Statistische Kennwerte: Niederschlagsanalyse Stuttgart vs. Quito

Absolut! Ich helfe dir gerne bei der Bearbeitung dieses Arbeitsblatts.

Da keine spezifischen Aufgaben genannt wurden, werde ich die Aufgaben der Reihe nach bearbeiten.

Aufgabe 1

Diese Aufgabe beschäftigt sich mit statistischen Kennwerten (Mittelwert, Median, Modus, Spannweite) und deren Berechnung anhand von Niederschlagsdaten für Stuttgart und Quito.

1. Die Tabelle zeigt die durchschnittliche Niederschlagsmenge pro Monat für Stuttgart und Quito.

a) Wie viel Niederschlag fällt in Stuttgart und Quito pro Jahr?

Um den jährlichen Niederschlag zu berechnen, müssen wir die monatlichen Werte für jedes Land summieren.

• Stuttgart:
  \(33,5 + 34,0 + 39,3 + 48,5 + 92,5 + 67,8 + 63,9 + 53,9 + 50,6 + 49,7 + 49,7 + 48,6 = 632\) mm

• Quito:
  \(73,6 + 114,1 + 126,9 + 149,3 + 98,7 + 37,1 + 26,2 + 32,0 + 79,3 + 115,3 + 78,9 + 82,9 = 1014,3\) mm

Antwort: In Stuttgart fallen 632 mm Niederschlag pro Jahr. In Quito fallen 1014,3 mm Niederschlag pro Jahr.

b) Wie viel Niederschlag fällt pro Monat im Durchschnitt?

Um den durchschnittlichen monatlichen Niederschlag zu berechnen, teilen wir den jährlichen Niederschlag durch 12 (die Anzahl der Monate).

• Stuttgart:
  \(\frac{632 \text{ mm}}{12} \approx 52,67\) mm

• Quito:
  \(\frac{1014,3 \text{ mm}}{12} \approx 84,53\) mm

Antwort: Im Durchschnitt fallen in Stuttgart etwa 52,67 mm Niederschlag pro Monat. In Quito fallen im Durchschnitt etwa 84,53 mm Niederschlag pro Monat.

c) In welchen Monaten wurde für Quito der Durchschnittswert überschritten, in welchen für Stuttgart unterschritten?

Wir vergleichen die monatlichen Werte mit den berechneten Durchschnittswerten.

• Quito (Durchschnitt ≈ 84,53 mm):
  Der Durchschnittswert wurde überschritten in den Monaten: Jänner (114,1), Februar (126,9), März (149,3), Mai (98,7), Oktober (115,3).

• Stuttgart (Durchschnitt ≈ 52,67 mm):
  Der Durchschnittswert wurde unterschritten in den Monaten: Jänner (33,5), Februar (34,0), März (39,3), April (48,5), September (50,6), Oktober (49,7), November (49,7), Dezember (48,6).

Antwort: Für Quito wurde der Durchschnittswert in den Monaten Jänner, Februar, März, Mai und Oktober überschritten. Für Stuttgart wurde der Durchschnittswert in den Monaten Jänner, Februar, März, April, September, Oktober, November und Dezember unterschritten.

d) Berechne für Stuttgart und Quito Median und Spannweite.

• Median: Der Median ist der Wert, der genau in der Mitte einer sortierten Datenreihe liegt. Wenn die Anzahl der Daten ungerade ist, ist es der mittlere Wert. Wenn die Anzahl gerade ist (wie hier mit 12 Monaten), ist es der Durchschnitt der beiden mittleren Werte.

  Zuerst müssen die Datenreihen sortiert werden:

  • Stuttgart (aufsteigend): 33,5; 34,0; 39,3; 48,5; 48,6; 49,7; 50,6; 53,9; 63,9; 67,8; 92,5; 33,5
    Die mittleren Werte sind der 6. und 7. Wert: 49,7 und 50,6.
    Median (Stuttgart) = \(\frac{49,7 + 50,6}{2} = \frac{100,3}{2} = 50,15\)

  • Quito (aufsteigend): 26,2; 32,0; 37,1; 73,6; 78,9; 82,9; 79,3; 114,1; 115,3; 126,9; 149,3; 98,7
    Die mittleren Werte sind der 6. und 7. Wert: 82,9 und 79,3.
    Median (Quito) = \(\frac{82,9 + 79,3}{2} = \frac{162,2}{2} = 81,1\)

• Spannweite: Die Spannweite ist die Differenz zwischen dem größten und dem kleinsten Wert in der Datenreihe.

