Simplify Trigonometric Expression

Okay, I will solve the problem step by step.

Task 1

The expression to simplify is:

\(\frac{cos(150^\circ)}{sin(40^\circ)} - \frac{sin(150^\circ)}{cos(40^\circ)}\)

First, we need to find the values of \(cos(150^\circ)\) and \(sin(150^\circ)\).

\(cos(150^\circ) = cos(180^\circ - 30^\circ) = -cos(30^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2}\)

\(sin(150^\circ) = sin(180^\circ - 30^\circ) = sin(30^\circ) = \frac{1}{2}\)

Now, substitute these values into the expression:

\(\frac{-\frac{\sqrt{3}}{2}}{sin(40^\circ)} - \frac{\frac{1}{2}}{cos(40^\circ)} = -\frac{\sqrt{3}}{2sin(40^\circ)} - \frac{1}{2cos(40^\circ)}\)

Combine the fractions by finding a common denominator:

\(-\frac{\sqrt{3}cos(40^\circ) + sin(40^\circ)}{2sin(40^\circ)cos(40^\circ)}\)

Using the identity \(2sin(x)cos(x) = sin(2x)\), we can simplify the denominator:

\(2sin(40^\circ)cos(40^\circ) = sin(2 \cdot 40^\circ) = sin(80^\circ)\)

So the expression becomes:

\(-\frac{\sqrt{3}cos(40^\circ) + sin(40^\circ)}{sin(80^\circ)}\)

We can rewrite the numerator using the sine addition formula. Notice that \(\sqrt{3} = 2cos(30^\circ)\) and \(1 = 2sin(30^\circ)\). Thus,

\(\sqrt{3}cos(40^\circ) + sin(40^\circ) = 2cos(30^\circ)cos(40^\circ) + 2sin(30^\circ)sin(40^\circ) = 2[cos(30^\circ)cos(40^\circ) + sin(30^\circ)sin(40^\circ)]\)

Using the cosine subtraction formula \(cos(A-B) = cos(A)cos(B) + sin(A)sin(B)\), we have:

\(2cos(30^\circ)cos(40^\circ) + 2sin(30^\circ)sin(40^\circ) = 2cos(40^\circ - 30^\circ) = 2cos(10^\circ)\)

So the expression becomes:

\(-\frac{2cos(10^\circ)}{sin(80^\circ)}\)

Since \(sin(80^\circ) = cos(90^\circ - 80^\circ) = cos(10^\circ)\), we have:

\(-\frac{2cos(10^\circ)}{cos(10^\circ)} = -2\)

Therefore, the simplified expression is -2.

Answer: -2

Okay, I will provide a detailed explanation of the solution to the given trigonometric expression.

Task 1

The expression to simplify is:

\(\frac{cos(150^\circ)}{sin(40^\circ)} - \frac{sin(150^\circ)}{cos(40^\circ)}\)

Step 1: Find the values of \(cos(150^\circ)\) and \(sin(150^\circ)\)

• We can express \(150^\circ\) as \(180^\circ - 30^\circ\).
• Using the properties of trigonometric functions in different quadrants:
  • \(cos(180^\circ - x) = -cos(x)\)
  • \(sin(180^\circ - x) = sin(x)\)

Therefore:

\(cos(150^\circ) = cos(180^\circ - 30^\circ) = -cos(30^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2}\)

\(sin(150^\circ) = sin(180^\circ - 30^\circ) = sin(30^\circ) = \frac{1}{2}\)

Step 2: Substitute the values into the expression

\(\frac{-\frac{\sqrt{3}}{2}}{sin(40^\circ)} - \frac{\frac{1}{2}}{cos(40^\circ)} = -\frac{\sqrt{3}}{2sin(40^\circ)} - \frac{1}{2cos(40^\circ)}\)

Step 3: Combine the fractions

To combine the fractions, we need a common denominator, which is \(2sin(40^\circ)cos(40^\circ)\).

