Mathe Aufgaben 9 e-i Bearbeitung und Erklärung

Okay, ich helfe dir gerne bei diesen Aufgaben. Wir bearbeiten die Aufgaben 9 (e-i) zur Umwandlung in die Scheitelpunktform.

Aufgabe 9e

Die gegebene Funktion ist \(f(x) = 2x^2 + 8x + 3\).

1. Ausklammern des Faktors vor \(x^2\):
   \(f(x) = 2(x^2 + 4x) + 3\)
2. Quadratische Ergänzung:
   Wir betrachten den Term in der Klammer: \(x^2 + 4x\). Um eine vollständige quadratische Ergänzung zu erhalten, benötigen wir \((4/2)^2 = 2^2 = 4\).
   Also: \(f(x) = 2(x^2 + 4x + 4 - 4) + 3\)
3. Umformen:
   \(f(x) = 2((x + 2)^2 - 4) + 3\)
4. Ausmultiplizieren:
   \(f(x) = 2(x + 2)^2 - 8 + 3\)
5. Vereinfachen:
   \(f(x) = 2(x + 2)^2 - 5\)

Der Scheitelpunkt ist \(S(-2, -5)\).

Aufgabe 9f

Die gegebene Funktion ist \(f(x) = -10x^2 - 70x + 40\).

1. Ausklammern des Faktors vor \(x^2\):
   \(f(x) = -10(x^2 + 7x) + 40\)
2. Quadratische Ergänzung:
   Wir betrachten den Term in der Klammer: \(x^2 + 7x\). Um eine vollständige quadratische Ergänzung zu erhalten, benötigen wir \((7/2)^2 = \frac{49}{4} = 12.25\).
   Also: \(f(x) = -10(x^2 + 7x + 12.25 - 12.25) + 40\)
3. Umformen:
   \(f(x) = -10((x + 3.5)^2 - 12.25) + 40\)
4. Ausmultiplizieren:
   \(f(x) = -10(x + 3.5)^2 + 122.5 + 40\)
5. Vereinfachen:
   \(f(x) = -10(x + 3.5)^2 + 162.5\)

Der Scheitelpunkt ist \(S(-3.5, 162.5)\).

Aufgabe 9g

Die gegebene Funktion ist \(f(x) = -x^2 - 4x - 5\).

1. Ausklammern des Faktors vor \(x^2\):
   \(f(x) = -(x^2 + 4x) - 5\)
2. Quadratische Ergänzung:
   Wir betrachten den Term in der Klammer: \(x^2 + 4x\). Um eine vollständige quadratische Ergänzung zu erhalten, benötigen wir \((4/2)^2 = 2^2 = 4\).
   Also: \(f(x) = -(x^2 + 4x + 4 - 4) - 5\)
3. Umformen:
   \(f(x) = -((x + 2)^2 - 4) - 5\)
4. Ausmultiplizieren:
   \(f(x) = -(x + 2)^2 + 4 - 5\)
5. Vereinfachen:
   \(f(x) = -(x + 2)^2 - 1\)

Der Scheitelpunkt ist \(S(-2, -1)\).

Entschuldigung! Du hast recht. Ich habe die Aufgaben 9h und 9i übersehen. Hier sind die Lösungen:

Aufgabe 9h

Die gegebene Funktion ist \(f(x) = -3x^2 + 12x + 9\).

1. Ausklammern des Faktors vor \(x^2\):
   \(f(x) = -3(x^2 - 4x) + 9\)
2. Quadratische Ergänzung:
   Wir betrachten den Term in der Klammer: \(x^2 - 4x\). Um eine vollständige quadratische Ergänzung zu erhalten, benötigen wir \((-4/2)^2 = (-2)^2 = 4\).
   Also: \(f(x) = -3(x^2 - 4x + 4 - 4) + 9\)
3. Umformen:
   \(f(x) = -3((x - 2)^2 - 4) + 9\)
4. Ausmultiplizieren:
   \(f(x) = -3(x - 2)^2 + 12 + 9\)
5. Vereinfachen:
   \(f(x) = -3(x - 2)^2 + 21\)

Der Scheitelpunkt ist \(S(2, 21)\).

Aufgabe 9i

Die gegebene Funktion ist \(f(x) = -4x^2 - 36x + 32\).

1. Ausklammern des Faktors vor \(x^2\):
   \(f(x) = -4(x^2 + 9x) + 32\)
2. Quadratische Ergänzung:
   Wir betrachten den Term in der Klammer: \(x^2 + 9x\). Um eine vollständige quadratische Ergänzung zu erhalten, benötigen wir \((9/2)^2 = \frac{81}{4} = 20.25\).
   Also: \(f(x) = -4(x^2 + 9x + 20.25 - 20.25) + 32\)
3. Umformen:
   \(f(x) = -4((x + 4.5)^2 - 20.25) + 32\)
4. Ausmultiplizieren:
   \(f(x) = -4(x + 4.5)^2 + 81 + 32\)
5. Vereinfachen:
   \(f(x) = -4(x + 4.5)^2 + 113\)

Der Scheitelpunkt ist \(S(-4.5, 113)\).