Berechnung der Radumdrehungen auf dem Schulweg

Basierend auf dem Bild und dem Text handelt es sich um eine einzige Aufgabe.

Aufgabe

Problemstellung:

Tarek und Naomi laufen auf einer Laufbahn. Die Laufbahn hat die Maße wie im Bild dargestellt. Naomi läuft ganz innen und Tarek ganz außen. Die vier Bahnen sind jeweils 0,6 m breit.

Gegeben:
* Breite einer Bahn: \(0,6 \, m\)
* Anzahl der Bahnen: \(4\)
* Innere Breite der Laufbahn (wahrscheinlich der Radius der inneren Kurve): \(36,50 \, m\)
* Länge des geraden Teils: \(84,40 \, m\)

Gesucht:
Um wie viele Meter muss Tarek mehr laufen als Naomi für eine Runde?

Lösungsansatz:

1. Bestimmen des Laufwegs von Naomi:

   • Naomi läuft auf der innersten Bahn. Die Maße der innersten Bahn sind direkt gegeben oder können aus den Abbildungen abgeleitet werden.
   • Die Laufstrecke auf einer Bahn besteht aus zwei geraden Abschnitten und zwei Kurven.
   • Der Umfang einer Kurve kann als Umfang eines Halbkreises berechnet werden. Der Radius der innersten Kurve ist gegeben als \(36,50 \, m\).
   • Der Umfang der inneren Kurve ist \(U_{Kurve} = \pi \times d = \pi \times (2 \times r) = 2 \times \pi \times r\).
   • Für Naomi: \(r_{Naomi} = 36,50 \, m\).
   • Die Gesamtlänge der inneren Laufbahn ist \(L_{Naomi} = 2 \times (\text{Länge des geraden Teils}) + 2 \times (\text{Umfang einer inneren Kurve})\).
   • \(L_{Naomi} = 2 \times 84,40 \, m + 2 \times (\pi \times 36,50 \, m)\).

2. Bestimmen des Laufwegs von Tarek:

   • Tarek läuft auf der äußersten Bahn. Da es 4 Bahnen gibt und jede 0,6 m breit ist, muss der Radius für Tareks Laufbahn angepasst werden.
   • Tarek ist 4 Bahnen * 0,6 m/Bahn = 2,4 m weiter außen als Naomi.
   • Da Naomi die innerste Bahn läuft, ist ihr Radius \(36,50 \, m\). Tarek läuft auf der 4. Bahn von innen. Das bedeutet, er ist 3 Bahnen vom innersten Rand entfernt. Der Radius von Tarek ist also \(r_{Tarek} = 36,50 \, m + 3 \times 0,6 \, m = 36,50 \, m + 1,8 \, m = 38,30 \, m\).

   • Korrektur: Oft wird die Breite als Abstand zwischen den Mittelpunkten der Bahnen oder als Abstand der Innenkante zur Außenkante einer Bahn betrachtet. Bei Laufbahnen wird typischerweise die Länge der inneren Kante einer Bahn für die Berechnung herangezogen. Wenn Naomi ganz innen läuft, ist ihr Radius \(36,50 \, m\). Tarek läuft ganz außen. Es gibt 4 Bahnen, die jeweils 0,6 m breit sind. Das bedeutet, der Abstand vom innersten Rand zur äußersten Kante der 4. Bahn ist \(4 \times 0,6 \, m = 2,4 \, m\). Wenn die \(36,50 \, m\) der Radius der innersten Kante sind, dann ist der Radius der äußersten Kante \(36,50 \, m + 2,4 \, m = 38,90 \, m\). Die Laufstrecke wird aber oft entlang einer Linie in der Mitte der Bahn gemessen. Da hier "ganz innen" und "ganz außen" steht, nehmen wir an, dass Naomi auf der innersten Kante und Tarek auf der äußersten Kante der letzten Bahn läuft. Die Breite der Bahn beeinflusst dann den Radius für die Laufstrecke.

   • Annahme 1: Die \(36,50 \, m\) sind der Radius der innersten Kante der Laufbahn. Naomi läuft auf dieser Kante.

     • Radius für Naomi: \(r_{Naomi} = 36,50 \, m\).
     • Tarek läuft ganz außen. Die Gesamtdicke der Bahnen ist \(4 \times 0,6 \, m = 2,4 \, m\).
     • Radius für Tarek: \(r_{Tarek} = 36,50 \, m + 2,4 \, m = 38,90 \, m\).

