Okay, I will solve the problem step by step.

Task 1

The expression to simplify is:

$\frac{cos(150^\circ)}{sin(40^\circ)} - \frac{sin(150^\circ)}{cos(40^\circ)}$

First, we need to find the values of $cos(150^\circ)$ and $sin(150^\circ)$.

$cos(150^\circ) = cos(180^\circ - 30^\circ) = -cos(30^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

$sin(150^\circ) = sin(180^\circ - 30^\circ) = sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$

Now, substitute these values into the expression:

$\frac{-\frac{\sqrt{3}}{2}}{sin(40^\circ)} - \frac{\frac{1}{2}}{cos(40^\circ)} = -\frac{\sqrt{3}}{2sin(40^\circ)} - \frac{1}{2cos(40^\circ)}$

Combine the fractions by finding a common denominator:

$-\frac{\sqrt{3}cos(40^\circ) + sin(40^\circ)}{2sin(40^\circ)cos(40^\circ)}$

Using the identity $2sin(x)cos(x) = sin(2x)$, we can simplify the denominator:

$2sin(40^\circ)cos(40^\circ) = sin(2 \cdot 40^\circ) = sin(80^\circ)$

So the expression becomes:

$-\frac{\sqrt{3}cos(40^\circ) + sin(40^\circ)}{sin(80^\circ)}$

We can rewrite the numerator using the sine addition formula. Notice that $\sqrt{3} = 2cos(30^\circ)$ and $1 = 2sin(30^\circ)$. Thus,

$\sqrt{3}cos(40^\circ) + sin(40^\circ) = 2cos(30^\circ)cos(40^\circ) + 2sin(30^\circ)sin(40^\circ) = 2[cos(30^\circ)cos(40^\circ) + sin(30^\circ)sin(40^\circ)]$

Using the cosine subtraction formula $cos(A-B) = cos(A)cos(B) + sin(A)sin(B)$, we have:

$2cos(30^\circ)cos(40^\circ) + 2sin(30^\circ)sin(40^\circ) = 2cos(40^\circ - 30^\circ) = 2cos(10^\circ)$

So the expression becomes:

$-\frac{2cos(10^\circ)}{sin(80^\circ)}$

Since $sin(80^\circ) = cos(90^\circ - 80^\circ) = cos(10^\circ)$, we have:

$-\frac{2cos(10^\circ)}{cos(10^\circ)} = -2$

Therefore, the simplified expression is -2.

Answer: -2

Okay, I will provide a detailed explanation of the solution to the given trigonometric expression.

Task 1

The expression to simplify is:

$\frac{cos(150^\circ)}{sin(40^\circ)} - \frac{sin(150^\circ)}{cos(40^\circ)}$

Step 1: Find the values of $cos(150^\circ)$ and $sin(150^\circ)$

• We can express $150^\circ$ as $180^\circ - 30^\circ$.
• Using the properties of trigonometric functions in different quadrants:
  • $cos(180^\circ - x) = -cos(x)$
  • $sin(180^\circ - x) = sin(x)$

Therefore:

$cos(150^\circ) = cos(180^\circ - 30^\circ) = -cos(30^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

$sin(150^\circ) = sin(180^\circ - 30^\circ) = sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$

Step 2: Substitute the values into the expression

$\frac{-\frac{\sqrt{3}}{2}}{sin(40^\circ)} - \frac{\frac{1}{2}}{cos(40^\circ)} = -\frac{\sqrt{3}}{2sin(40^\circ)} - \frac{1}{2cos(40^\circ)}$

Step 3: Combine the fractions

To combine the fractions, we need a common denominator, which is $2sin(40^\circ)cos(40^\circ)$.

$-\frac{\sqrt{3}}{2sin(40^\circ)} - \frac{1}{2cos(40^\circ)} = -\frac{\sqrt{3}cos(40^\circ) + sin(40^\circ)}{2sin(40^\circ)cos(40^\circ)}$

Step 4: Simplify the denominator using the double angle identity

• The double angle identity for sine is: $2sin(x)cos(x) = sin(2x)$

Therefore:

$2sin(40^\circ)cos(40^\circ) = sin(2 \cdot 40^\circ) = sin(80^\circ)$

The expression now becomes:

$-\frac{\sqrt{3}cos(40^\circ) + sin(40^\circ)}{sin(80^\circ)}$

Step 5: Rewrite the numerator using trigonometric identities

• Notice that $\sqrt{3} = 2cos(30^\circ)$ and $1 = 2sin(30^\circ)$.
• Rewrite the numerator:

$\sqrt{3}cos(40^\circ) + sin(40^\circ) = 2cos(30^\circ)cos(40^\circ) + 2sin(30^\circ)sin(40^\circ) = 2[cos(30^\circ)cos(40^\circ) + sin(30^\circ)sin(40^\circ)]$

• Using the cosine subtraction formula: $cos(A-B) = cos(A)cos(B) + sin(A)sin(B)$

$2[cos(30^\circ)cos(40^\circ) + sin(30^\circ)sin(40^\circ)] = 2cos(40^\circ - 30^\circ) = 2cos(10^\circ)$

The expression becomes:

$-\frac{2cos(10^\circ)}{sin(80^\circ)}$

Step 6: Simplify further using complementary angle identity

• The complementary angle identity is: $sin(x) = cos(90^\circ - x)$

Therefore:

$sin(80^\circ) = cos(90^\circ - 80^\circ) = cos(10^\circ)$

The expression now is:

$-\frac{2cos(10^\circ)}{cos(10^\circ)}$

Step 7: Final simplification

$-\frac{2cos(10^\circ)}{cos(10^\circ)} = -2$

Therefore, the simplified expression is -2.

