Mg = M \times 0\)
\(N_C = Mg\)

Sustituyendo los valores:
\(N_C = (1.5 \text{ kg}) \times (9.8 \text{ m/s}^2)\)
\(N_C = 14.7 \text{ N}\)

Consideración adicional: Si la guía en el punto C tuviera una curvatura (por ejemplo, si C fuera parte de una curva que continúa hacia arriba), entonces habría una aceleración centrípeta y la normal sería diferente. Sin embargo, la imagen y la descripción sugieren que el punto C es el final de la trayectoria de subida, donde la velocidad se anula, y la guía es horizontal en ese instante. La fuerza que "hace la guía" se refiere a la fuerza normal.

Respuesta: La fuerza que hace la guía sobre el conjunto en el punto C es 14.7 N.

Aquí tienes la solución al problema de movimiento circular uniforme:

Задание 5

Datos:
* Radio del punto A (\(r_A\)): 8 cm = 0.08 m
* Longitud del arco recorrido por A (\(s_A\)): 12 cm = 0.12 m
* Tiempo durante el cual A recorre el arco (\(t\)): 3 s
* Radio del punto B (\(r_B\)): 10 cm = 0.10 m
* Tiempo para el cálculo del espacio de B (\(t'\)): 5 s

Incógnitas:
a) Velocidad angular (\(\omega\)), período (\(T\)) y frecuencia (\(f\)) del disco.
b) Espacio recorrido por el punto B (\(s_B\)) en 5s.
c) Aceleraciones de los puntos A (\(a_A\)) y B (\(a_B\)).

a) Cálculo de la velocidad angular, período y frecuencia

Primero, calculamos la velocidad lineal del punto A, ya que conocemos la distancia que recorre y el tiempo que tarda.

1. Velocidad lineal de A (\(v_A\)):
La velocidad lineal es la distancia recorrida dividida por el tiempo.
\(v_A = \frac{s_A}{t}\)
\(v_A = \frac{0.12 \text{ m}}{3 \text{ s}} = 0.04 \text{ m/s}\)

2. Velocidad angular (\(\omega\)):
En un Movimiento Circular Uniforme (MCU), la velocidad lineal (\(v\)) y la velocidad angular (\(\omega\)) están relacionadas por el radio (\(r\)): \(v = \omega r\).
Podemos calcular la velocidad angular del disco utilizando los datos del punto A:
\(\omega = \frac{v_A}{r_A}\)
\(\omega = \frac{0.04 \text{ m/s}}{0.08 \text{ m}} = 0.5 \text{ rad/s}\)

3. Período (\(T\)):
El período es el tiempo que tarda el disco en completar una vuelta completa (2\(\pi\) radianes). Está relacionado con la velocidad angular por la fórmula: \(T = \frac{2\pi}{\omega}\).
\(T = \frac{2\pi \text{ rad}}{0.5 \text{ rad/s}} = 4\pi \text{ s}\)
\(T \approx 12.57 \text{ s}\)

4. Frecuencia (\(f\)):
La frecuencia es el número de vueltas completas por unidad de tiempo. Es la inversa del período: \(f = \frac{1}{T}\).
\(f = \frac{1}{4\pi \text{ s}} = \frac{1}{12.57 \text{ s}} \approx 0.0796 \text{ Hz}\)
Alternativamente, la frecuencia también se puede calcular como \(f = \frac{\omega}{2\pi}\).
\(f = \frac{0.5 \text{ rad/s}}{2\pi \text{ rad}} = \frac{0.5}{2\pi} \text{ Hz} \approx 0.0796 \text{ Hz}\)

Respuestas:
* Velocidad angular (\(\omega\)): 0.5 rad/s
* Período (\(T\)): \(4\pi\) s (aproximadamente 12.57 s)
* Frecuencia (\(f\)): \(\frac{1}{4\pi}\) Hz (aproximadamente 0.0796 Hz)

b) Espacio recorrido por un punto B que se encuentra a 10 cm del eje de rotación en 5s

Para calcular el espacio recorrido por el punto B, necesitamos saber su velocidad lineal. Todos los puntos de un disco rígido en MCU tienen la misma velocidad angular (\(\omega\)), pero sus velocidades lineales son diferentes dependiendo de su distancia al eje de rotación.

1. Velocidad lineal de B (\(v_B\)):
Utilizamos la misma relación \(v = \omega r\), pero con el radio \(r_B\).
\(v_B = \omega r_B\)
\(v_B = (0.5 \text{ rad/s}) \times (0.10 \text{ m}) = 0.05 \text{ m/s}\)

2. Espacio recorrido por B en 5s (\(s_B\)):
El espacio recorrido es la velocidad lineal multiplicada por el tiempo.
\(s_B = v_B \times t'\)
\(s_B = (0.05 \text{ m/s}) \times (5 \text{ s}) = 0.25 \text{ m}\)

Respuesta: El espacio recorrido por el punto B en 5s es 0.25 m (o 25 cm).

c) Aceleraciones de los puntos A y B

En un MCU, los puntos experimentan una aceleración centrípeta (o radial), que los mantiene en su trayectoria circular. La aceleración tangencial es cero porque la velocidad angular es constante.

1. Aceleración centrípeta de A (\(a_{cA}\)):
La aceleración centrípeta se puede calcular de varias formas: \(a_c = \frac{v^2}{r}\) o \(a_c = \omega^2 r\). Usaremos la segunda fórmula ya que tenemos \(\omega\) y los radios.

\(a_{cA} = \omega^2 r_A\)
\(a_{cA} = (0.5 \text{ rad/s})^2 \times (0.08 \text{ m})\)
\(a_{cA} = (0.25 \text{ rad}^2/\text{s}^2) \times (0.08 \text{ m})\)
\(a_{cA} = 0.02 \text{ m/s}^2\)

2. Aceleración centrípeta de B (\(a_{cB}\)):
\(a_{cB} = \omega^2 r_B\)
\(a_{cB} = (0.5 \text{ rad/s})^2 \times (0.10 \text{ m})\)
\(a_{cB} = (0.25 \text{ rad}^2/\text{s}^2) \times (0.10 \text{ m})\)
\(a_{cB} = 0.025 \text{ m/s}^2\)

Importante: Estas son las aceleraciones centrípetas. Si la pregunta se refiriera a la aceleración total, en un MCU ideal, la aceleración total es igual a la aceleración centrípeta, ya que la aceleración tangencial es cero.

Respuestas:
* Aceleración del punto A (\(a_A\)): 0.02 m/s² (centrípeta)
* Aceleración del punto B (\(a_B\)): 0.025 m/s² (centrípeta)

¡Claro! Aquí tienes dos ejercicios de física de nivel bachillerato, diseñados para evaluar conceptos clave y con apartados que requieren un análisis más profundo.

Ejercicio 1: Tiro Parabólico y Colisión

Un proyectil \(P_1\) es lanzado desde el suelo con una velocidad inicial \(v_0 = 50\) m/s formando un ángulo \(\alpha = 60^\circ\) con la horizontal. En el instante \(t=1\) s, un segundo proyectil \(P_2\) es lanzado desde una altura de 20 m sobre el suelo, con una velocidad inicial \(v'_0 = 40\) m/s y en dirección opuesta al primer proyectil, es decir, formando un ángulo \(\beta = 120^\circ\) con la horizontal (medido en sentido antihorario desde la horizontal positiva). Ambos proyectiles se mueven en el mismo plano vertical. Considera la aceleración de la gravedad \(g = 9.8\) m/s².

Apartados:

a) [Complejo] Determina si los proyectiles \(P_1\) y \(P_2\) colisionan.
Si colisionan, calcula el instante de la colisión y las coordenadas del punto donde ocurre. Si no colisionan, explica por qué (por ejemplo, por diferencia de altura en el mismo instante o por trayectorias que no se cruzan).

b) Si los proyectiles hubieran colisionado, calcula la velocidad relativa entre ellos en el instante de la colisión.

Pistas y Consideraciones para el Apartado a):
* La clave para determinar la colisión es que ambos proyectiles deben estar en la misma posición (mismas coordenadas \(x\) e \(y\)) en el mismo instante de tiempo.
* Necesitarás plantear las ecuaciones paramétricas del movimiento para ambos proyectiles (\(x(t)\), \(y(t)\)). Recuerda que \(P_2\) se lanza 1 segundo después, así que su tiempo de vuelo será \(t-1\) si el tiempo \(t\) se cuenta desde el lanzamiento de \(P_1\).
* Iguala las componentes \(x\) de ambas trayectorias y las componentes \(y\). Deberías obtener un sistema de ecuaciones para el tiempo y, potencialmente, para las posiciones.
* Si encuentras un tiempo \(t > 1\) s para el cual las posiciones son iguales, entonces hay colisión. Presta atención a si las coordenadas \(y\) son ambas positivas (por encima del suelo).

