Ο κύκλος δημιουργεί δύο βασικά είδη γωνιών: την επίκεντρη — με κορυφή το κέντρο του κύκλου, και την εγγεγραμμένη — με κορυφή πάνω στον ίδιο τον κύκλο. Η σχέση τους είναι απλή: η επίκεντρη γωνία ισούται με το τόξο στο οποίο βαίνει, ενώ η εγγεγραμμένη με το μισό του. Σε αυτή τη σελίδα θα βρείτε ορισμούς, το θεώρημα της εγγεγραμμένης γωνίας με όλα τα πορίσματά του, επεξηγηματικά σχήματα, λυμένα παραδείγματα και έναν διαδραστικό προσομοιωτή για να ελέγξετε τις γνώσεις σας.
Είδη γωνιών στον κύκλο: επίκεντρη και εγγεγραμμένη
Αν φέρουμε δύο τμήματα από ένα σημείο στον κύκλο, σχηματίζεται μια γωνία. Ανάλογα με το πού βρίσκεται η κορυφή της, διακρίνουμε δύο βασικά είδη γωνιών στον κύκλο:
- Επίκεντρη γωνία — γωνία με κορυφή το κέντρο του κύκλου \(O\). Οι πλευρές της είναι ακτίνες.
- Εγγεγραμμένη γωνία — γωνία της οποίας η κορυφή βρίσκεται πάνω στον κύκλο και οι πλευρές της τέμνουν τον κύκλο (δηλαδή είναι χορδές).
Κάθε μία από αυτές τις γωνίες βαίνει σε ένα τόξο — το τμήμα του κύκλου που βρίσκεται στο εσωτερικό της γωνίας. Το τόξο είναι αυτό που συνδέει την επίκεντρη με την εγγεγραμμένη γωνία: και οι δύο εκφράζονται μέσω του μέτρου του τόξου.
Αν η κορυφή της γωνίας βρίσκεται στο εσωτερικό του κύκλου (αλλά όχι στο κέντρο) ή στο εξωτερικό του, τότε δεν πρόκειται για εγγεγραμμένη ή επίκεντρη γωνία: για τέτοιες γωνίες υπάρχουν άλλοι τύποι, για τους οποίους θα μιλήσουμε στο τέλος της σελίδας.
∠AOC = τόξο AC = 120°
∠ABC = ½ τόξου AC = 60°
Θεώρημα εγγεγραμμένης γωνίας και μέτρο της
Η επίκεντρη γωνία ισούται με το τόξο στο οποίο βαίνει — έτσι ορίζεται το μέτρο του τόξου σε μοίρες. Αν \(\angle AOC = 120°\), τότε και το τόξο \(AC\) είναι \(120°\).
Θεώρημα εγγεγραμμένης γωνίας: η εγγεγραμμένη γωνία ισούται με το μισό του τόξου στο οποίο βαίνει:
Από εδώ προκύπτει η βασική σχέση μεταξύ εγγεγραμμένων και επίκεντρων γωνιών: η εγγεγραμμένη γωνία είναι το μισό της επίκεντρης που βαίνει στο ίδιο τόξο:
Το μέτρο της εγγεγραμμένης γωνίας δεν εξαρτάται από το πού ακριβώς πάνω στον κύκλο βρίσκεται η κορυφή — σημασία έχει μόνο το τόξο στο οποίο βαίνει. Γι' αυτό το παρακάτω σχήμα αξίζει να το θυμάστε ως το «βασικό σχήμα» όλης της ενότητας: το πράσινο τόξο και δύο γωνίες που «κοιτάζουν» προς αυτό.
Εγγεγραμμένες και επίκεντρες γωνίες: ιδιότητες και πορίσματα
Από το θεώρημα της εγγεγραμμένης γωνίας προκύπτουν άμεσα ιδιότητες πάνω στις οποίες βασίζονται οι περισσότερες σχολικές ασκήσεις:
- Εγγεγραμμένες γωνίες που βαίνουν στο ίδιο τόξο είναι ίσες. Κάθε μία ισούται με το μισό του ίδιου τόξου — άρα είναι ίσες μεταξύ τους, όπου κι αν βρίσκονται οι κορυφές τους.