  • Stuttgart:
    Größter Wert: 92,5
    Kleinster Wert: 33,5
    Spannweite (Stuttgart) = \(92,5 - 33,5 = 59\)

  • Quito:
    Größter Wert: 149,3
    Kleinster Wert: 26,2
    Spannweite (Quito) = \(149,3 - 26,2 = 123,1\)

Antwort:
| | Stuttgart | Quito |
| :---------- | :-------- | :----- |
| Median | 50,15 | 81,1 |
| Spannweite | 59 | 123,1 |

Alles klar, dann machen wir mit den restlichen Aufgaben weiter!

Aufgabe 2

Hier sollen Datenreihen ergänzt werden, sodass die gegebenen Kennwerte (Mittelwert, Spannweite, Modus) erfüllt sind. Die bereits gegebenen Werte sind 2 und 7.

Grundlagen:
* Mittelwert: Summe aller Werte geteilt durch die Anzahl der Werte.
* Spannweite: Größter Wert minus kleinster Wert.
* Modus: Der am häufigsten vorkommende Wert.

a) Mittelwert = 4
Gegebene Werte: 2, 7, __ (dritter Wert gesucht)
Sei der gesuchte Wert \(x\).
Die Summe der Werte ist \(2 + 7 + x = 9 + x\).
Die Anzahl der Werte ist 3.
Der Mittelwert ist \(\frac{9 + x}{3}\).
Wir wissen, dass der Mittelwert 4 sein soll:
\(\frac{9 + x}{3} = 4\)
\(9 + x = 4 \times 3\)
\(9 + x = 12\)
\(x = 12 - 9\)
\(x = 3\)

Antwort: Die Datenreihe lautet 2; 4; 7. (Korrektur nach Überprüfung: die Aufgabe gibt 2; 4; 7 vor und fragt nach dem fehlenden Wert, damit der Mittelwert 4 ist. Ich habe es oben falsch gelesen, der fehlende Wert ist der 3. Wert der Reihe, nicht der 2. oder 7. Ich gehe davon aus, dass 2 und 7 die bekannten Werte sind und ein dritter Wert gesucht wird, damit der Mittelwert 4 ist. Aber die Zeile "2; 4; 7, ___" deutet darauf hin, dass 2 und 7 die gegebenen Werte sind und ein weiterer Wert gesucht wird, damit der Mittelwert 4 ist. Es ist auch möglich, dass 2 und 7 die einzigen bekannten Werte sind und wir die Reihe um einen weiteren Wert ergänzen sollen. Die Schreibweise "2; 4; 7, ___" ist verwirrend. Ich interpretiere es so: Gegebene Werte sind 2 und 7, und wir müssen einen dritten Wert finden, sodass der Mittelwert von drei Zahlen 4 ist. Wenn das der Fall ist, habe ich oben bereits berechnet, dass der dritte Wert 3 sein muss. Wenn die Reihe tatsächlich 2; 4; 7; ... sein soll, dann ist der Mittelwert von 2, 4, 7 bereits \(\frac{2+4+7}{3} = \frac{13}{3} \approx 4.33\). Das passt nicht. Ich bleibe bei der Annahme, dass wir die Reihe 2; 7 ergänzen müssen. In diesem Fall ist der gesuchte Wert 3.)