Pistas y Consideraciones para el Apartado b):
* La velocidad relativa se calcula como la diferencia vectorial entre las velocidades de los dos proyectiles: \(\vec{v}_{rel} = \vec{v}_{P1} - \vec{v}_{P2}\) (o \(\vec{v}_{P2} - \vec{v}_{P1}\)).
* Necesitarás calcular las ecuaciones paramétricas de la velocidad para cada proyectil (\(\vec{v}(t)\)) y evaluarlas en el instante de la colisión encontrado en el apartado a).
* El resultado será un vector.

Gráfico: Si los proyectiles no colisionan, sería muy útil para la justificación realizar un gráfico de ambas trayectorias parabólicas, indicando las posiciones en instantes clave o las alturas máximas y alcances para mostrar que sus caminos no se cruzan o que no coinciden temporalmente.

Ejercicio 2: Movimiento a partir de una Función Cinética

Se considera el movimiento de una partícula cuya aceleración tangencial viene dada por la función \(a_t(t) = (0.5t - 1)\) m/s², donde \(t\) está en segundos. Se sabe que en el instante \(t=0\):
* La partícula se encuentra en el punto de una trayectoria circular de radio \(R=5\) m.
* La velocidad angular inicial es \(\omega_0 = 2\) rad/s.
* La dirección de la velocidad angular inicial es en sentido horario.
* La partícula está en la posición angular \(\theta_0 = 0\) rad.

Apartados:

a) Calcula la expresión de la velocidad angular \(\omega(t)\) y la posición angular \(\theta(t)\) de la partícula en función del tiempo. [Gráfico recomendado]
Representa gráficamente \(\omega(t)\) y \(\theta(t)\) para el intervalo \(0 \le t \le 6\) s.

b) Determina el instante de tiempo \(t_1\) en el que la partícula invierte su sentido de giro. Calcula la velocidad lineal total y la aceleración total de la partícula en ese instante \(t_1\).

c) Calcula el espacio angular recorrido y el espacio lineal recorrido por la partícula entre \(t=1\) s y \(t=4\) s.

Pistas y Consideraciones para el Apartado a):
* La aceleración tangencial es la derivada de la velocidad lineal respecto al tiempo: \(a_t = \frac{dv}{dt}\). En un movimiento circular, la aceleración tangencial lineal está relacionada con la derivada de la velocidad angular: \(a_t = \alpha R\), donde \(\alpha = \frac{d\omega}{dt}\).
* Para obtener \(\omega(t)\), deberás integrar la expresión de la aceleración angular \(\alpha(t) = \frac{a_t(t)}{R}\). Recuerda incluir la constante de integración, que se determina a partir de la condición inicial \(\omega_0\).
* Para obtener \(\theta(t)\), deberás integrar la expresión de \(\omega(t)\). De nuevo, incluye la constante de integración, determinada por \(\theta_0\).
* Gráfico: Las gráficas de \(\omega(t)\) (una recta) y \(\theta(t)\) (una parábola) ayudarán a visualizar cómo cambia la velocidad angular y la posición.

Pistas y Consideraciones para el Apartado b):
* La partícula invierte su sentido de giro cuando su velocidad angular se hace cero (\(\omega(t) = 0\)). Resuelve la ecuación obtenida en el apartado a) para encontrar este instante \(t_1\).
* La velocidad lineal total (\(v\)) en un punto de MCU está relacionada con la velocidad angular por \(v = |\omega| R\). Sin embargo, en este caso, el movimiento no es uniforme, por lo que la aceleración es no uniforme. La velocidad lineal es \(v = \omega R\). Ten cuidado con el signo de \(\omega\) al calcular \(v\).
* La aceleración total (\(\vec{a}\)) es la suma vectorial de la aceleración centrípeta (\(\vec{a}_c\)) y la aceleración tangencial (\(\vec{a}_t\)).
* \(a_c = \frac{v^2}{R} = \omega^2 R\). Su dirección es radial, hacia el centro.
* \(a_t = \frac{d\omega}{dt} = \alpha R\). Su dirección es tangencial.
* En el instante \(t_1\), la velocidad angular es cero, lo que implica que la aceleración centrípeta \(a_c = \omega^2 R\) también es cero. Por lo tanto, la aceleración total en \(t_1\) será puramente tangencial.

Pistas y Consideraciones para el Apartado c):
* El espacio angular recorrido es la integral del valor absoluto de la velocidad angular entre los dos instantes: \(\Delta \theta_{recorrido} = \int_{t_1}^{t_2} |\omega(t)| dt\). Si la velocidad angular cambia de signo en el intervalo, deberás separar la integral.
* El espacio lineal recorrido es la integral del valor absoluto de la velocidad lineal: \(s = \int_{t_1}^{t_2} |v(t)| dt = \int_{t_1}^{t_2} |\omega(t)| R dt = R \int_{t_1}^{t_2} |\omega(t)| dt\). Es decir, es el espacio angular recorrido multiplicado por el radio.
* En este caso particular, para el intervalo de \(t=1\) a \(t=4\) s, la velocidad angular podría cambiar de signo. Asegúrate de comprobar si esto ocurre y de integrar el valor absoluto de \(\omega(t)\).

Espero que estos ejercicios sean desafiantes y útiles para tus estudiantes. ¡Mucha suerte!

¡Entendido! Procederé a resolver los ejercicios sin dar pistas directas y adaptando la complejidad, enfocándome en derivadas e inversas en lugar de integrales, tal como solicitaste.

Ejercicio 1: Tiro Parabólico y Colisión

Un proyectil \(P_1\) es lanzado desde el suelo con una velocidad inicial \(v_0 = 50\) m/s formando un ángulo \(\alpha = 60^\circ\) con la horizontal. En el instante \(t=1\) s, un segundo proyectil \(P_2\) es lanzado desde una altura de 20 m sobre el suelo, con una velocidad inicial \(v'_0 = 40\) m/s y formando un ángulo \(\beta = 120^\circ\) con la horizontal (medido en sentido antihorario desde la horizontal positiva). Ambos proyectiles se mueven en el mismo plano vertical. Considera la aceleración de la gravedad \(g = 9.8\) m/s².

Apartados:

a) Determina si los proyectiles \(P_1\) y \(P_2\) colisionan.
Si colisionan, calcula el instante de la colisión y las coordenadas del punto donde ocurre. Si no colisionan, explica por qué.

Resolución:

Primero, establecemos las ecuaciones de movimiento para cada proyectil. Usaremos un sistema de referencia con el origen en el punto de lanzamiento de \(P_1\), el eje X horizontal y el eje Y vertical hacia arriba.

Proyectil \(P_1\):
* Componentes de la velocidad inicial:
\(v_{0x} = v_0 \cos \alpha = 50 \cos 60^\circ = 50 \times 0.5 = 25\) m/s
\(v_{0y} = v_0 \sin \alpha = 50 \sin 60^\circ = 50 \times \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 43.30\) m/s
* Ecuaciones de posición en función del tiempo \(t\) (medido desde el lanzamiento de \(P_1\)):
\(x_1(t) = v_{0x} t = 25t\)
\(y_1(t) = v_{0y} t - \frac{1}{2} g t^2 = 43.30t - \frac{1}{2}(9.8)t^2 = 43.30t - 4.9t^2\)

Proyectil \(P_2\):
* Este proyectil se lanza en \(t=1\) s. Por lo tanto, su tiempo de vuelo efectivo será \(t-1\).
* Componentes de la velocidad inicial:
\(v'_{0x} = v'_0 \cos \beta = 40 \cos 120^\circ = 40 \times (-0.5) = -20\) m/s
\(v'_{0y} = v'_0 \sin \beta = 40 \sin 120^\circ = 40 \times \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 34.64\) m/s
* Posición inicial de \(P_2\) en el instante de su lanzamiento (\(t=1\) s): \(x_0' = 0\) (asumimos que se lanza desde el eje Y), \(y_0' = 20\) m.
* Ecuaciones de posición en función del tiempo \(t\) (medido desde el lanzamiento de \(P_1\)):
\(x_2(t) = x_0' + v'_{0x} (t-1) = 0 + (-20)(t-1) = -20(t-1)\) para \(t \ge 1\)
\(y_2(t) = y_0' + v'_{0y} (t-1) - \frac{1}{2} g (t-1)^2 = 20 + 34.64(t-1) - 4.9(t-1)^2\) para \(t \ge 1\)

Condición de colisión:
Para que colisionen, deben estar en la misma posición (\(x_1=x_2\) e \(y_1=y_2\)) y en el mismo instante de tiempo \(t \ge 1\) s.

Igualamos las componentes x:
\(x_1(t) = x_2(t)\)
\(25t = -20(t-1)\)
\(25t = -20t + 20\)
\(45t = 20\)
\(t = \frac{20}{45} = \frac{4}{9}\) s

Este tiempo \(t = 4/9\) s es menor que 1 s, que es el momento en que se lanza \(P_2\). Esto significa que, basándonos en la igualdad de las componentes \(x\), la colisión ocurriría antes de que \(P_2\) sea lanzado. Por lo tanto, los proyectiles no colisionan.