   • Annahme 2: Die \(36,50 \, m\) sind der Radius der Mitte der innersten Bahn.

     • Radius für Naomi: \(r_{Naomi} = 36,50 \, m\).
     • Die Breite einer Bahn ist 0,6 m. Der Abstand zwischen den Mittelpunkten zweier benachbarter Bahnen ist 0,6 m.
     • Tarek läuft auf der Mitte der äußersten Bahn. Der Abstand vom Mittelpunkt der innersten Bahn zum Mittelpunkt der äußersten Bahn beträgt \(3 \times 0,6 \, m = 1,8 \, m\).
     • Radius für Tarek: \(r_{Tarek} = 36,50 \, m + 1,8 \, m = 38,30 \, m\).

   Da die Bilder oft vereinfacht sind, und "ganz innen" und "ganz außen" ohne weitere Spezifikation gegeben sind, gehen wir von der häufigeren Interpretation aus, dass die äußere Kante gemeint ist und die \(36,50 \, m\) der Radius der innersten Kante sind.

   • Länge der geraden Teile ist für beide gleich: \(2 \times 84,40 \, m\).
   • Umfang der äußeren Kurve für Tarek: \(U_{Kurve, Tarek} = 2 \times \pi \times r_{Tarek} = 2 \times \pi \times 38,90 \, m\).
   • Gesamtlänge der äußeren Laufbahn: \(L_{Tarek} = 2 \times 84,40 \, m + 2 \times \pi \times 38,90 \, m\).

3. Berechnung der Differenz:

   • Differenz = \(L_{Tarek} - L_{Naomi}\)
   • Differenz = \((2 \times 84,40 \, m + 2 \times \pi \times 38,90 \, m) - (2 \times 84,40 \, m + 2 \times \pi \times 36,50 \, m)\)
   • Die geraden Teilstücke kürzen sich weg:
   • Differenz = \(2 \times \pi \times 38,90 \, m - 2 \times \pi \times 36,50 \, m\)
   • Differenz = \(2 \times \pi \times (38,90 \, m - 36,50 \, m)\)
   • Differenz = \(2 \times \pi \times (2,40 \, m)\)
   • Differenz = \(4,80 \times \pi \, m\)

4. Numerische Berechnung:

   • Verwenden wir \(\pi \approx 3,14159\):
   • Differenz \(\approx 4,80 \, m \times 3,14159 \approx 15,0796 \, m\).

   Wir können die Antwort runden, je nach gewünschter Genauigkeit. Oft werden Laufbahn-Berechnungen mit einem Pi-Wert von etwa 3,14 durchgeführt.

   • Differenz \(\approx 4,80 \times 3,14 = 15,072 \, m\).

Antwort:
Tarek muss ungefähr 15,08 Meter mehr laufen als Naomi.

Das ist die nächste Aufgabe! Hier ist die Lösung:

Aufgabe

Problemstellung:

Evas Schulweg ist \(2,8 \, km\) lang. Wie oft dreht sich das Rad ihres Fahrrads dabei um die eigene Achse, wenn es \(18\) Zoll hat? Der Raddurchmesser beträgt \(18\) Zoll. \(1 \, Zoll = 2,54 \, cm\).

Gegeben:
* Länge des Schulwegs: \(L_{Schulweg} = 2,8 \, km\)
* Raddurchmesser: \(d_{Rad} = 18 \, Zoll\)
* Umrechnungsfaktor: \(1 \, Zoll = 2,54 \, cm\)

Gesucht:
Anzahl der Umdrehungen des Fahrradrads auf dem Schulweg.

Lösungsansatz:

Um die Anzahl der Umdrehungen zu berechnen, müssen wir wissen, wie weit das Rad bei einer Umdrehung rollt. Das ist der Umfang des Rads.

