Ημιτονοσυνάρτηση: τύπος, απόδειξη και ασκήσεις

Η ημιτονοσυνάρτηση λειτουργεί σε οποιοδήποτε τρίγωνο — δεν χρειάζεται ορθή γωνία. Συνδέει τρεις πλευρές και μία γωνία, γι' αυτό και με αυτήν βρίσκουν μια πλευρά, αν είναι γνωστές οι δύο άλλες πλευρές και η γωνία μεταξύ τους.

Διατύπωση. Το τετράγωνο μιας πλευράς τριγώνου ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο άλλων πλευρών μείον το διπλάσιο γινόμενο αυτών των πλευρών επί το συνημίτονο της γωνίας μεταξύ τους.

Εδώ \(a\), \(b\), \(c\) είναι οι πλευρές του τριγώνου, και \(C\) είναι η γωνία μεταξύ των πλευρών \(a\) και \(b\); η πλευρά \(c\) βρίσκεται απέναντι από αυτή τη γωνία. Τα γράμματα μπορούν να είναι οποιαδήποτε — ο τύπος είναι συμμετρικός, γι' αυτό έχει τρεις ισοδύναμες μορφές:

Ο κύριος κανόνας αντικατάστασης: παίρνουμε τη γωνία που περικλείεται μεταξύ των δύο πλευρών του γινομένου, και βρίσκουμε την πλευρά που βρίσκεται απέναντί της. Αν πάρουμε μια «γειτονική» γωνία, όλοι οι αριθμοί θα είναι από την εκφώνηση, και η απάντηση — λανθασμένη.

Αντικαθιστούμε στον τύπο μια ορθή γωνία, δηλαδή \(C = 90°\). Το συνημίτονο της ορθής γωνίας είναι μηδέν, επομένως ο τρίτος όρος μηδενίζεται εξ ολοκλήρου:

Προέκυψε ακριβώς το Πυθαγόρειο θεώρημα, γνωστό από την 8η τάξη. Γι' αυτό η ημιτονοσυνάρτηση ονομάζεται γενίκευσή του: το Πυθαγόρειο είναι «ειδική περίπτωση για 90°», ενώ η ημιτονοσυνάρτηση λειτουργεί για όλες τις γωνίες ταυτόχρονα.

Ο όρος \(-2ab\cos C\) είναι βολικό να νοείται ως διόρθωση για τη μη ορθότητα της γωνίας:

• η γωνία είναι οξεία, \(\cos C > 0\) — η διόρθωση αφαιρείται, η πλευρά \(c\) βγαίνει μικρότερη, από ό,τι θα έδινε το Πυθαγόρειο;
• η γωνία είναι ορθή, \(\cos C = 0\) — δεν υπάρχει διόρθωση, μένει \(c^2 = a^2 + b^2\);
• η γωνία είναι αμβλεία, \(\cos C < 0\) — η διόρθωση προστίθεται, η πλευρά \(c\) βγαίνει μεγαλύτερη.

Η συντομότερη σχολική απόδειξη είναι η συντεταγμένη. Τοποθετούμε την κορυφή \(C\) στην αρχή των αξόνων, και την πλευρά \(b = CA\) κατά μήκος του άξονα x. Τότε οι συντεταγμένες των κορυφών είναι οι εξής:

• \(C(0;\ 0)\) — αρχή των αξόνων;
• \(A(b;\ 0)\) — σημείο στον άξονα x σε απόσταση \(b\) από την αρχή;
• \(B(a\cos C;\ a\sin C)\) — κορυφή σε απόσταση \(a\) από την αρχή υπό γωνία \(C\) προς τον άξονα x.

Η πλευρά \(c\) είναι το μήκος του ευθύγραμμου τμήματος \(AB\). Το υπολογίζουμε με τον τύπο της απόστασης μεταξύ δύο σημείων:

Αναπτύσσουμε τις παρενθέσεις:

Ομαδοποιούμε τους όρους με \(a^2\) και εφαρμόζουμε τη βασική τριγωνομετρική ταυτότητα \(\sin^2 C + \cos^2 C = 1\):

Όπερ έδει δείξαι. Σημειώστε: πουθενά δεν απαιτήθηκε η γωνία \(C\) να είναι οξεία. Αν είναι αμβλεία, το συνημίτονο είναι αρνητικό, η συντεταγμένη \(a\cos C\) πηγαίνει αριστερά από τον άξονα y, αλλά όλες οι πράξεις παραμένουν οι ίδιες — γι' αυτό ο τύπος ισχύει για οποιοδήποτε τρίγωνο.