Explicación: La razón por la que no colisionan es que, para que sus trayectorias se crucen en el eje \(x\), el tiempo requerido (\(4/9\) s) es anterior al instante en que el segundo proyectil es puesto en movimiento (\(1\) s). Si hubiéramos obtenido un tiempo \(t \ge 1\) s, tendríamos que haber comprobado si las alturas \(y_1(t)\) e \(y_2(t)\) también coincidían en ese instante.

Respuesta: Los proyectiles \(P_1\) y \(P_2\) no colisionan. La razón es que el tiempo necesario para que sus proyecciones en el eje X coincidan es anterior al momento en que se lanza el proyectil \(P_2\).

b) Si los proyectiles hubieran colisionado, calcula la velocidad relativa entre ellos en el instante de la colisión.

Como hemos determinado que no colisionan, este apartado no se puede resolver en el contexto del problema planteado. Si se tratara de un problema teórico o con datos modificados que sí llevaran a una colisión, el procedimiento sería el siguiente:

Procedimiento hipotético (si colisionaran en un tiempo \(t_{col} \ge 1\) s):
1. Calcular las componentes de la velocidad de \(P_1\) en \(t_{col}\):
\(v_{1x}(t_{col}) = v_{0x} = 25\) m/s (aceleración tangencial es cero)
\(v_{1y}(t_{col}) = v_{0y} - g t_{col} = 43.30 - 9.8 t_{col}\)
\(\vec{v}_1(t_{col}) = (25, 43.30 - 9.8 t_{col})\) m/s
2. Calcular las componentes de la velocidad de \(P_2\) en \(t_{col}\):
\(v_{2x}(t_{col}) = v'_{0x} = -20\) m/s
\(v_{2y}(t_{col}) = v'_{0y} - g (t_{col}-1) = 34.64 - 9.8 (t_{col}-1)\)
\(\vec{v}_2(t_{col}) = (-20, 34.64 - 9.8 (t_{col}-1))\) m/s
3. Calcular la velocidad relativa:
\(\vec{v}_{rel} = \vec{v}_1(t_{col}) - \vec{v}_2(t_{col})\)
\(\vec{v}_{rel} = (25 - (-20), (43.30 - 9.8 t_{col}) - (34.64 - 9.8 (t_{col}-1)) )\)
\(\vec{v}_{rel} = (45, 43.30 - 9.8 t_{col} - 34.64 + 9.8 t_{col} - 9.8 )\)
\(\vec{v}_{rel} = (45, 8.66)\) m/s (aproximadamente)

Respuesta (hipotética): Si hubieran colisionado, la velocidad relativa sería aproximadamente \((45, 8.66)\) m/s.

Ejercicio 2: Movimiento a partir de una Función de Posición (Adaptado)

Una partícula se mueve en una trayectoria circular de radio \(R=5\) m. Su posición angular viene dada por la función:
\(\theta(t) = t^3 - 6t^2 + 8t\) radianes, donde \(t\) está en segundos. El sentido de giro inicial es horario.

Apartados:

a) Calcula las expresiones de la velocidad angular \(\omega(t)\) y la aceleración angular \(\alpha(t)\) de la partícula en función del tiempo.
[Indicar Gráfico] Representa gráficamente \(\omega(t)\) y \(\alpha(t)\) para el intervalo \(0 \le t \le 5\) s.

Resolución:

La velocidad angular es la derivada de la posición angular respecto al tiempo: \(\omega(t) = \frac{d\theta(t)}{dt}\).
La aceleración angular es la derivada de la velocidad angular respecto al tiempo: \(\alpha(t) = \frac{d\omega(t)}{dt}\).

1. Velocidad angular (\(\omega(t)\)):
\(\omega(t) = \frac{d}{dt}(t^3 - 6t^2 + 8t)\)
\(\omega(t) = 3t^2 - 12t + 8\) rad/s

Comprobación del sentido de giro:
En \(t=0\), \(\omega(0) = 3(0)^2 - 12(0) + 8 = 8\) rad/s. El problema indica que el sentido de giro inicial es horario. Si consideramos que un valor positivo de \(\omega\) es antihorario, entonces el sentido horario correspondería a \(\omega\) negativo. Dado que \(\omega(0)=8\) rad/s es positivo, debemos interpretar que la convención de la función dada asume que las velocidades positivas son en sentido horario, o que la convención de la función es diferente a la del enunciado. Mantendremos la convención de la función: \(\omega(t)>0\) significa sentido horario.

2. Aceleración angular (\(\alpha(t)\)):
\(\alpha(t) = \frac{d}{dt}(3t^2 - 12t + 8)\)
\(\alpha(t) = 6t - 12\) rad/s²

Gráfico:
* Gráfica de \(\omega(t) = 3t^2 - 12t + 8\): Es una parábola que se abre hacia arriba. Su vértice se encuentra en \(t = -\frac{-12}{2 \times 3} = 2\) s.
* \(\omega(0) = 8\) rad/s
* \(\omega(2) = 3(2)^2 - 12(2) + 8 = 12 - 24 + 8 = -4\) rad/s
* \(\omega(5) = 3(5)^2 - 12(5) + 8 = 75 - 60 + 8 = 23\) rad/s
* Gráfica de \(\alpha(t) = 6t - 12\): Es una recta con pendiente positiva.
* \(\alpha(0) = -12\) rad/s²
* \(\alpha(2) = 6(2) - 12 = 0\) rad/s²
* \(\alpha(5) = 6(5) - 12 = 30 - 12 = 18\) rad/s²

(Aquí irían las gráficas. Se describirían las formas: una parábola para \(\omega(t)\) y una recta para \(\alpha(t)\) en el intervalo dado).

Respuesta:
* Velocidad angular: \(\omega(t) = 3t^2 - 12t + 8\) rad/s
* Aceleración angular: \(\alpha(t) = 6t - 12\) rad/s²
* (Las gráficas se generarían basándose en los puntos calculados).

b) Determina el instante de tiempo \(t_1\) en el que la partícula invierte su sentido de giro. Calcula la velocidad lineal total y la aceleración total de la partícula en ese instante \(t_1\).

1. Instante de inversión del sentido de giro (\(t_1\)):
La partícula invierte su sentido de giro cuando su velocidad angular se hace cero.
\(\omega(t_1) = 0\)
\(3t_1^2 - 12t_1 + 8 = 0\)

Resolvemos la ecuación cuadrática usando la fórmula: \(t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\)
\(t_1 = \frac{-(-12) \pm \sqrt{(-12)^2 - 4(3)(8)}}{2(3)}\)
\(t_1 = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 96}}{6}\)
\(t_1 = \frac{12 \pm \sqrt{48}}{6} = \frac{12 \pm 4\sqrt{3}}{6} = 2 \pm \frac{2\sqrt{3}}{3}\)

Tenemos dos posibles instantes:
\(t_{1a} = 2 - \frac{2\sqrt{3}}{3} \approx 2 - 1.155 = 0.845\) s
\(t_{1b} = 2 + \frac{2\sqrt{3}}{3} \approx 2 + 1.155 = 3.155\) s

Analizamos el signo de \(\omega(t)\) antes y después de estos instantes:
* Para \(t < 0.845\) s, \(\omega(t) > 0\) (sentido horario).
* Para \(0.845 < t < 3.155\) s, \(\omega(t) < 0\) (sentido antihorario, invirtiendo el giro inicial).
* Para \(t > 3.155\) s, \(\omega(t) > 0\) (sentido horario, volviendo a invertir).

Por lo tanto, la partícula invierte su sentido de giro (del horario al antihorario) en el primer instante \(t_1 = 2 - \frac{2\sqrt{3}}{3}\) s. Y luego lo invierte de nuevo (del antihorario al horario) en \(t_1 = 2 + \frac{2\sqrt{3}}{3}\) s. Dado que la pregunta pide "el instante" y la primera inversión ocurre en \(t_{1a}\), usaremos ese valor. Si se pidieran todos los instantes de inversión, daríamos ambos.

Instante \(t_1 \approx 0.845\) s.

2. Velocidad lineal total en \(t_1\):
La velocidad lineal está dada por \(v(t) = \omega(t) R\). En el instante \(t_1\), \(\omega(t_1)=0\).
\(v(t_1) = \omega(t_1) R = 0 \times 5 = 0\) m/s.
La velocidad lineal total es cero en el instante en que la partícula invierte su sentido de giro.

3. Aceleración total en \(t_1\):
La aceleración total es la suma vectorial de la aceleración centrípeta (\(a_c\)) y la aceleración tangencial (\(a_t\)).
* Aceleración centrípeta (\(a_c\)): \(a_c = \omega^2 R\). En \(t_1\), \(\omega(t_1)=0\), por lo tanto \(a_c(t_1) = 0^2 \times 5 = 0\) m/s².
* Aceleración tangencial (\(a_t\)): \(a_t(t) = \alpha(t) R = (6t - 12) \times 5 = 30t - 60\) m/s².
Evaluamos \(a_t\) en \(t_1 = 2 - \frac{2\sqrt{3}}{3}\):
\(a_t(t_1) = 30 \left( 2 - \frac{2\sqrt{3}}{3} \right) - 60\)
\(a_t(t_1) = 60 - 30 \left( \frac{2\sqrt{3}}{3} \right) - 60\)
\(a_t(t_1) = - 20\sqrt{3}\) m/s²

Como la aceleración centrípeta es cero en \(t_1\), la aceleración total es igual a la aceleración tangencial. El signo negativo de \(a_t\) indica que se opone a la dirección tangencial que tendría en ese instante si no fuera por la inversión. Sin embargo, la magnitud de la aceleración tangencial es \(|-20\sqrt{3}|\) m/s².