- Εγγεγραμμένη γωνία που βαίνει σε διάμετρο είναι ορθή. Η διάμετρος χωρίζει τον κύκλο σε δύο ημικύκλια των \(180°\), επομένως μια τέτοια γωνία ισούται με \(180° : 2 = 90°\). Ισχύει και το αντίστροφο: αν μια εγγεγραμμένη γωνία είναι ορθή, τότε βαίνει σε διάμετρο.
- Μια εγγεγραμμένη γωνία μπορεί να είναι αμβλεία. Αν το τόξο είναι μεγαλύτερο από \(180°\), η γωνία είναι μεγαλύτερη από \(90°\) — ο τύπος «μισό του τόξου» λειτουργεί χωρίς εξαιρέσεις.
Αυτές οι ιδιότητες λειτουργούν και «αντίστροφα»: για παράδειγμα, μέσω της ισότητας γωνιών που βαίνουν στο ίδιο τμήμα, αποδεικνύουμε ότι τέσσερα σημεία βρίσκονται πάνω στον ίδιο κύκλο.
Εγγεγραμμένες και περιγεγραμμένες γωνίες: τετράπλευρο σε κύκλο
Αν και οι τέσσερις κορυφές ενός τετραπλεύρου βρίσκονται πάνω στον κύκλο, αυτό ονομάζεται εγγεγραμμένο (και ο κύκλος περιγεγραμμένος γύρω από αυτό). Οι γωνίες ενός τέτοιου τετραπλεύρου είναι εγγεγραμμένες, επομένως ισχύει το ίδιο θεώρημα.
- Το άθροισμα των απέναντι γωνιών ενός εγγεγραμμένου τετραπλεύρου είναι \(180°\). Οι γωνίες \(A\) και \(C\) βαίνουν σε δύο τόξα που μαζί αποτελούν ολόκληρο τον κύκλο (\(360°\)), επομένως \(\angle A + \angle C = 360° : 2 = 180°\).
- Η εξωτερική γωνία ενός εγγεγραμμένου τετραπλεύρου ισούται με την εσωτερική γωνία της απέναντι κορυφής. Η εξωτερική γωνία συμπληρώνει την εσωτερική της έως τις \(180°\) — ακριβώς όπως και η απέναντι γωνία.
- Η ιδιότητα του αθροίσματος των γωνιών είναι επίσης κριτήριο: αν σε ένα τετράπλευρο το άθροισμα των απέναντι γωνιών είναι \(180°\), τότε μπορεί να εγγραφεί σε κύκλο. Γι' αυτό κάθε ορθογώνιο εγγράφεται σε κύκλο, ενώ ένας ρόμβος (εκτός του τετραγώνου) όχι.
Δίπλα στις εγγεγραμμένες γωνίες, στις ασκήσεις συναντάμε και περιγεγραμμένες γωνίες — γωνίες μεταξύ δύο εφαπτομένων που φέρονται από ένα σημείο εκτός του κύκλου. Η περιγεγραμμένη γωνία ισούται με το ημιδιαφορά των τόξων που αποκόπτει στον κύκλο.
Παραδείγματα επίλυσης ασκήσεων με εγγεγραμμένες και επίκεντρες γωνίες
Παράδειγμα 1. Εγγεγραμμένη γωνία από τόξο
Άσκηση. Η εγγεγραμμένη γωνία \(ABC\) βαίνει στο τόξο \(AC\), το οποίο είναι \(120°\). Βρείτε τη \(\angle ABC\).
Βήμα 1. Θυμόμαστε το θεώρημα: η εγγεγραμμένη γωνία ισούται με το μισό του τόξου στο οποίο βαίνει.
Βήμα 2. Αντικαθιστούμε: \(\angle ABC = \frac{1}{2} \cdot 120° = 60°\).
Απάντηση: \(60°\).