Από την ημιτονοσυνάρτηση εκφράζουμε το ίδιο το συνημίτονο — αυτή είναι η κύρια συνέπειά της. Με αυτήν βρίσκουμε τη γωνία, όταν είναι γνωστές και οι τρεις πλευρές:

Στον αριθμητή — το άθροισμα των τετραγώνων των δύο πλευρών, που γειτνιάζουν με τη γωνία, μείον το τετράγωνο της πλευράς που βρίσκεται απέναντί της. Στον παρονομαστή — το διπλάσιο γινόμενο των γειτονικών πλευρών. Για τις άλλες γωνίες οι τύποι είναι οι ίδιοι:

Σειρά επίλυσης:

1. επιλέγουμε την προς εύρεση γωνία και προσδιορίζουμε ποια πλευρά βρίσκεται απέναντί της — το τετράγωνό της μπαίνει στον αριθμητή με αρνητικό πρόσημο;
2. υπολογίζουμε το κλάσμα (ο παρονομαστής είναι πάντα θετικός, το πρόσημο δίνεται μόνο από τον αριθμητή);
3. με βάση τον πίνακα τιμών ή μέσω του τόξου συνημιτόνου βρίσκουμε την ίδια τη γωνία.

Χρήσιμη συμβουλή: ξεκινήστε με τη μεγαλύτερη πλευρά. Απέναντί της βρίσκεται η μεγαλύτερη γωνία, και μόνο αυτή μπορεί να είναι ορθή ή αμβλεία — οι άλλες δύο γωνίες σε ένα τρίγωνο είναι πάντα οξείες.

Στις σχολικές ασκήσεις οι γωνίες είναι σχεδόν πάντα «πίνακα»: 30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 135°, 150°. Για τις οξείες γωνίες το συνημίτονο είναι θετικό, για την ορθή είναι μηδέν, και για τις αμβλείες — αρνητικό. Οι τιμές για τις αμβλείες γωνίες λαμβάνονται από τις τιμές για τις οξείες με τον κανόνα αναγωγής \(\cos(180° - \alpha) = -\cos\alpha\): για παράδειγμα, \(\cos 120° = -\cos 60° = -0{,}5\).

Τι σημαίνει αυτό στην πράξη: για αμβλεία γωνία ο όρος \(-2ab\cos C\) μετατρέπεται σε συν — μείον επί μείον. Για τη γωνία \(120°\) ο τύπος φαίνεται έτσι:

Εδώ χάνουν βαθμούς οι περισσότεροι: αντικαθιστούν \(0{,}5\) αντί για \(-0{,}5\) και βρίσκουν μια πλευρά μικρότερη από τις δύο δοθείσες. Αυτό είναι εγγενώς αδύνατο — απέναντι από αμβλεία γωνία βρίσκεται η μεγαλύτερη πλευρά του τριγώνου.

Η ημιτονοσυνάρτηση επιτρέπει να μάθετε το είδος του τριγώνου, χωρίς να μετράτε τις γωνίες με μοιρογνωμόνιο. Το πρόσημο του κλάσματος \(\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}\) εξαρτάται μόνο από τον αριθμητή: ο παρονομαστής \(2ab\) είναι πάντα θετικός. Άρα, αρκεί να συγκρίνετε το τετράγωνο της μεγαλύτερης πλευράς με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο άλλων.

Έστω \(c\) η μεγαλύτερη πλευρά, τότε απέναντί της βρίσκεται η μεγαλύτερη γωνία \(C\):

• \(a^2 + b^2 > c^2\) → \(\cos C > 0\) → η γωνία \(C\) είναι οξεία. Οι άλλες γωνίες είναι μικρότερες από αυτήν, άρα και οι τρεις γωνίες είναι οξείες — το τρίγωνο είναι οξυγώνιο;
• \(a^2 + b^2 = c^2\) → \(\cos C = 0\) → \(C = 90°\) — το τρίγωνο είναι ορθογώνιο (αυτό είναι το αντίστροφο του Πυθαγορείου θεωρήματος);
• \(a^2 + b^2 < c^2\) → \(\cos C < 0\) → η γωνία \(C\) είναι αμβλεία — το τρίγωνο είναι αμβλυγώνιο.