Respuesta:
* Instante de inversión del sentido de giro (\(t_1\)): \(2 - \frac{2\sqrt{3}}{3}\) s \(\approx 0.845\) s.
* Velocidad lineal total en \(t_1\): \(0\) m/s.
* Aceleración total en \(t_1\): \(-20\sqrt{3}\) m/s² (dirección tangencial). La magnitud es \(20\sqrt{3}\) m/s².

c) Calcula el espacio angular recorrido y el espacio lineal recorrido por la partícula entre \(t=1\) s y \(t=4\) s.

Para calcular el espacio recorrido, necesitamos integrar el valor absoluto de la velocidad angular (para el espacio angular) o lineal (para el espacio lineal). La velocidad angular es \(\omega(t) = 3t^2 - 12t + 8\).
Hemos encontrado que \(\omega(t)=0\) en \(t_{1a} \approx 0.845\) s y \(t_{1b} \approx 3.155\) s.
El intervalo de tiempo es \([1, 4]\) s. Dentro de este intervalo, la velocidad angular se hace cero en \(t_{1b} \approx 3.155\) s. Esto significa que la partícula cambia de sentido de giro dentro de este intervalo.

1. Espacio angular recorrido (\(\Delta \theta_{recorrido}\)):
\(\Delta \theta_{recorrido} = \int_{1}^{4} |\omega(t)| dt\)
Debido a que \(\omega(t)\) se anula en \(t_{1b} \approx 3.155\) s, debemos dividir la integral:
\(\Delta \theta_{recorrido} = \int_{1}^{t_{1b}} |\omega(t)| dt + \int_{t_{1b}}^{4} |\omega(t)| dt\)

• En el intervalo \([1, t_{1b} \approx 3.155]\), \(\omega(t)\) es negativo (ya que \(t_{1a} < 1 < t_{1b}\)). Así que \(|\omega(t)| = -\omega(t) = -(3t^2 - 12t + 8) = -3t^2 + 12t - 8\).
• En el intervalo \([t_{1b} \approx 3.155, 4]\), \(\omega(t)\) es positivo. Así que \(|\omega(t)| = \omega(t) = 3t^2 - 12t + 8\).

La integral de \(\omega(t)\) es \(\theta(t) = t^3 - 6t^2 + 8t\).
La integral de \(-\omega(t)\) es \(-\theta(t) = -t^3 + 6t^2 - 8t\).

\(\int_{1}^{t_{1b}} |\omega(t)| dt = \int_{1}^{t_{1b}} (-3t^2 + 12t - 8) dt = [ -t^3 + 6t^2 - 8t ]_{1}^{t_{1b}}\)
\(= (-t_{1b}^3 + 6t_{1b}^2 - 8t_{1b}) - (-1^3 + 6(1)^2 - 8(1))\)
\(= \theta(t_{1b}) - (\theta(1))\)

\(\int_{t_{1b}}^{4} |\omega(t)| dt = \int_{t_{1b}}^{4} (3t^2 - 12t + 8) dt = [ t^3 - 6t^2 + 8t ]_{t_{1b}}^{4}\)
\(= (\theta(4)) - (\theta(t_{1b}))\)

• \(\theta(1) = 1^3 - 6(1)^2 + 8(1) = 1 - 6 + 8 = 3\) rad
• \(\theta(4) = 4^3 - 6(4)^2 + 8(4) = 64 - 6(16) + 32 = 64 - 96 + 32 = 0\) rad
• \(\theta(t_{1b}) = t_{1b}^3 - 6t_{1b}^2 + 8t_{1b}\). Sabemos que \(3t_{1b}^2 - 12t_{1b} + 8 = 0\).
  Si despejamos \(8 = 12t_{1b} - 3t_{1b}^2\). Sustituimos en \(\theta(t_{1b})\):
  \(\theta(t_{1b}) = t_{1b}^3 - 6t_{1b}^2 + (12t_{1b} - 3t_{1b}^2)t_{1b} = t_{1b}^3 - 6t_{1b}^2 + 12t_{1b}^2 - 3t_{1b}^3 = -2t_{1b}^3 + 6t_{1b}^2\). Esto es complicado.

Otra forma: \(\theta(t_{1b}) = (t_{1b}^3 - 6t_{1b}^2 + 8t_{1b})\). Usando \(t_{1b} = 2 + \frac{2\sqrt{3}}{3}\).
Es más sencillo calcular los valores numéricos.
\(\omega(1) = 3 - 12 + 8 = -1\) rad/s
\(\omega(4) = 3(16) - 12(4) + 8 = 48 - 48 + 8 = 8\) rad/s
\(t_{1b} \approx 3.155\) s.
\(\omega(3.155) = 3(3.155)^2 - 12(3.155) + 8 \approx 29.7 - 37.86 + 8 \approx -0.16\) (Esto es cercano a cero, hay errores de redondeo).

Vamos a calcular el desplazamiento angular:
\(\Delta \theta_{1 \to 4} = \theta(4) - \theta(1) = 0 - 3 = -3\) rad. Este es el desplazamiento angular neto.

Ahora, el espacio angular recorrido:
En \([1, t_{1b}]\), \(\omega(t)\) es negativo. \(\int_{1}^{t_{1b}} \omega(t) dt = \theta(t_{1b}) - \theta(1)\).
En \([t_{1b}, 4]\), \(\omega(t)\) es positivo. \(\int_{t_{1b}}^{4} \omega(t) dt = \theta(4) - \theta(t_{1b})\).

Espacio angular = \(|\int_{1}^{t_{1b}} \omega(t) dt| + |\int_{t_{1b}}^{4} \omega(t) dt| = |\theta(t_{1b}) - \theta(1)| + |\theta(4) - \theta(t_{1b})|\)
\(= |\theta(t_{1b}) - 3| + |0 - \theta(t_{1b})| = |\theta(t_{1b}) - 3| + |\theta(t_{1b})|\).

Como \(t_{1b} \approx 3.155\), \(\omega(t)\) pasa de negativo a positivo.
\(\theta(3.155) \approx (3.155)^3 - 6(3.155)^2 + 8(3.155) \approx 31.4 - 59.6 + 25.2 = -3.0\) rad. (Esto debe ser cercano al mínimo de la parábola, que es \(\theta(2) = 2^3 - 6(2)^2 + 8(2) = 8 - 24 + 16 = 0\). Ah, el mínimo de \(\omega\) está en \(t=2\), pero el mínimo de \(\theta\) no necesariamente).

Vamos a recalcular los valores de \(\theta(t)\) en los puntos clave:
* \(\theta(1) = 3\) rad
* \(\theta(2) = 0\) rad (aquí \(\omega\) es mínimo negativo)
* \(\theta(3.155) = (3.155)^3 - 6(3.155)^2 + 8(3.155) \approx 31.40 - 59.64 + 25.24 \approx -3.00\) rad
* \(\theta(4) = 0\) rad

Espacio angular = \(|\theta(3.155) - \theta(1)| + |\theta(4) - \theta(3.155)|\)
\(= |-3.00 - 3| + |0 - (-3.00)|\)
\(= |-6.00| + |3.00| = 6.00 + 3.00 = 9.00\) rad.

2. Espacio lineal recorrido (\(s\)):
\(s = R \times \Delta \theta_{recorrido}\)
\(s = 5 \text{ m} \times 9.00 \text{ rad} = 45.00\) m.

Respuesta:
* Espacio angular recorrido entre \(t=1\) s y \(t=4\) s: 9.00 rad.
* Espacio lineal recorrido entre \(t=1\) s y \(t=4\) s: 45.00 m.

Entendido. Modificaré el apartado b) del ejercicio de proyectiles para que sea resoluble y represente un desafío adecuado, y si es necesario, añadiré un apartado nuevo.

Ejercicio 1: Tiro Parabólico y Colisión (Modificado)

Un proyectil \(P_1\) es lanzado desde el suelo con una velocidad inicial \(v_0 = 50\) m/s formando un ángulo \(\alpha = 60^\circ\) con la horizontal. En el instante \(t=1\) s, un segundo proyectil \(P_2\) es lanzado desde una altura de 10 m sobre el suelo, con una velocidad inicial \(v'_0 = 40\) m/s y formando un ángulo \(\beta = 120^\circ\) con la horizontal (medido en sentido antihorario desde la horizontal positiva). Ambos proyectiles se mueven en el mismo plano vertical. Considera la aceleración de la gravedad \(g = 9.8\) m/s².

Apartados:

a) Determina si los proyectiles \(P_1\) y \(P_2\) colisionan.
Si colisionan, calcula el instante de la colisión y las coordenadas del punto donde ocurre. Si no colisionan, explica por qué.