Nehmen wir die Schreibweise "2; 4; 7, ___" als die tatsächlichen Datenwerte, die zur Verfügung stehen, und ein zusätzlicher Wert muss gefunden werden.
Daten: 2, 4, 7, \(x\)
Anzahl der Werte: 4
Summe der Werte: \(2 + 4 + 7 + x = 13 + x\)
Mittelwert = \(\frac{13 + x}{4} = 4\)
\(13 + x = 16\)
\(x = 3\)

Antwort: Die ergänzte Datenreihe lautet 2; 4; 7; 3.

c) Spannweite = 10
Gegebene Werte: 2, 7, __ (dritter Wert gesucht)
Sei der gesuchte Wert \(x\).
Die Spannweite ist die Differenz zwischen dem größten und dem kleinsten Wert.
Die bisherigen Werte sind 2 und 7.
Wenn \(x\) der kleinste Wert wäre, wäre die Spannweite \(7 - x = 10\), also \(x = -3\). Die Reihe wäre dann -3, 2, 7.
Wenn \(x\) der größte Wert wäre, wäre die Spannweite \(x - 2 = 10\), also \(x = 12\). Die Reihe wäre dann 2, 7, 12.
Wenn \(x\) zwischen 2 und 7 liegt, wäre die Spannweite \(7 - 2 = 5\), was nicht 10 ist.
Die Schreibweise "2; 4; 7, ___" deutet wieder darauf hin, dass 2 und 7 die ursprünglichen Werte sind, und wir diese Reihe um einen Wert ergänzen sollen. Nehmen wir an, die Reihe soll aus 3 Zahlen bestehen: 2, 7, \(x\).
Wenn \(x\) der kleinste Wert ist: \(7 - x = 10 \Rightarrow x = -3\). Reihe: -3, 2, 7.
Wenn \(x\) der größte Wert ist: \(x - 2 = 10 \Rightarrow x = 12\). Reihe: 2, 7, 12.
Die Aufgabe lautet: "Ergänze die Datenreihe um einen weiteren Wert, so dass...". Das deutet darauf hin, dass wir eine Reihe gegeben haben (hier 2; 7) und einen weiteren Wert hinzufügen.

Nehmen wir an, die gegebenen Werte sind 2 und 7, und wir fügen einen dritten Wert \(x\) hinzu, sodass die Spannweite 10 ist.
* Fall 1: 2 ist der kleinste Wert, 7 ist der größte. Spannweite = \(7-2=5\). Das ist nicht 10.
* Fall 2: \(x\) ist der kleinste Wert. Dann muss 7 der größte Wert sein. Spannweite = \(7 - x = 10 \Rightarrow x = -3\). Die Reihe lautet dann: -3, 2, 7.
* Fall 3: \(x\) ist der größte Wert. Dann muss 2 der kleinste Wert sein. Spannweite = \(x - 2 = 10 \Rightarrow x = 12\). Die Reihe lautet dann: 2, 7, 12.

Die Schreibweise "2; 4; 7, ___" ist hier sehr verwirrend. Wenn wir annehmen, dass 2 und 7 die einzigen bekannten Werte sind und wir die Reihe um einen Wert \(x\) ergänzen, um die Spannweite von 10 zu erreichen, dann sind die möglichen Reihen (2, 7, 12) oder (-3, 2, 7).

Ich gehe davon aus, dass die Datenreihe erst um einen Wert ergänzt wird, sodass die Spannweite 10 ist. Die gegebenen Werte sind 2 und 7.
Mögliche Reihen:
1. Kleinster Wert: 2, Größter Wert: 12 (ergänzter Wert) \(\Rightarrow\) 2, 7, 12
2. Kleinster Wert: -3 (ergänzter Wert), Größter Wert: 7 \(\Rightarrow\) -3, 2, 7

Wenn die Schreibweise "2; 4; 7, ___" die gegebenen Werte meint, dann ist die Spannweite von 2, 4, 7 gleich \(7-2=5\), was nicht 10 ist. Dies deutet stark darauf hin, dass 2 und 7 die ursprünglichen Werte sind, und wir eine neue Reihe mit einem zusätzlichen Wert erstellen.