Δεν χρειάζεται να ελέγξετε τις άλλες γωνίες: μια ορθή ή αμβλεία γωνία σε ένα τρίγωνο υπάρχει μόνο μία. Και μην ξεχνάτε την τριγωνική ανισότητα — αν η μεγαλύτερη πλευρά δεν είναι μικρότερη από το άθροισμα των δύο άλλων, τρίγωνο με τέτοιες πλευρές δεν υπάρχει καν.

Και τα δύο θεωρήματα λύνουν ένα πρόβλημα — βρίσκουν άγνωστες πλευρές και γωνίες τριγώνου, — αλλά ενεργοποιούνται από διαφορετικά σύνολα δεδομένων. Το θεώρημα ημιτόνων συνδέει μια πλευρά και την απέναντί της γωνία:

Από εδώ και ο κανόνας επιλογής: αν στην εκφώνηση υπάρχει ήδη ένα ζεύγος «πλευρά και η απέναντί της γωνία» — λειτουργεί το θεώρημα ημιτόνων· αν τέτοιο ζεύγος δεν υπάρχει — ξεκινάμε με την ημιτονοσυνάρτηση. Η υπενθύμιση για τα τέσσερα σχολικά σύνολα δεδομένων — στον πίνακα.

Συχνά η άσκηση λύνεται σε δύο βήματα: πρώτα η ημιτονοσυνάρτηση δίνει την τρίτη πλευρά, και μετά το θεώρημα ημιτόνων βρίσκει γρήγορα τις υπόλοιπες γωνίες.

Στις εξετάσεις OGE στα μαθηματικά, η ημιτονοσυνάρτηση εμφανίζεται σε γεωμετρικές ασκήσεις — τόσο στο πρώτο μέρος, όσο και σε ασκήσεις με αναλυτική απάντηση. Τυπικά σενάρια είναι τα εξής:

• Εύρεση πλευράς με δύο πλευρές και τη γωνία μεταξύ τους — άμεση εφαρμογή του τύπου, συχνότερα με γωνίες 60° ή 120°.
• Εύρεση γωνίας ή του συνημιτόνου της με τρεις πλευρές — συνέπεια \(\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}\). Αν στην άσκηση γράφει «βρείτε το \(\cos\angle A\)», δεν χρειάζεται να πάρετε τόξο συνημιτόνου: η απάντηση είναι αυτό το κλάσμα, αυτό και γράφετε.
• Διαγώνιοι παραλληλογράμμου. Μια διαγώνιος χωρίζει ένα τρίγωνο από δύο πλευρές και τη γωνία μεταξύ τους. Οι γειτονικές γωνίες του παραλληλογράμμου δίνουν άθροισμα 180°, γι' αυτό και τα συνημίτονά τους είναι αντίθετα: απέναντι από την οξεία γωνία βρίσκεται η μικρότερη διαγώνιος, απέναντι από την αμβλεία — η μεγαλύτερη.
• Είδος τριγώνου με τρεις αριθμούς — σύγκριση \(a^2 + b^2\) με \(c^2\).
• Διάμεσος τριγώνου. Ο τύπος \(m_c = \frac{1}{2}\sqrt{2a^2 + 2b^2 - c^2}\) προκύπτει από διπλή εφαρμογή της ημιτονοσυνάρτησης σε δύο γειτονικές γωνίες στη βάση.

Συμβουλή στις εξετάσεις: πριν υπολογίσετε, σημειώστε στο σχήμα τη γωνία που «περικλείεται» μεταξύ των γνωστών πλευρών. Αν δεν υπάρχει τέτοια γωνία — η ημιτονοσυνάρτηση δεν είναι ακόμα εφαρμόσιμη, χρειάζεται να βρείτε άλλη διαδρομή.