1. Berechnung des Radumfangs:

   • Zuerst wandeln wir den Durchmesser von Zoll in Zentimeter um.
     \(d_{Rad \, cm} = 18 \, Zoll \times 2,54 \, \frac{cm}{Zoll} = 45,72 \, cm\)
   • Der Umfang eines Kreises (des Fahrradrads) berechnet sich mit der Formel \(U = \pi \times d\).
     \(U_{Rad} = \pi \times 45,72 \, cm\)

2. Umrechnung der Schulweglänge in Zentimeter:

   • Der Schulweg ist in Kilometern angegeben. Um ihn mit dem Umfang in Zentimetern vergleichen zu können, müssen wir die Einheiten vereinheitlichen.
   • \(1 \, km = 1000 \, m\)
   • \(1 \, m = 100 \, cm\)
   • Also: \(1 \, km = 1000 \, m \times 100 \, \frac{cm}{m} = 100.000 \, cm\)
   • \(L_{Schulweg \, cm} = 2,8 \, km \times 100.000 \, \frac{cm}{km} = 280.000 \, cm\)

3. Berechnung der Anzahl der Umdrehungen:

   • Die Anzahl der Umdrehungen (\(n\)) erhält man, indem man die gesamte zurückgelegte Strecke durch den Umfang des Rades teilt.
     \(n = \frac{L_{Schulweg \, cm}}{U_{Rad}}\)
     \(n = \frac{280.000 \, cm}{\pi \times 45,72 \, cm}\)

4. Numerische Berechnung:

   • Verwenden wir \(\pi \approx 3,14159\):
     \(U_{Rad} \approx 3,14159 \times 45,72 \, cm \approx 143,675 \, cm\)
   • \(n = \frac{280.000 \, cm}{143,675 \, cm} \approx 1948,81\)

Da die Frage nach der Anzahl der Umdrehungen fragt und oft eine ganze Zahl erwartet wird, und das Rad sich "rund" dreht, runden wir das Ergebnis.

Antwort:
Das Rad ihres Fahrrads dreht sich dabei rund 1949 Mal um die eigene Achse.

Hier ist die Lösung für die nächste Aufgabe:

Aufgabe

Problemstellung:

Wir berechnen, wie oft sich ein Fahrradrad mit einem Durchmesser von \(21\) Zoll bei einer Fahrtstrecke von \(2,8 \, km\) um die eigene Achse dreht. Es gilt: \(1 \, Zoll = 2,54 \, cm\).

Gegeben:
* Länge des Schulwegs: \(L_{Schulweg} = 2,8 \, km\)
* Raddurchmesser: \(d_{Rad} = 21 \, Zoll\)
* Umrechnungsfaktor: \(1 \, Zoll = 2,54 \, cm\)

Gesucht:
Anzahl der Umdrehungen des Fahrradrads auf dem Schulweg.

Lösungsansatz:

Der Prozess ist derselbe wie in der vorherigen Aufgabe, nur der Raddurchmesser ist anders.

1. Berechnung des Radumfangs:

   • Zuerst wandeln wir den Durchmesser von Zoll in Zentimeter um.
     \(d_{Rad \, cm} = 21 \, Zoll \times 2,54 \, \frac{cm}{Zoll} = 53,34 \, cm\)
   • Der Umfang des Rads berechnet sich mit der Formel \(U = \pi \times d\).
     \(U_{Rad} = \pi \times 53,34 \, cm\)

2. Umrechnung der Schulweglänge in Zentimeter:

   • Die Schulweglänge bleibt dieselbe wie in der vorherigen Aufgabe.
   • \(L_{Schulweg \, cm} = 2,8 \, km \times 100.000 \, \frac{cm}{km} = 280.000 \, cm\)

3. Berechnung der Anzahl der Umdrehungen:

   • Die Anzahl der Umdrehungen (\(n\)) ist die zurückgelegte Strecke geteilt durch den Umfang des Rades.
     \(n = \frac{L_{Schulweg \, cm}}{U_{Rad}}\)
     \(n = \frac{280.000 \, cm}{\pi \times 53,34 \, cm}\)

4. Numerische Berechnung:

   • Verwenden wir \(\pi \approx 3,14159\):
     \(U_{Rad} \approx 3,14159 \times 53,34 \, cm \approx 167,579 \, cm\)
   • \(n = \frac{280.000 \, cm}{167,579 \, cm} \approx 1670,84\)

Da die Frage nach der Anzahl der Umdrehungen fragt und das Rad sich "rund" dreht, runden wir das Ergebnis auf die nächste ganze Zahl.

Antwort:
Das Rad ihres Fahrrads dreht sich dabei rund 1671 Mal um die eigene Achse.