Παράδειγμα 2. Επίκεντρη γωνία από εγγεγραμμένη
Άσκηση. Η εγγεγραμμένη γωνία \(ABC\) είναι \(40°\). Βρείτε την επίκεντρη γωνία \(AOC\) που βαίνει στο ίδιο τόξο \(AC\).
Βήμα 1. Η επίκεντρη γωνία είναι διπλάσια της εγγεγραμμένης που βαίνει στο ίδιο τόξο: \(\angle AOC = 2 \cdot \angle ABC\).
Βήμα 2. Υπολογίζουμε: \(\angle AOC = 2 \cdot 40° = 80°\). Παράλληλα βρήκαμε το τόξο: \(AC = 80°\).
Απάντηση: \(80°\).
Παράδειγμα 3. Γωνία που βαίνει σε διάμετρο
Άσκηση. \(AC\) είναι διάμετρος του κύκλου, το σημείο \(B\) βρίσκεται πάνω στον κύκλο, \(\angle BAC = 35°\). Βρείτε τη \(\angle BCA\).
Βήμα 1. Η γωνία \(ABC\) βαίνει στη διάμετρο \(AC\), άρα \(\angle ABC = 90°\) — το τρίγωνο \(ABC\) είναι ορθογώνιο.
Βήμα 2. Το άθροισμα των γωνιών του τριγώνου είναι \(180°\): \(\angle BCA = 180° - 90° - 35° = 55°\).
Απάντηση: \(55°\).
Παράδειγμα 4. Εγγεγραμμένο τετράπλευρο
Άσκηση. Το τετράπλευρο \(ABCD\) είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο, \(\angle A = 70°\), \(\angle B = 80°\). Βρείτε τις γωνίες \(C\) και \(D\).
Βήμα 1. Το άθροισμα των απέναντι γωνιών ενός εγγεγραμμένου τετραπλεύρου είναι \(180°\): \(\angle C = 180° - \angle A = 180° - 70° = 110°\).
Βήμα 2. Ομοίως \(\angle D = 180° - \angle B = 180° - 80° = 100°\).
Έλεγχος. \(70° + 80° + 110° + 100° = 360°\) — το άθροισμα των γωνιών του τετραπλεύρου επαληθεύεται.
Απάντηση: \(\angle C = 110°\), \(\angle D = 100°\).
Συχνά λάθη στις ασκήσεις με γωνίες κύκλου
-
Σύγχυση εγγεγραμμένης με επίκεντρη γωνία: στη γωνία με κορυφή το κέντρο παίρνουν το μισό του τόξου (ή το αντίθετο).
Πρώτα κοιτάξτε την κορυφή. Κορυφή στο κέντρο \(O\) — επίκεντρη γωνία, ισούται με ολόκληρο το τόξο. Κορυφή στον κύκλο — εγγεγραμμένη, ισούται με το μισό του τόξου.
-
Λάθος τόξο: για την εγγεγραμμένη γωνία θεωρούν το τόξο στο οποίο βρίσκεται η κορυφή της.
Η εγγεγραμμένη γωνία βαίνει στο τόξο που βρίσκεται «μέσα» στη γωνία — η κορυφή βρίσκεται πάντα στο άλλο τόξο. Στη σημείωση \(\angle ABC\) η γωνία βαίνει στο τόξο \(AC\) που δεν περιέχει το σημείο \(B\).
-
Πολλαπλασιασμός και διαίρεση με το 2 «προς την λάθος κατεύθυνση»: από την εγγεγραμμένη στην επίκεντρη διαιρούν αντί να πολλαπλασιάζουν.
Θυμηθείτε: η εγγεγραμμένη είναι η «μικρή» (μισό τόξο), η επίκεντρη είναι η «μεγάλη» (ολόκληρο τόξο). Από εγγεγραμμένη σε επίκεντρη — πολλαπλασιάζουμε επί 2, από επίκεντρη σε εγγεγραμμένη — διαιρούμε.
