Mengenlehre Aufgaben lösen: Vereinigung, Schnittmenge, Differenz

Hallo! Ich bin Homiwork, dein persönlicher KI-Assistent. Ich helfe dir gerne bei der Lösung dieser Aufgabe.

Übersicht der Mengen

Zuerst definieren wir die gegebenen Mengen:
* \(A = \{1, 2, 3\}\)
* \(B = \{1, 3, 4\}\)
* \(C = \{4\}\)
* \(D = \{1, 3\}\)
* \(M = \{1, 2, 3, 4, 5\}\) (Grundmenge)

Nun lösen wir die Aufgaben Schritt für Schritt.

Задание 1: \((C \cup D) \cap (C \cup A)\)

1. Berechne \(C \cup D\):
   \(C \cup D = \{4\} \cup \{1, 3\} = \{1, 3, 4\}\)
2. Berechne \(C \cup A\):
   \(C \cup A = \{4\} \cup \{1, 2, 3\} = \{1, 2, 3, 4\}\)
3. Berechne die Schnittmenge \((C \cup D) \cap (C \cup A)\):
   \((C \cup D) \cap (C \cup A) = \{1, 3, 4\} \cap \{1, 2, 3, 4\} = \{1, 3, 4\}\)

Ergebnis: \(\{1, 3, 4\}\)

Задание 2: \((B \setminus A) \cup A\)

1. Berechne \(B \setminus A\):
   \(B \setminus A = \{1, 3, 4\} \setminus \{1, 2, 3\} = \{4\}\)
2. Berechne die Vereinigung \((B \setminus A) \cup A\):
   \((B \setminus A) \cup A = \{4\} \cup \{1, 2, 3\} = \{1, 2, 3, 4\}\)

Ergebnis: \(\{1, 2, 3, 4\}\)

Задание 3: \(C \setminus B\)

1. Berechne \(C \setminus B\):
   \(C \setminus B = \{4\} \setminus \{1, 3, 4\} = \{\}\) (leere Menge)

Ergebnis: \(\{\}\)

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Basierend auf dem Bild und den bereits definierten Mengen, lösen wir die restlichen Aufgaben:

Задание 4: \(C \cup (D \cap A)\)

1. Berechne \(D \cap A\):
   \(D \cap A = \{1, 3\} \cap \{1, 2, 3\} = \{1, 3\}\)
2. Berechne die Vereinigung \(C \cup (D \cap A)\):
   \(C \cup (D \cap A) = \{4\} \cup \{1, 3\} = \{1, 3, 4\}\)

Ergebnis: \(\{1, 3, 4\}\)

Задание 5: \(A \cap M \setminus B\)

1. Berechne \(M \setminus B\):
   \(M \setminus B = \{1, 2, 3, 4, 5\} \setminus \{1, 3, 4\} = \{2, 5\}\)
2. Berechne die Schnittmenge \(A \cap (M \setminus B)\):
   \(A \cap (M \setminus B) = \{1, 2, 3\} \cap \{2, 5\} = \{2\}\)

Ergebnis: \(\{2\}\)

Задание 6: \(B \setminus C\)

1. Berechne \(B \setminus C\):
   \(B \setminus C = \{1, 3, 4\} \setminus \{4\} = \{1, 3\}\)

Ergebnis: \(\{1, 3\}\)

Задание 7: \((C \cup D) \cap A\)

1. Berechne \(C \cup D\):
   \(C \cup D = \{4\} \cup \{1, 3\} = \{1, 3, 4\}\)
2. Berechne die Schnittmenge \((C \cup D) \cap A\):
   \((C \cup D) \cap A = \{1, 3, 4\} \cap \{1, 2, 3\} = \{1, 3\}\)

Ergebnis: \(\{1, 3\}\)

Hier ist die Zusammenfassung der Ergebnisse:

• \((C \cup D) \cap (C \cup A) = \{1, 3, 4\}\)
• \((B \setminus A) \cup A = \{1, 2, 3, 4\}\)
• \(C \setminus B = \{\}\)
• \(C \cup (D \cap A) = \{1, 3, 4\}\)
• \(A \cap M \setminus B = \{2\}\)
• \(B \setminus C = \{1, 3\}\)
• \((C \cup D) \cap A = \{1, 3\}\)

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Hier sind alle Ergebnisse zusammengefasst, um sie den Mengenausdrücken zuzuordnen:

• \((C \cup D) \cap (C \cup A) = \{1, 3, 4\}\)
• \((B \setminus A) \cup A = \{1, 2, 3, 4\}\)
• \(C \setminus B = \{\}\)
• \(C \cup (D \cap A) = \{1, 3, 4\}\)
• \(A \cap M \setminus B = \{2\}\)
• \(B \setminus C = \{1, 3\}\)
• \((C \cup D) \cap A = \{1, 3\}\)

Ordnen wir diese den gegebenen Mengen zu:

1. \((C \cup D) \cap (C \cup A)\) entspricht \(\{1, 3, 4\}\)
2. \((B \setminus A) \cup A\) entspricht \(\{1, 2, 3, 4\}\)
3. \(C \setminus B\) entspricht \(\{\}\)
4. \(C \cup (D \cap A)\) entspricht \(\{1, 3, 4\}\)
5. \(A \cap M \setminus B\) entspricht \(\{2\}\)
6. \(B \setminus C\) entspricht \(\{1, 3\}\)
7. \((C \cup D) \cap A\) entspricht \(\{1, 3\}\)

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Aufgabe 1: Zuordnung der Mengenausdrücke

Basierend auf den vorherigen Berechnungen ordnen wir die Mengenausdrücke den entsprechenden Mengen zu:

• \((C \cup D) \cap (C \cup A) = \{1, 3, 4\}\)
• \((B \setminus A) \cup A = \{1, 2, 3, 4\}\)
• \(C \setminus B = \{\}\)
• \(C \cup (D \cap A) = \{1, 3, 4\}\)
• \(A \cap M \setminus B = \{2\}\)
• \(B \setminus C = \{1, 3\}\)
• \((C \cup D) \cap A = \{1, 3\}\)

Aufgabe 2: Identische Menge finden

Wir müssen die Menge finden, die identisch ist mit \((A \cup M \setminus (A \cap B)) \setminus (M \setminus B)\).

1. Berechne \(A \cap B\):
   \(A \cap B = \{1, 2, 3\} \cap \{1, 3, 4\} = \{1, 3\}\)

2. Berechne \(M \setminus (A \cap B)\):
   \(M \setminus (A \cap B) = \{1, 2, 3, 4, 5\} \setminus \{1, 3\} = \{2, 4, 5\}\)

3. Berechne \(A \cup (M \setminus (A \cap B))\):
   \(A \cup (M \setminus (A \cap B)) = \{1, 2, 3\} \cup \{2, 4, 5\} = \{1, 2, 3, 4, 5\} = M\)

4. Berechne \(M \setminus B\):
   \(M \setminus B = \{1, 2, 3, 4, 5\} \setminus \{1, 3, 4\} = \{2, 5\}\)

5. Berechne \((A \cup (M \setminus (A \cap B))) \setminus (M \setminus B)\):
   \((A \cup (M \setminus (A \cap B))) \setminus (M \setminus B) = M \setminus (M \setminus B) = \{1, 2, 3, 4, 5\} \setminus \{2, 5\} = \{1, 3, 4\} = B\)

Daher ist die Menge identisch mit \(B\).

Antwort: B