Resolución (revisada con altura modificada para \(P_2\)):

Proyectil \(P_1\):
* \(v_{0x} = 25\) m/s
* \(v_{0y} = 43.30\) m/s
* \(x_1(t) = 25t\)
* \(y_1(t) = 43.30t - 4.9t^2\)

Proyectil \(P_2\):
* Lanzado en \(t=1\) s.
* \(v'_{0x} = -20\) m/s
* \(v'_{0y} = 34.64\) m/s
* Posición inicial: \(x_0' = 0\), \(y_0' = 10\) m.
* Ecuaciones de posición para \(t \ge 1\):
\(x_2(t) = -20(t-1)\)
\(y_2(t) = 10 + 34.64(t-1) - 4.9(t-1)^2\)

Condición de colisión:
Igualamos las componentes x:
\(25t = -20(t-1)\)
\(25t = -20t + 20 \implies 45t = 20 \implies t = \frac{4}{9}\) s

Este tiempo sigue siendo \(t < 1\) s. Por lo tanto, la colisión no ocurre en este escenario modificado tampoco, porque el tiempo para que coincidan en \(x\) es antes del lanzamiento de \(P_2\).

Para que colisionen, necesitamos modificar más los datos o las condiciones. Vamos a plantear un escenario nuevo donde sí haya colisión y que incluya un apartado más complejo.

Nuevo Ejercicio Complejo: Tiro Parabólico y Colisión (Diseño Avanzado)

Un cañón dispara un proyectil \(P_1\) desde una plataforma a una altura de 30 m sobre el suelo. La velocidad inicial del proyectil es \(v_0 = 70\) m/s y forma un ángulo \(\alpha = 30^\circ\) con la horizontal.
Simultáneamente (en \(t=0\)), un dron \(D\) se encuentra volando horizontalmente a una altura constante de 50 m sobre el suelo con una velocidad constante \(\vec{v}_D = (-40, 0)\) m/s (es decir, se mueve hacia la izquierda). El dron se encuentra inicialmente sobre el punto de lanzamiento de \(P_1\).
Considera \(g = 9.8\) m/s².

Apartados:

a) Calcula las ecuaciones de posición y velocidad para el proyectil \(P_1\) y el dron \(D\) en función del tiempo \(t\).

b) [Complejo] Determina si el proyectil \(P_1\) colisiona con el dron \(D\).
Si colisionan, calcula el instante de la colisión y las coordenadas del punto donde ocurre. Si no colisionan, determina la distancia mínima de separación vertical entre el proyectil y el dron durante el vuelo de ambos, y el instante en que ocurre.

c) Calcula la velocidad relativa entre el proyectil \(P_1\) y el dron \(D\) en el instante en que \(P_1\) alcanza su altura máxima.

Resolución del Nuevo Ejercicio Complejo:

Datos:
* \(P_1\): Lanzado desde \((0, 30)\) m. \(v_0 = 70\) m/s, \(\alpha = 30^\circ\).
* \(D\): Vuela horizontalmente a \(y_D = 50\) m. \(\vec{v}_D = (-40, 0)\) m/s. Posición inicial del dron coincide con el eje Y del lanzamiento de \(P_1\).
* \(g = 9.8\) m/s².

a) Ecuaciones de posición y velocidad:

Proyectil \(P_1\):
* Componentes de la velocidad inicial:
\(v_{0x} = v_0 \cos \alpha = 70 \cos 30^\circ = 70 \times \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 60.62\) m/s
\(v_{0y} = v_0 \sin \alpha = 70 \sin 30^\circ = 70 \times 0.5 = 35\) m/s
* Ecuaciones de posición:
\(x_1(t) = (v_{0x}) t = 60.62t\)
\(y_1(t) = y_{0} + v_{0y} t - \frac{1}{2} g t^2 = 30 + 35t - 4.9t^2\)
* Ecuaciones de velocidad:
\(v_{1x}(t) = v_{0x} = 60.62\) m/s
\(v_{1y}(t) = v_{0y} - gt = 35 - 9.8t\)

Dron \(D\):
* Posición inicial: \((0, 50)\) m (en \(t=0\)).
* Ecuaciones de posición:
\(x_D(t) = x_{0D} + v_{Dx} t = 0 + (-40)t = -40t\)
\(y_D(t) = y_{0D} + v_{Dy} t = 50 + 0t = 50\) m (altura constante)
* Ecuaciones de velocidad:
\(v_{Dx}(t) = v_{Dx} = -40\) m/s
\(v_{Dy}(t) = v_{Dy} = 0\) m/s

b) Colisión y distancia mínima de separación:

Condición de colisión: \(x_1(t) = x_D(t)\) y \(y_1(t) = y_D(t)\).
Igualamos las componentes x:
\(60.62t = -40t\)
\(100.62t = 0 \implies t = 0\) s

En \(t=0\), las posiciones son:
\(x_1(0) = 0\)
\(y_1(0) = 30\) m
\(x_D(0) = 0\)
\(y_D(0) = 50\) m

En el instante \(t=0\), las coordenadas \(x\) coinciden, pero las coordenadas \(y\) son diferentes (\(30\) m vs \(50\) m). Por lo tanto, el proyectil \(P_1\) no colisiona con el dron \(D\).

Distancia mínima de separación vertical:
Queremos encontrar el instante en que la diferencia de altura \(|y_1(t) - y_D(t)|\) es mínima.
La diferencia de altura es:
\(\Delta y(t) = y_1(t) - y_D(t) = (30 + 35t - 4.9t^2) - 50\)
\(\Delta y(t) = -4.9t^2 + 35t - 20\)

Esta es una parábola que se abre hacia abajo. El mínimo valor absoluto de \(\Delta y(t)\) ocurrirá en el vértice de esta parábola, o en los extremos del intervalo de tiempo si este estuviera limitado. Para encontrar el vértice, derivamos \(\Delta y(t)\) respecto a \(t\) e igualamos a cero:
\(\frac{d(\Delta y)}{dt} = -9.8t + 35\)
Igualando a cero:
\(-9.8t + 35 = 0\)
\(9.8t = 35\)
\(t = \frac{35}{9.8} \approx 3.57\) s

Este es el instante en que la diferencia de altura es máxima (si consideramos la altura de \(P_1\) respecto al dron) o mínima (si consideramos la distancia vertical). Calculemos el valor de \(\Delta y\) en este instante:
\(\Delta y(3.57) = -4.9(3.57)^2 + 35(3.57) - 20\)
\(\Delta y(3.57) \approx -4.9(12.74) + 124.95 - 20\)
\(\Delta y(3.57) \approx -62.43 + 124.95 - 20 \approx 42.52\) m

Esto significa que en \(t=3.57\) s, \(P_1\) está \(42.52\) m por encima del dron. Este es el punto de máxima separación vertical (donde \(P_1\) está más alto que el dron).

Para encontrar la mínima separación vertical, debemos considerar el valor absoluto de \(\Delta y(t)\), es decir, \(|-4.9t^2 + 35t - 20|\).
Los mínimos de \(|f(t)|\) ocurren cuando \(f(t)=0\) o en el vértice si \(f(t)\) no cambia de signo en el intervalo de interés.
Encontremos cuándo \(y_1(t) = y_D(t)\), es decir, cuándo se cruzan en altura:
\(-4.9t^2 + 35t - 20 = 0\)
Usando la fórmula cuadrática:
\(t = \frac{-35 \pm \sqrt{35^2 - 4(-4.9)(-20)}}{2(-4.9)} = \frac{-35 \pm \sqrt{1225 - 392}}{-9.8} = \frac{-35 \pm \sqrt{833}}{-9.8}\)
\(t = \frac{-35 \pm 28.86}{-9.8}\)

Dos instantes:
\(t_{a} = \frac{-35 + 28.86}{-9.8} = \frac{-6.14}{-9.8} \approx 0.63\) s
\(t_{b} = \frac{-35 - 28.86}{-9.8} = \frac{-63.86}{-9.8} \approx 6.52\) s

En estos instantes, la separación vertical es cero. Por lo tanto, la mínima separación vertical entre el proyectil y el dron es 0 m, y ocurre en \(t \approx 0.63\) s y \(t \approx 6.52\) s.

Respuesta:
* No colisionan.
* La mínima separación vertical es 0 m, ocurriendo en \(t \approx 0.63\) s y \(t \approx 6.52\) s.

c) Velocidad relativa en la altura máxima de \(P_1\).

1. Instante de altura máxima para \(P_1\):
La altura máxima ocurre cuando la componente vertical de la velocidad es cero: \(v_{1y}(t_{max}) = 0\).
\(35 - 9.8t_{max} = 0\)
\(t_{max} = \frac{35}{9.8} \approx 3.57\) s (Este es el mismo instante que encontramos para la máxima separación vertical).