-
Θεωρούν εγγεγραμμένη οποιαδήποτε γωνία της οποίας οι πλευρές τέμνουν τον κύκλο — για παράδειγμα, τη γωνία μεταξύ χορδών που τέμνονται στο εσωτερικό του κύκλου.
Στην εγγεγραμμένη γωνία η κορυφή πρέπει να βρίσκεται πάνω στον ίδιο τον κύκλο. Η γωνία με κορυφή στο εσωτερικό του κύκλου ισούται με το ημιάθροισμα των τόξων που αποκόπτει, ενώ με κορυφή εκτός κύκλου — με τη ημιδιαφορά: αυτοί είναι άλλοι τύποι.
-
Στο εγγεγραμμένο τετράπλευρο εξισώνουν με $180°$ το άθροισμα των παρακείμενων γωνιών αντί των απέναντι.
Η ιδιότητα ισχύει μόνο για τις απέναντι κορυφές: \(\angle A + \angle C = 180°\) και \(\angle B + \angle D = 180°\). Οι παρακείμενες γωνίες ενός εγγεγραμμένου τετραπλεύρου μπορεί να είναι οποιεσδήποτε.
Ερωτήσεις και απαντήσεις
Πόσο ισούται η εγγεγραμμένη γωνία;
Η εγγεγραμμένη γωνία ισούται με το μισό του τόξου στο οποίο βαίνει. Για παράδειγμα, αν το τόξο είναι 120°, η εγγεγραμμένη γωνία είναι 60°. Αυτό είναι το θεώρημα της εγγεγραμμένης γωνίας — ο βασικός τύπος της ενότητας.
Πώς συνδέονται η εγγεγραμμένη και η επίκεντρη γωνία που βαίνουν στο ίδιο τόξο;
Η επίκεντρη γωνία είναι διπλάσια της εγγεγραμμένης: ∠AOC = 2·∠ABC. Η επίκεντρη γωνία ισούται με το ίδιο το τόξο, ενώ η εγγεγραμμένη με το μισό του.
Γιατί η εγγεγραμμένη γωνία που βαίνει σε διάμετρο είναι 90°;
Η διάμετρος ορίζει ένα ημικύκλιο — τόξο 180°. Η εγγεγραμμένη γωνία ισούται με το μισό του τόξου: 180° : 2 = 90°. Επομένως, κάθε τρίγωνο που έχει τη μία πλευρά του διάμετρο του περιγεγραμμένου κύκλου, είναι ορθογώνιο.
Μπορεί μια εγγεγραμμένη γωνία να είναι αμβλεία;
Ναι. Αν το τόξο στο οποίο βαίνει η γωνία είναι μεγαλύτερο από 180°, η γωνία είναι αμβλεία: για παράδειγμα, σε τόξο 210° αντιστοιχεί εγγεγραμμένη γωνία 105°. Ωστόσο, η εγγεγραμμένη γωνία είναι πάντα μικρότερη από 180°.
Τι είναι η περιγεγραμμένη γωνία και πώς διαφέρει από την εγγεγραμμένη;
Η περιγεγραμμένη γωνία σχηματίζεται από δύο εφαπτόμενες που φέρονται στον κύκλο από ένα εξωτερικό σημείο. Η κορυφή της βρίσκεται εκτός κύκλου και ισούται με το ημιδιαφορά των τόξων που αποκόπτει. Στην εγγεγραμμένη γωνία η κορυφή βρίσκεται πάνω στον κύκλο και ισούται με το μισό ενός τόξου.
Ποια άλλα είδη γωνιών υπάρχουν στον κύκλο;
Εκτός από την επίκεντρη και την εγγεγραμμένη, εξετάζουμε τη γωνία μεταξύ χορδών (κορυφή στο εσωτερικό του κύκλου — ημιάθροισμα τόξων), τη γωνία μεταξύ τεμνουσών από εξωτερικό σημείο (ημιδιαφορά τόξων) και τη γωνία μεταξύ εφαπτομένης και χορδής (μισό του τόξου που περικλείεται). Όλες εκφράζονται μέσω των τόξων του κύκλου.