\(-\frac{\sqrt{3}}{2sin(40^\circ)} - \frac{1}{2cos(40^\circ)} = -\frac{\sqrt{3}cos(40^\circ) + sin(40^\circ)}{2sin(40^\circ)cos(40^\circ)}\)

Step 4: Simplify the denominator using the double angle identity

• The double angle identity for sine is: \(2sin(x)cos(x) = sin(2x)\)

Therefore:

\(2sin(40^\circ)cos(40^\circ) = sin(2 \cdot 40^\circ) = sin(80^\circ)\)

The expression now becomes:

\(-\frac{\sqrt{3}cos(40^\circ) + sin(40^\circ)}{sin(80^\circ)}\)

Step 5: Rewrite the numerator using trigonometric identities

• Notice that \(\sqrt{3} = 2cos(30^\circ)\) and \(1 = 2sin(30^\circ)\).
• Rewrite the numerator:

\(\sqrt{3}cos(40^\circ) + sin(40^\circ) = 2cos(30^\circ)cos(40^\circ) + 2sin(30^\circ)sin(40^\circ) = 2[cos(30^\circ)cos(40^\circ) + sin(30^\circ)sin(40^\circ)]\)

• Using the cosine subtraction formula: \(cos(A-B) = cos(A)cos(B) + sin(A)sin(B)\)

\(2[cos(30^\circ)cos(40^\circ) + sin(30^\circ)sin(40^\circ)] = 2cos(40^\circ - 30^\circ) = 2cos(10^\circ)\)

The expression becomes:

\(-\frac{2cos(10^\circ)}{sin(80^\circ)}\)

Step 6: Simplify further using complementary angle identity

• The complementary angle identity is: \(sin(x) = cos(90^\circ - x)\)

Therefore:

\(sin(80^\circ) = cos(90^\circ - 80^\circ) = cos(10^\circ)\)

The expression now is:

\(-\frac{2cos(10^\circ)}{cos(10^\circ)}\)

Step 7: Final simplification

\(-\frac{2cos(10^\circ)}{cos(10^\circ)} = -2\)

Therefore, the simplified expression is -2.

Answer: -2

## Task 2

The task is to find $y(1)$ if $y = (2x^2 - 4x + 2)^7$.

**Step 1: Substitute $x = 1$ into the expression for $y$**

$y(1) = (2(1)^2 - 4(1) + 2)^7$

**Step 2: Simplify the expression inside the parentheses**

$y(1) = (2 - 4 + 2)^7$

$y(1) = (0)^7$

**Step 3: Calculate the final result**

$y(1) = 0$

**Answer:** 0

Язык задания: Русский

Задание 4

Найти \(y(1)\), если \(y = (2x^2 - 4x + 2)^7\).

Шаг 1: Подставить \(x = 1\) в выражение для \(y\)

\(y(1) = (2(1)^2 - 4(1) + 2)^7\)

Шаг 2: Упростить выражение внутри скобок

\(y(1) = (2 - 4 + 2)^7\)

\(y(1) = (0)^7\)

Шаг 3: Вычислить окончательный результат

\(y(1) = 0\)

Ответ: 0

Задание 5

Напишите уравнение касательной к кривой \(y = 2x^2 - 5x + 3.5\), которая параллельна прямой \(y = -3x + 1\).

Шаг 1: Найти производную функции \(y = 2x^2 - 5x + 3.5\)

Производная \(y'\) представляет собой угловой коэффициент касательной к кривой в любой точке \(x\).

\(y' = \frac{d}{dx}(2x^2 - 5x + 3.5) = 4x - 5\)

Шаг 2: Найти угловой коэффициент прямой \(y = -3x + 1\)

Угловой коэффициент этой прямой равен -3.

Шаг 3: Приравнять производную к угловому коэффициенту прямой и найти \(x\)

Так как касательная должна быть параллельна данной прямой, их угловые коэффициенты должны быть равны.