2. Velocidades en \(t_{max} \approx 3.57\) s:
* Velocidad de \(P_1\):
\(v_{1x}(3.57) = 60.62\) m/s
\(v_{1y}(3.57) = 35 - 9.8(3.57) \approx 0\) m/s
\(\vec{v}_1(3.57) = (60.62, 0)\) m/s
* Velocidad del dron \(D\) (es constante):
\(\vec{v}_D = (-40, 0)\) m/s

3. Velocidad relativa:
\(\vec{v}_{rel} = \vec{v}_1(t_{max}) - \vec{v}_D\)
\(\vec{v}_{rel} = (60.62, 0) - (-40, 0)\)
\(\vec{v}_{rel} = (60.62 - (-40), 0 - 0)\)
\(\vec{v}_{rel} = (100.62, 0)\) m/s

Respuesta: La velocidad relativa entre el proyectil \(P_1\) y el dron \(D\) en el instante en que \(P_1\) alcanza su altura máxima es (100.62, 0) m/s. Esto significa que, en ese instante, el proyectil se mueve horizontalmente a 100.62 m/s en la dirección positiva del eje X respecto al dron.

Estos ejercicios cubren cinemática de proyectiles, análisis de colisiones, cálculo de distancias mínimas y velocidades relativas, y el uso de derivadas para encontrar máximos/mínimos y obtener velocidades/aceleraciones a partir de posiciones. El apartado b) del segundo ejercicio es particularmente complejo al requerir la minimización de una distancia vertical, implicando el análisis de raíces de una ecuación y el valor absoluto de una función.

¡Excelente elección! El primer ejercicio tiene potencial. Modifiquemos el apartado b) para hacerlo más interesante, viable y comprensible, sin perder el rigor.

Ejercicio 1: Tiro Parabólico y Colisión (Apartado b) Elaborado)

Un proyectil \(P_1\) es lanzado desde el suelo con una velocidad inicial \(v_0 = 50\) m/s formando un ángulo \(\alpha = 60^\circ\) con la horizontal. En el instante \(t=1\) s, un segundo proyectil \(P_2\) es lanzado desde una altura de 20 m sobre el suelo, con una velocidad inicial \(v'_0 = 40\) m/s y formando un ángulo \(\beta = 120^\circ\) con la horizontal (medido en sentido antihorario desde la horizontal positiva). Ambos proyectiles se mueven en el mismo plano vertical. Considera la aceleración de la gravedad \(g = 9.8\) m/s².

Apartados:

a) Determina si los proyectiles \(P_1\) y \(P_2\) colisionan.
Si colisionan, calcula el instante de la colisión y las coordenadas del punto donde ocurre. Si no colisionan, explica por qué.

Resolución (usando los datos originales del primer planteamiento):

Proyectil \(P_1\):
* \(v_{0x} = 25\) m/s
* \(v_{0y} = 43.30\) m/s
* \(x_1(t) = 25t\)
* \(y_1(t) = 43.30t - 4.9t^2\)

Proyectil \(P_2\):
* Lanzado en \(t=1\) s.
* \(v'_{0x} = -20\) m/s
* \(v'_{0y} = 34.64\) m/s
* Posición inicial: \((0, 20)\) m (asumiendo que se lanza desde el eje Y, a 20m de altura).
* Ecuaciones de posición para \(t \ge 1\):
\(x_2(t) = -20(t-1)\)
\(y_2(t) = 20 + 34.64(t-1) - 4.9(t-1)^2\)

Condición de colisión:
Igualamos las componentes x:
\(x_1(t) = x_2(t)\)
\(25t = -20(t-1)\)
\(25t = -20t + 20 \implies 45t = 20 \implies t = \frac{4}{9}\) s

Este tiempo \(t = 4/9\) s es menor que 1 s. Por lo tanto, los proyectiles no colisionan porque el tiempo necesario para que sus proyecciones en el eje X coincidan es anterior al momento en que el segundo proyectil es lanzado.

b) [Elaborado] Calcula la distancia horizontal \(d\) que debería separarse el punto de lanzamiento del proyectil \(P_2\) del eje Y (manteniendo su altura inicial de 20 m y su velocidad inicial) para que ambos proyectiles colisionen.
Determina también las coordenadas del punto de colisión.

Resolución del Apartado b) Elaborado:

Para que ocurra la colisión, necesitamos que coincidan las posiciones \(x\) e \(y\) en el mismo instante de tiempo \(t \ge 1\) s.

Sea \(x_{02}\) la coordenada \(x\) inicial del proyectil \(P_2\) (la distancia horizontal que buscamos). La altura inicial de \(P_2\) sigue siendo 20 m, y su velocidad inicial \(v'_0 = 40\) m/s con \(\beta = 120^\circ\).

• Nuevas ecuaciones de posición para \(P_2\) (para \(t \ge 1\)):
  \(x_2(t) = x_{02} + v'_{0x} (t-1) = x_{02} + (-20)(t-1)\)
  \(y_2(t) = 20 + v'_{0y} (t-1) - 4.9(t-1)^2 = 20 + 34.64(t-1) - 4.9(t-1)^2\)

Las ecuaciones para \(P_1\) no cambian:
\(x_1(t) = 25t\)
\(y_1(t) = 43.30t - 4.9t^2\)

Condición de colisión: \(x_1(t) = x_2(t)\) y \(y_1(t) = y_2(t)\) para algún \(t \ge 1\).

Paso 1: Igualar las componentes \(x\) para encontrar una relación entre \(t\) y \(x_{02}\).
\(25t = x_{02} - 20(t-1)\)
\(25t = x_{02} - 20t + 20\)
\(45t = x_{02} + 20\)
Despejamos \(t\):
\(t = \frac{x_{02} + 20}{45}\)

Como la colisión debe ocurrir para \(t \ge 1\) s:
\(\frac{x_{02} + 20}{45} \ge 1\)
\(x_{02} + 20 \ge 45\)
\(x_{02} \ge 25\) m

Esto nos indica que el punto de lanzamiento de \(P_2\) debe estar al menos 25 m a la derecha del eje Y para que la colisión ocurra después de que \(P_2\) sea lanzado.

Paso 2: Sustituir \(t\) en las ecuaciones de \(y\) y igualarlas.
Primero, necesitamos expresar \(y_1(t)\) y \(y_2(t)\) de manera que podamos igualarlas.
\(y_1(t) = 43.30t - 4.9t^2\)
\(y_2(t) = 20 + 34.64(t-1) - 4.9(t-1)^2\)

Igualamos \(y_1(t) = y_2(t)\):
\(43.30t - 4.9t^2 = 20 + 34.64(t-1) - 4.9(t-1)^2\)

Expandimos el término \((t-1)^2\): \((t-1)^2 = t^2 - 2t + 1\).
\(43.30t - 4.9t^2 = 20 + 34.64t - 34.64 - 4.9(t^2 - 2t + 1)\)
\(43.30t - 4.9t^2 = -14.64 + 34.64t - 4.9t^2 + 9.8t - 4.9\)
\(43.30t - 4.9t^2 = -19.54 + 44.44t - 4.9t^2\)

Los términos \(-4.9t^2\) se cancelan en ambos lados.
\(43.30t = -19.54 + 44.44t\)
\(19.54 = 44.44t - 43.30t\)
\(19.54 = 1.14t\)
\(t = \frac{19.54}{1.14} \approx 17.14\) s

Este tiempo \(t \approx 17.14\) s es el instante en el que las alturas de ambos proyectiles coincidirían si se hubieran lanzado simultáneamente con esas velocidades y el \(y_0\) de \(P_2\) fuera 20m. Sin embargo, debemos considerar que \(P_2\) se lanza en \(t=1\) s. La igualdad de alturas \(y_1(t) = y_2(t)\) tal como las hemos planteado ya tiene en cuenta el desfase temporal del lanzamiento de \(P_2\) (a través de los términos \((t-1)\)).

Así que, el tiempo \(t \approx 17.14\) s es el instante en que las alturas coincidirían, asumiendo que ambas ecuaciones son válidas para ese \(t\). Dado que \(17.14 > 1\), esto es posible.

Paso 3: Usar el tiempo \(t\) para encontrar \(x_{02}\).
Ahora que tenemos el tiempo de colisión \(t \approx 17.14\) s, podemos usar la relación encontrada en el Paso 1 para calcular \(x_{02}\):
\(t = \frac{x_{02} + 20}{45}\)
\(17.14 = \frac{x_{02} + 20}{45}\)
\(17.14 \times 45 = x_{02} + 20\)
\(771.3 = x_{02} + 20\)
\(x_{02} = 771.3 - 20 = 751.3\) m

Esto significa que el punto de lanzamiento de \(P_2\) debería estar a una distancia horizontal de \(751.3\) m a la derecha del eje Y.

Paso 4: Calcular las coordenadas de la colisión.
Usamos el tiempo \(t \approx 17.14\) s y las ecuaciones de \(P_1\) (o \(P_2\), deberían dar el mismo resultado). Usemos \(P_1\):
\(x_{col} = x_1(17.14) = 25 \times 17.14 \approx 428.5\) m
\(y_{col} = y_1(17.14) = 43.30(17.14) - 4.9(17.14)^2\)
\(y_{col} \approx 742.1 - 4.9(293.78) \approx 742.1 - 1439.5 \approx -697.4\) m

¡Error! La altura calculada es negativa, lo cual es físicamente imposible ya que el suelo está en \(y=0\). Esto indica que, aunque las trayectorias matemáticamente se cruzarían en ese instante y posición teórica, el proyectil \(P_1\) ya habría caído al suelo mucho antes.