Hier sind die Lösungen für die gegebenen Aufgaben. Da es sich um zwei Teile handelt, werde ich sie separat behandeln.

Aufgabe 1: Flächeninhalt-Differenz

Problemstellung:
Gegeben sind ein Kreis mit dem Durchmesser \(d\) und ein Quadrat mit der Seitenlänge \(d\). Wir sollen berechnen, um wie viel Quadratmeter der Flächeninhalt des Quadrates größer ist als der des Kreises, wenn \(d = 10 \, m\).

Gegeben:
* Durchmesser des Kreises: \(d = 10 \, m\)
* Seitenlänge des Quadrats: \(d = 10 \, m\)

Gesucht:
Differenz der Flächeninhalte: \(A_{Quadrat} - A_{Kreis}\)

Lösungsansatz:

1. Flächeninhalt des Quadrats berechnen:

   • Die Formel für den Flächeninhalt eines Quadrats ist \(A_{Quadrat} = Seitenlänge^2\).
   • \(A_{Quadrat} = d^2 = (10 \, m)^2 = 100 \, m^2\).

2. Flächeninhalt des Kreises berechnen:

   • Der Radius des Kreises ist die Hälfte des Durchmessers: \(r = \frac{d}{2} = \frac{10 \, m}{2} = 5 \, m\).
   • Die Formel für den Flächeninhalt eines Kreises ist \(A_{Kreis} = \pi \times r^2\).
   • \(A_{Kreis} = \pi \times (5 \, m)^2 = \pi \times 25 \, m^2 = 25\pi \, m^2\).

3. Differenz berechnen:

   • \(A_{Quadrat} - A_{Kreis} = 100 \, m^2 - 25\pi \, m^2\).
   • Um einen numerischen Wert zu erhalten, verwenden wir \(\pi \approx 3,14159\).
   • \(A_{Kreis} \approx 25 \times 3,14159 \, m^2 \approx 78,53975 \, m^2\).
   • Differenz \(\approx 100 \, m^2 - 78,53975 \, m^2 \approx 21,46025 \, m^2\).

Antwort (Teil 1):
Der Flächeninhalt des Quadrates ist um rund 21,46 \(m^2\) größer als jener des Kreises.
(Hinweis: Der von Ihnen vorgegebene Wert "21, 5" ist eine gute Annäherung)

Aufgabe 2: Prozentuale Flächeninhalt-Differenz

Problemstellung:
Um wie viel Prozent ist der Flächeninhalt des Quadrates größer als jener des Kreises, wenn \(d = 10 \, m\)?

Gegeben:
* Flächeninhalt des Quadrats: \(A_{Quadrat} = 100 \, m^2\)
* Flächeninhalt des Kreises: \(A_{Kreis} \approx 78,54 \, m^2\) (gerundet aus \(25\pi\))

Gesucht:
Prozentuale Steigerung des Flächeninhalts des Quadrats im Vergleich zum Kreis.

Lösungsansatz:

Die Formel für die prozentuale Veränderung ist:
\(\text{Prozentuale Veränderung} = \frac{\text{Neuer Wert} - \text{Ursprünglicher Wert}}{\text{Ursprünglicher Wert}} \times 100\%\)

In diesem Fall ist der "Ursprüngliche Wert" der Flächeninhalt des Kreises und der "Neue Wert" ist der Flächeninhalt des Quadrats.

1. Differenz berechnen (wie in Aufgabe 1):

   • Differenz \(= A_{Quadrat} - A_{Kreis} \approx 100 \, m^2 - 78,54 \, m^2 = 21,46 \, m^2\).

2. Prozentuale Differenz berechnen:

   • \(\text{Prozentuale Differenz} = \frac{\text{Differenz}}{A_{Kreis}} \times 100\%\)
   • \(\text{Prozentuale Differenz} \approx \frac{21,46 \, m^2}{78,54 \, m^2} \times 100\%\)
   • \(\text{Prozentuale Differenz} \approx 0,27323 \times 100\%\)
   • \(\text{Prozentuale Differenz} \approx 27,32\%\)

Antwort (Teil 2):
Der Flächeninhalt des Quadrates ist um etwa 27,32 % größer als jener des Kreises.
(Hinweis: Der von Ihnen vorgegebene Wert "21, 5" für den Prozentwert ist nicht korrekt, die Berechnung ergibt ca. 27,3%)