Ich wähle die Variante, bei der der neue Wert hinzugefügt wird, um die Spannweite zu erreichen. Die einfachste Ergänzung wäre, entweder den kleinsten Wert zu vergrößern oder den größten Wert zu verkleinern, sodass die Differenz 10 ist. Da 7 - 2 = 5 ist, müssen wir entweder 5 von 2 abziehen (-3) oder 5 zu 7 hinzufügen (12).
Ich nehme an, dass die Reihe um einen Wert ergänzt wird, der entweder der kleinste oder der größte Wert wird.

Antwort: Die ergänzte Datenreihe lautet 2; 7; 12 (oder -3; 2; 7). Ich wähle 12, da dies üblicherweise die offensichtlichere Ergänzung ist.

e) Mittelwert = 2000
Gegebene Werte: 2, 7, __
Sei der gesuchte Wert \(x\).
Mittelwert = \(\frac{2 + 7 + x}{3} = 2000\)
\(\frac{9 + x}{3} = 2000\)
\(9 + x = 6000\)
\(x = 5991\)

Antwort: Die ergänzte Datenreihe lautet 2; 7; 5991.

f) Median = 5
Gegebene Werte: 2, 7, __
Sei der gesuchte Wert \(x\).
Damit der Median 5 ist, muss der mittlere Wert der sortierten Reihe 5 sein.
Die Reihe hat 3 Werte. Wenn wir sie sortieren, muss der mittlere Wert (der zweite Wert) 5 sein.
* Wenn wir die Reihe 2, 7, \(x\) haben und sie sortieren:
* Wenn \(x\) der kleinste Wert ist: \(x, 2, 7\). Median ist 2. Das passt nicht.
* Wenn \(x\) der mittlere Wert ist: \(2, x, 7\). Dann muss \(x=5\) sein. Die Reihe ist 2, 5, 7. Median ist 5. Das passt.
* Wenn \(x\) der größte Wert ist: \(2, 7, x\). Median ist 7. Das passt nicht.

Antwort: Die ergänzte Datenreihe lautet 2; 5; 7.

g) Modus = 4
Gegebene Werte: 2, 7, __
Der Modus ist der am häufigsten vorkommende Wert. Damit der Modus 4 ist, muss 4 der am häufigsten vorkommende Wert sein. Da wir nur 3 Werte haben, bedeutet das, dass mindestens zwei der Werte 4 sein müssen.
Die gegebenen Werte sind 2 und 7. Keiner davon ist 4.
Damit 4 der Modus ist, muss der fehlende Wert 4 sein, und einer der bekannten Werte müsste ebenfalls 4 sein, oder wir fügen zwei Werte hinzu.
Die Aufgabe sagt "Ergänze die Datenreihe um einen weiteren Wert". Das bedeutet, wir fügen nur einen Wert hinzu.
Die Reihe besteht dann aus 2, 7 und \(x\).
Damit 4 der Modus ist, muss \(x=4\) sein, und einer der anderen Werte müsste auch 4 sein. Das ist hier nicht der Fall.
Dies ist nur möglich, wenn die ursprüngliche Reihe bereits so aufgebaut ist, dass der Modus 4 ist, wenn man einen Wert hinzufügt.
Wenn wir die Reihe 2; 7; \(x\) betrachten:
* Wenn \(x=4\), dann ist die Reihe 2, 7, 4. Kein Wert kommt häufiger vor als ein anderer. Kein Modus.
* Wenn die Reihe bereits 2; 4; 7 wäre und wir sie um einen Wert ergänzen, damit der Modus 4 ist, dann müsste der neue Wert 4 sein. Dann wäre die Reihe 2, 4, 7, 4. Der Modus wäre 4.

Ich gehe davon aus, dass die Lücke für den fehlenden Wert steht, und dieser Wert muss den Modus 4 ergeben.
Dies ist nur möglich, wenn der gefundene Wert 4 ist UND die Reihe insgesamt den Modus 4 hat.
Wenn die Reihe 2; 7; \(x\) ist, und der Modus soll 4 sein, dann muss \(x=4\) sein. Aber dann gibt es keinen eindeutigen Modus, es sei denn, wir hätten bereits einen anderen 4er in der Reihe.
Diese Aufgabe ist ohne weitere Informationen schwer eindeutig zu lösen. Ich nehme an, die Absicht ist, dass der fehlende Wert selbst 4 ist. Aber dann ergibt sich kein Modus, es sei denn, die anderen Werte wären auch 4.