Revisemos la trayectoria de \(P_1\) para ver cuándo toca el suelo (\(y_1(t)=0\)):
\(43.30t - 4.9t^2 = 0\)
\(t(43.30 - 4.9t) = 0\)
Las soluciones son \(t=0\) (inicio) y \(t = \frac{43.30}{4.9} \approx 8.84\) s.
El proyectil \(P_1\) está en el aire solo hasta \(t \approx 8.84\) s.

Nuestro tiempo de colisión calculado (\(t \approx 17.14\) s) es mucho mayor que el tiempo de vuelo de \(P_1\). Esto confirma que, bajo estas condiciones, la colisión no ocurre porque \(P_1\) ya ha caído al suelo antes de que se cumplan las condiciones de igualdad de posición.

Conclusión Revisada para el Apartado a):
Basándonos en el cálculo del tiempo de vuelo de \(P_1\) (\(t \approx 8.84\) s) y el tiempo requerido para que las posiciones x coincidan (\(t = 4/9\) s), podemos decir que no colisionan. El tiempo de vuelo es demasiado corto para que \(P_1\) alcance la posición \(x\) necesaria para encontrarse con \(P_2\) (que se lanza más tarde y en dirección opuesta).

Replanteamiento para que sí haya colisión y el apartado b) tenga sentido:
Para que el problema tenga sentido y el apartado b) sea resoluble con colisión, debemos ajustar los parámetros de manera que el tiempo de colisión sea menor que el tiempo de vuelo de \(P_1\) y mayor o igual que 1s.

Vamos a usar los datos originales del primer planteamiento y modificar la pregunta del apartado b).

Volviendo al Ejercicio Original (sin modificar la altura de P2 a 20m):

Apartados:

a) Determina si los proyectiles \(P_1\) y \(P_2\) colisionan.
Si colisionan, calcula el instante de la colisión y las coordenadas del punto donde ocurre. Si no colisionan, explica por qué.

Resolución (como antes):
* \(t_{col\_x} = 4/9\) s.
* Como \(t_{col\_x} < 1\) s, los proyectiles no colisionan. La explicación es la misma: el tiempo para que coincidan en \(x\) es anterior al lanzamiento de \(P_2\).

b) [Modificado y Elaborado] Si \(P_2\) se lanzara desde el punto \((x_{02}, 20)\) m con la misma velocidad inicial \(v'_0 = 40\) m/s y ángulo \(\beta = 120^\circ\), pero simultáneamente con \(P_1\) (es decir, en \(t=0\)s), ¿qué valor debería tener \(x_{02}\) para que colisionen? Calcula las coordenadas de la colisión.

Resolución del Apartado b) Modificado:

Ahora ambos proyectiles se lanzan en \(t=0\) s. Las ecuaciones de \(P_1\) son las mismas. Las de \(P_2\) cambian porque el desfase temporal desaparece.

Proyectil \(P_1\) (en \(t=0\)):
* \(x_1(t) = 25t\)
* \(y_1(t) = 43.30t - 4.9t^2\)

Proyectil \(P_2\) (en \(t=0\)):
* Lanzado en \(t=0\) s desde \((x_{02}, 20)\) m.
* \(v'_{0x} = -20\) m/s
* \(v'_{0y} = 34.64\) m/s
* Ecuaciones de posición:
\(x_2(t) = x_{02} + v'_{0x} t = x_{02} - 20t\)
\(y_2(t) = 20 + v'_{0y} t - 4.9t^2 = 20 + 34.64t - 4.9t^2\)

Condición de colisión: \(x_1(t) = x_2(t)\) y \(y_1(t) = y_2(t)\) para algún \(t > 0\).

Paso 1: Igualar componentes \(x\).
\(25t = x_{02} - 20t\)
\(45t = x_{02}\)
\(t = \frac{x_{02}}{45}\)

Para que haya colisión, \(t\) debe ser positivo, lo que implica \(x_{02} > 0\).

Paso 2: Igualar componentes \(y\).
\(43.30t - 4.9t^2 = 20 + 34.64t - 4.9t^2\)
Los términos \(-4.9t^2\) se cancelan.
\(43.30t = 20 + 34.64t\)
\(43.30t - 34.64t = 20\)
\(8.66t = 20\)
\(t = \frac{20}{8.66} \approx 2.31\) s

Este tiempo \(t \approx 2.31\) s es el instante en que las alturas coincidirían si se lanzaran simultáneamente. Como \(t > 0\), es un tiempo válido.

Paso 3: Calcular \(x_{02}\) usando el tiempo \(t\).
\(t = \frac{x_{02}}{45}\)
\(2.31 = \frac{x_{02}}{45}\)
\(x_{02} = 2.31 \times 45 \approx 103.95\) m

Por lo tanto, el punto de lanzamiento de \(P_2\) debería estar a una distancia horizontal de aproximadamente \(103.95\) m a la derecha del eje Y.

Paso 4: Calcular las coordenadas de la colisión.
Usamos el tiempo \(t \approx 2.31\) s.
\(x_{col} = x_1(2.31) = 25 \times 2.31 \approx 57.75\) m
\(y_{col} = y_1(2.31) = 43.30(2.31) - 4.9(2.31)^2\)
\(y_{col} \approx 100.02 - 4.9(5.336) \approx 100.02 - 26.15 \approx 73.87\) m

Verifiquemos con \(P_2\):
\(x_2(2.31) = x_{02} - 20t = 103.95 - 20(2.31) = 103.95 - 46.2 = 57.75\) m (coincide con \(x_1\))
\(y_2(2.31) = 20 + 34.64(2.31) - 4.9(2.31)^2\)
\(y_2 \approx 20 + 80.02 - 26.15 \approx 73.87\) m (coincide con \(y_1\))

Respuesta del Apartado b) Modificado:
Para que colisionen, el punto de lanzamiento de \(P_2\) debería estar a una distancia horizontal \(x_{02} \approx \mathbf{103.95}\) m a la derecha del eje Y (manteniendo la altura inicial de 20 m).
Las coordenadas de la colisión serían aproximadamente \((\mathbf{57.75, 73.87})\) m.

Este apartado b) modificado es viable, matemáticamente interesante y requiere que el estudiante combine las condiciones de colisión en \(x\) e \(y\) con el ajuste de un parámetro inicial (\(x_{02}\)).

¡Absolutamente! Esa es una excelente idea para un apartado b) que evalúa la comprensión de las condiciones de colisión y la interpretación de los resultados.

Aquí tienes la versión del ejercicio con ese tipo de apartado b):

Ejercicio 1: Tiro Parabólico y Colisión (Apartado b) Alternativo)

Un proyectil \(P_1\) es lanzado desde el suelo con una velocidad inicial \(v_0 = 50\) m/s formando un ángulo \(\alpha = 60^\circ\) con la horizontal. En el instante \(t=1\) s, un segundo proyectil \(P_2\) es lanzado desde una altura de 20 m sobre el suelo, con una velocidad inicial \(v'_0 = 40\) m/s y formando un ángulo \(\beta = 120^\circ\) con la horizontal (medido en sentido antihorario desde la horizontal positiva). Ambos proyectiles se mueven en el mismo plano vertical. Considera la aceleración de la gravedad \(g = 9.8\) m/s².

Apartados:

a) Determina si los proyectiles \(P_1\) y \(P_2\) colisionan.
Si colisionan, calcula el instante de la colisión y las coordenadas del punto donde ocurre. Si no colisionan, explica por qué.

Resolución del Apartado a) (ya realizada):
Como se demostró en la respuesta anterior, la igualdad de las componentes \(x\) se da en \(t=4/9\) s, que es anterior al instante de lanzamiento de \(P_2\) (\(t=1\) s). Por lo tanto, los proyectiles no colisionan.

b) [Alternativo y Conceptual] Dado que los proyectiles no colisionan, responde a lo siguiente:
i) Si hubieran colisionado, ¿cuál sería la velocidad relativa entre ellos en el instante de la colisión?
ii) Si no colisionan como en el escenario planteado, ¿qué parámetro de \(P_2\) (su posición inicial en \(x\), su altura inicial, su velocidad inicial, o el instante de su lanzamiento) debería modificarse y en qué dirección, para que sí hubiera colisión? Justifica tu respuesta basándote en las condiciones de colisión.

Resolución del Apartado b) Alternativo:

i) Velocidad relativa si hubieran colisionado:

Para calcular la velocidad relativa, primero necesitaríamos un instante de colisión \(t_{col} \ge 1\) s donde \(x_1(t_{col}) = x_2(t_{col})\) y \(y_1(t_{col}) = y_2(t_{col})\). Dado que en el escenario original no colisionan, no podemos calcular la velocidad relativa para este escenario.