Answer: -2

## Task 2

The task is to find $y(1)$ if $y = (2x^2 - 4x + 2)^7$.

**Step 1: Substitute $x = 1$ into the expression for $y$**

$y(1) = (2(1)^2 - 4(1) + 2)^7$

**Step 2: Simplify the expression inside the parentheses**

$y(1) = (2 - 4 + 2)^7$

$y(1) = (0)^7$

**Step 3: Calculate the final result**

$y(1) = 0$

**Answer:** 0

Язык задания: Русский

Задание 4

Найти $y(1)$, если $y = (2x^2 - 4x + 2)^7$.

Шаг 1: Подставить $x = 1$ в выражение для $y$

$y(1) = (2(1)^2 - 4(1) + 2)^7$

Шаг 2: Упростить выражение внутри скобок

$y(1) = (2 - 4 + 2)^7$

$y(1) = (0)^7$

Шаг 3: Вычислить окончательный результат

$y(1) = 0$

Ответ: 0

Задание 5

Напишите уравнение касательной к кривой $y = 2x^2 - 5x + 3.5$, которая параллельна прямой $y = -3x + 1$.

Шаг 1: Найти производную функции $y = 2x^2 - 5x + 3.5$

Производная $y'$ представляет собой угловой коэффициент касательной к кривой в любой точке $x$.

$y' = \frac{d}{dx}(2x^2 - 5x + 3.5) = 4x - 5$

Шаг 2: Найти угловой коэффициент прямой $y = -3x + 1$

Угловой коэффициент этой прямой равен -3.

Шаг 3: Приравнять производную к угловому коэффициенту прямой и найти $x$

Так как касательная должна быть параллельна данной прямой, их угловые коэффициенты должны быть равны.

$4x - 5 = -3$

$4x = 2$

$x = \frac{1}{2}$

Шаг 4: Найти значение $y$ в точке $x = \frac{1}{2}$

$y(\frac{1}{2}) = 2(\frac{1}{2})^2 - 5(\frac{1}{2}) + 3.5 = 2(\frac{1}{4}) - \frac{5}{2} + 3.5 = \frac{1}{2} - 2.5 + 3.5 = 1.5$

Таким образом, точка касания имеет координаты $(\frac{1}{2}, 1.5)$.

Шаг 5: Написать уравнение касательной

Уравнение касательной имеет вид $y = kx + b$, где $k$ - угловой коэффициент, а $b$ - свободный член. Мы знаем, что $k = -3$ (так как касательная параллельна прямой $y = -3x + 1$).

Подставим координаты точки касания $(\frac{1}{2}, 1.5)$ в уравнение касательной:

$1.5 = -3(\frac{1}{2}) + b$

$1.5 = -1.5 + b$

$b = 3$

Таким образом, уравнение касательной: $y = -3x + 3$

Ответ: $y = -3x + 3$

Задание 6

Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $y = \frac{4x}{x^2 + 1}$ на промежутке $[-5; \frac{1}{5}]$.

Шаг 1: Найти производную функции $y = \frac{4x}{x^2 + 1}$

Используем правило дифференцирования частного: $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$

$y' = \frac{4(x^2 + 1) - 4x(2x)}{(x^2 + 1)^2} = \frac{4x^2 + 4 - 8x^2}{(x^2 + 1)^2} = \frac{4 - 4x^2}{(x^2 + 1)^2} = \frac{4(1 - x^2)}{(x^2 + 1)^2}$

Шаг 2: Найти критические точки (где $y' = 0$ или не существует)

$y' = 0$ при $1 - x^2 = 0$, то есть $x^2 = 1$, следовательно, $x = \pm 1$.

Оба значения $x = 1$ и $x = -1$ принадлежат заданному промежутку $[-5; \frac{1}{5}]$.

Шаг 3: Вычислить значения функции в критических точках и на концах промежутка

• $y(-5) = \frac{4(-5)}{(-5)^2 + 1} = \frac{-20}{26} = -\frac{10}{13}$
• $y(-1) = \frac{4(-1)}{(-1)^2 + 1} = \frac{-4}{2} = -2$
• $y(1) = \frac{4(1)}{(1)^2 + 1} = \frac{4}{2} = 2$
• $y(\frac{1}{5}) = \frac{4(\frac{1}{5})}{(\frac{1}{5})^2 + 1} = \frac{\frac{4}{5}}{\frac{1}{25} + 1} = \frac{\frac{4}{5}}{\frac{26}{25}} = \frac{4}{5} \cdot \frac{25}{26} = \frac{100}{130} = \frac{10}{13}$

Шаг 4: Определить наибольшее и наименьшее значения

Сравниваем полученные значения:

• $y(-5) = -\frac{10}{13} \approx -0.769$
• $y(-1) = -2$
• $y(1) = 2$
• $y(\frac{1}{5}) = \frac{10}{13} \approx 0.769$

Наибольшее значение: $2$ (при $x = 1$)
Наименьшее значение: $-2$ (при $x = -1$)

Ответ: Наибольшее значение: 2, наименьшее значение: -2

Судя по фото, у вас есть три задания: 4, 5 и 6. Я решу их по порядку.

Задание 4

Найти $y(1)$, если $y = (2x^3 - 4x + 2)^4$.

Шаг 1: Подставить $x = 1$ в выражение для $y$

$y(1) = (2(1)^3 - 4(1) + 2)^4$

Шаг 2: Упростить выражение внутри скобок

$y(1) = (2 - 4 + 2)^4$

$y(1) = (0)^4$

Шаг 3: Вычислить окончательный результат

$y(1) = 0$

Ответ: 0