\(4x - 5 = -3\)

\(4x = 2\)

\(x = \frac{1}{2}\)

Шаг 4: Найти значение \(y\) в точке \(x = \frac{1}{2}\)

\(y(\frac{1}{2}) = 2(\frac{1}{2})^2 - 5(\frac{1}{2}) + 3.5 = 2(\frac{1}{4}) - \frac{5}{2} + 3.5 = \frac{1}{2} - 2.5 + 3.5 = 1.5\)

Таким образом, точка касания имеет координаты \((\frac{1}{2}, 1.5)\).

Шаг 5: Написать уравнение касательной

Уравнение касательной имеет вид \(y = kx + b\), где \(k\) - угловой коэффициент, а \(b\) - свободный член. Мы знаем, что \(k = -3\) (так как касательная параллельна прямой \(y = -3x + 1\)).

Подставим координаты точки касания \((\frac{1}{2}, 1.5)\) в уравнение касательной:

\(1.5 = -3(\frac{1}{2}) + b\)

\(1.5 = -1.5 + b\)

\(b = 3\)

Таким образом, уравнение касательной: \(y = -3x + 3\)

Ответ: \(y = -3x + 3\)

Задание 6

Найдите наибольшее и наименьшее значения функции \(y = \frac{4x}{x^2 + 1}\) на промежутке \([-5; \frac{1}{5}]\).

Шаг 1: Найти производную функции \(y = \frac{4x}{x^2 + 1}\)

Используем правило дифференцирования частного: \((\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}\)

\(y' = \frac{4(x^2 + 1) - 4x(2x)}{(x^2 + 1)^2} = \frac{4x^2 + 4 - 8x^2}{(x^2 + 1)^2} = \frac{4 - 4x^2}{(x^2 + 1)^2} = \frac{4(1 - x^2)}{(x^2 + 1)^2}\)

Шаг 2: Найти критические точки (где \(y' = 0\) или не существует)

\(y' = 0\) при \(1 - x^2 = 0\), то есть \(x^2 = 1\), следовательно, \(x = \pm 1\).

Оба значения \(x = 1\) и \(x = -1\) принадлежат заданному промежутку \([-5; \frac{1}{5}]\).

Шаг 3: Вычислить значения функции в критических точках и на концах промежутка

• \(y(-5) = \frac{4(-5)}{(-5)^2 + 1} = \frac{-20}{26} = -\frac{10}{13}\)
• \(y(-1) = \frac{4(-1)}{(-1)^2 + 1} = \frac{-4}{2} = -2\)
• \(y(1) = \frac{4(1)}{(1)^2 + 1} = \frac{4}{2} = 2\)
• \(y(\frac{1}{5}) = \frac{4(\frac{1}{5})}{(\frac{1}{5})^2 + 1} = \frac{\frac{4}{5}}{\frac{1}{25} + 1} = \frac{\frac{4}{5}}{\frac{26}{25}} = \frac{4}{5} \cdot \frac{25}{26} = \frac{100}{130} = \frac{10}{13}\)

Шаг 4: Определить наибольшее и наименьшее значения

Сравниваем полученные значения:

• \(y(-5) = -\frac{10}{13} \approx -0.769\)
• \(y(-1) = -2\)
• \(y(1) = 2\)
• \(y(\frac{1}{5}) = \frac{10}{13} \approx 0.769\)

Наибольшее значение: \(2\) (при \(x = 1\))
Наименьшее значение: \(-2\) (при \(x = -1\))

Ответ: Наибольшее значение: 2, наименьшее значение: -2

Судя по фото, у вас есть три задания: 4, 5 и 6. Я решу их по порядку.

Задание 4

Найти \(y(1)\), если \(y = (2x^3 - 4x + 2)^4\).

Шаг 1: Подставить \(x = 1\) в выражение для \(y\)

\(y(1) = (2(1)^3 - 4(1) + 2)^4\)

Шаг 2: Упростить выражение внутри скобок

\(y(1) = (2 - 4 + 2)^4\)

\(y(1) = (0)^4\)

Шаг 3: Вычислить окончательный результат

\(y(1) = 0\)

Ответ: 0