Sin embargo, podemos describir el proceso general para calcularla si ocurriera:
1. Encontrar el instante de colisión \(t_{col}\): Esto requeriría resolver el sistema de ecuaciones \(x_1(t) = x_2(t)\) y \(y_1(t) = y_2(t)\) simultáneamente, asegurándose de que \(t_{col} \ge 1\) s y que las alturas \(y\) sean ambas positivas.
2. Calcular las velocidades de cada proyectil en \(t_{col}\):
* \(\vec{v}_1(t_{col}) = (v_{1x}(t_{col}), v_{1y}(t_{col})) = (25, 43.30 - 9.8 t_{col})\)
* \(\vec{v}_2(t_{col}) = (v_{2x}(t_{col}), v_{2y}(t_{col})) = (-20, 34.64 - 9.8 (t_{col}-1))\)
3. Calcular la velocidad relativa:
\(\vec{v}_{rel} = \vec{v}_1(t_{col}) - \vec{v}_2(t_{col})\)
\(\vec{v}_{rel} = (25 - (-20), (43.30 - 9.8 t_{col}) - (34.64 - 9.8 (t_{col}-1)))\)
\(\vec{v}_{rel} = (45, 8.66 - 9.8(t_{col} - (t_{col}-1)))\) (Simplificando \(43.30 - 34.64 = 8.66\))
\(\vec{v}_{rel} = (45, 8.66 - 9.8)\)
\(\vec{v}_{rel} = (45, -1.14)\) m/s

Nota importante: La velocidad relativa calculada aquí, \((45, -1.14)\) m/s, es la velocidad relativa que tendrían en cualquier instante \(t\) donde \(t \ge 1\) si las ecuaciones de movimiento fueran válidas. Sin embargo, para que sea la velocidad relativa en el instante de colisión, necesitaríamos que la colisión ocurriera. La peculiaridad es que las componentes \(x\) y \(y\) de la velocidad relativa son constantes en este escenario (debido a que las aceleraciones son las mismas y las velocidades iniciales en \(x\) y \(y\) tienen una relación fija).

Respuesta i): Si hubieran colisionado, la velocidad relativa entre ellos sería \(\vec{v}_{rel} = (\mathbf{45, -1.14})\) m/s.

ii) Modificación necesaria para la colisión:

Para que ocurra la colisión, deben cumplirse dos condiciones simultáneamente en un instante \(t \ge 1\):
1. Igualdad de posiciones en \(x\): \(x_1(t) = x_2(t)\)
2. Igualdad de posiciones en \(y\): \(y_1(t) = y_2(t)\)

Analicemos las ecuaciones y los parámetros:
* \(P_1\): \(x_1(t) = 25t\), \(y_1(t) = 43.30t - 4.9t^2\). Sus parámetros (\(v_0, \alpha\)) están fijos.
* \(P_2\): Lanzado en \(t=1\) s desde \((x_{02}, y_{02}=20)\) con \(v'_0 = 40\) m/s, \(\beta = 120^\circ\). Sus parámetros son \(x_{02}\), \(y_{02}\), \(v'_0\), \(\beta\), e instante de lanzamiento (\(t_{lanz}=1\) s).

Análisis de las condiciones:

• Igualdad en \(y\): \(y_1(t) = y_2(t)\)
  \(43.30t - 4.9t^2 = 20 + 34.64(t-1) - 4.9(t-1)^2\)
  Al resolver esta ecuación (como se hizo en el apartado b) anterior, sin el \(x_{02}\) desconocido), obtuvimos un tiempo \(t \approx 17.14\) s (ignorando el \(t_{lanz}=1\)s por un momento para ver si las alturas pueden coincidir). Sin embargo, el tiempo de vuelo de \(P_1\) es \(t_{max\_vuelo} \approx 8.84\) s. Esto significa que las alturas de ambos proyectiles nunca coincidirán mientras \(P_1\) esté en el aire (ya que \(P_1\) cae al suelo antes de que la igualdad de alturas de la ecuación simplificada se cumpla).

  Por lo tanto, para que haya colisión, el principal problema es la igualdad de alturas. Las alturas no pueden coincidir porque:
  1. El tiempo necesario para que las alturas de las trayectorias teóricas se igualen es mayor que el tiempo de vuelo de \(P_1\).
  2. Incluso si consideramos el tiempo de vuelo de \(P_1\), las igualdades en \(x\) (ocurriendo en \(t=4/9\)s) y en \(y\) (nunca coinciden en el aire) son independientes.

  ¿Qué parámetro de \(P_2\) debería modificarse para que las alturas coincidan en un tiempo \(t \ge 1\) y \(t \le 8.84\) s?
  * Altura inicial (\(y_{02}\)): Si cambiáramos la altura inicial de \(P_2\), modificaríamos la ecuación \(y_2(t)\). Podríamos encontrar una \(y_{02}\) que, junto con el tiempo \(t \approx 8.84\) s (el máximo tiempo de vuelo de \(P_1\)), hiciera que \(y_1(t) = y_2(t)\).
  * Velocidad inicial \(v'_0\) o ángulo \(\beta\) de \(P_2\): Modificar estos parámetros alteraría \(v'_{0y}\) y \(v'_{0x}\). Alterar \(v'_{0y}\) afectaría la igualdad de alturas, y alterar \(v'_{0x}\) afectaría la igualdad de posiciones en \(x\). Podría ser posible ajustar ambos para que coincidan en el mismo tiempo.
  * Instante de lanzamiento de \(P_2\) (\(t_{lanz}\)): Si \(P_2\) se lanzara más tarde, el tiempo efectivo de vuelo de \(P_2\) se reduciría. Si se lanzara más pronto (antes de \(t=1\) s), el análisis cambiaría.

  Consideremos el caso más simple: Modificar la altura inicial (\(y_{02}\)) de \(P_2\). Queremos que \(y_1(t) = y_2(t)\) ocurra en un tiempo \(t\) que también permita la igualdad en \(x\).
  Sabemos que \(x_1(t) = x_2(t)\) requiere \(t = 4/9\) s si \(P_2\) parte del eje Y (o \(t = (x_{02}+20)/45\) si \(P_2\) parte de \(x_{02}\)). Este tiempo es demasiado temprano.

  Revisemos el problema: La dificultad reside en que los parámetros dados (velocidades, ángulos, instantes de lanzamiento) conducen a que las condiciones de colisión no se cumplan. Para que haya colisión, necesariamente uno o más de estos parámetros deben ser diferentes.

  Respuesta más conceptual:
  Para que los proyectiles colisionen, se requiere que exista un instante de tiempo \(t \ge 1\) s (y \(t \le\) tiempo de vuelo de \(P_1\)) para el cual \(x_1(t) = x_2(t)\) y \(y_1(t) = y_2(t)\).
  En el escenario dado:
  * La igualdad de las componentes \(x\) ocurre en \(t=4/9\) s, lo cual es anterior al lanzamiento de \(P_2\).
  * La igualdad de las componentes \(y\) (con los datos dados, \(y_{02}=20\)m y \(t_{lanz}=1\)s) no ocurre en ningún momento donde \(P_1\) esté en el aire.

  Por lo tanto, se necesitaría modificar al menos uno de los siguientes parámetros de \(P_2\) para lograr la colisión:
  1. El instante de lanzamiento de \(P_2\): Debería ser lanzado más temprano (antes de \(t=4/9\) s) o \(P_1\) debería ser lanzado más tarde.
  2. La posición inicial en \(x\) de \(P_2\) (\(x_{02}\)): Si \(P_2\) se lanza desde el eje Y (\(x_{02}=0\)), la igualdad en \(x\) ocurre en \(t=4/9\) s. Si \(P_2\) se lanza más a la derecha (\(x_{02} > 0\)), el tiempo \(t\) para igualar \(x\) aumenta (\(t=(x_{02}+20)/45\)). Si se lanza más a la izquierda (\(x_{02} < 0\)), el tiempo \(t\) disminuye.
  3. La altura inicial de \(P_2\) (\(y_{02}\)): Si \(y_{02}\) fuera diferente, la ecuación de \(y_2(t)\) cambiaría, lo que podría permitir la igualdad de alturas en un tiempo \(t \ge 1\) s.
  4. La velocidad inicial (\(v'_0\)) o el ángulo (\(\beta\)) de \(P_2\): Cambiar estos parámetros alteraría tanto la igualdad en \(x\) como en \(y\), y podría permitir una solución.

  Justificación: La colisión exige la coincidencia de trayectorias y tiempos. Dado que las velocidades \(x\) son opuestas y las velocidades \(y\) son diferentes (y afectadas por el tiempo de lanzamiento de \(P_2\)), los parámetros iniciales deben ajustarse finamente para que ambas condiciones de igualdad de posición se cumplan en el mismo instante de tiempo válido. La falta de colisión se debe a que los parámetros actuales no satisfacen estas exigencias simultáneamente.

Este tipo de apartado b) evalúa la comprensión de las condiciones necesarias para la colisión y la capacidad de razonar sobre cómo modificar los parámetros del problema para alcanzar dicho objetivo, sin necesidad de calcular explícitamente esos nuevos parámetros (lo cual podría ser un apartado c).