Lasst uns annehmen, die Reihe ist \(a, b, c\) und wir fügen \(d\) hinzu.
Gegeben: 2, 7, und eine Lücke.
Damit der Modus 4 ist, muss 4 mindestens zweimal vorkommen.
* Fall 1: Der fehlende Wert ist 4. Reihe: 2, 7, 4. Kein Modus.
* Es scheint, dass die Aufgabe einen Fehler hat oder ich sie falsch interpretiere.
Die Schreibweise "2; 4; 7, ___" legt nahe, dass 2 und 7 die ursprünglichen Werte sind, und wir ergänzen einen Wert \(x\).
Damit der Modus 4 ist, muss 4 der häufigste Wert sein. Wenn wir nur einen Wert hinzufügen, kann 4 nur dann der Modus sein, wenn einer der vorhandenen Werte bereits 4 ist und wir noch einen 4er hinzufügen. Aber 4 ist nicht in den gegebenen Werten 2 und 7.

Ich gehe von einer möglichen Fehlinterpretation der Aufgabe oder einem Fehler in der Aufgabenstellung aus. Wenn wir annehmen, dass die Reihe bereits 2; 4; 7 ist und wir sie um einen Wert ergänzen, dann muss dieser Wert 4 sein, damit der Modus 4 wird. Dann wäre die Reihe 2; 4; 7; 4.

Antwort: Die ergänzte Datenreihe lautet 2; 7; 4. (Diese Antwort ist eine Annahme, basierend auf der wahrscheinlichsten Absicht der Aufgabe, obwohl die Formulierung unklar ist.)

h) Mittelwert = 3,25
Gegebene Werte: 2, 7, __
Sei der gesuchte Wert \(x\).
Mittelwert = \(\frac{2 + 7 + x}{3} = 3,25\)
\(\frac{9 + x}{3} = 3,25\)
\(9 + x = 3,25 \times 3\)
\(9 + x = 9,75\)
\(x = 9,75 - 9\)
\(x = 0,75\)

Antwort: Die ergänzte Datenreihe lautet 2; 7; 0,75.

Hier sind die Lösungen für Aufgabe 2 und 3 ohne Erklärungen:

Aufgabe 2

a) 3
c) 12 (oder -3)
e) 5991
g) 4
b) -1 (oder 9)
d) 1002 (oder -1000)
f) 2 (oder 7)
h) 0,75

Aufgabe 3

Die gegebenen Personen sind:
Mutter: 39 Jahre
Vater: 43 Jahre
Tochter: 17 Jahre
Sohn: 13 Jahre

a) Unterwegs begegnet ihnen ein Cousin. Das Durchschnittsalter der Gruppe ändert sich dadurch nicht. Wie alt ist der Cousin?

• Berechnung des ursprünglichen Durchschnittsalters:
  Summe der Alter: \(39 + 43 + 17 + 13 = 112\) Jahre
  Anzahl der Personen: 4
  Ursprüngliches Durchschnittsalter: \(\frac{112}{4} = 28\) Jahre

• Berechnung des neuen Durchschnittsalters (mit Cousin):
  Sei das Alter des Cousins \(C\).
  Neue Summe der Alter: \(112 + C\)
  Neue Anzahl der Personen: \(4 + 1 = 5\)
  Neues Durchschnittsalter: \(\frac{112 + C}{5}\)

• Gleichsetzung der Durchschnitte:
  Da sich das Durchschnittsalter nicht ändert, muss das neue Durchschnittsalter ebenfalls 28 Jahre betragen:
  \(\frac{112 + C}{5} = 28\)
  \(112 + C = 28 \times 5\)
  \(112 + C = 140\)
  \(C = 140 - 112\)
  \(C = 28\)

Antwort: Der Cousin ist 28 Jahre alt.

b) Der Cousin nimmt einen anderen Weg. Später macht die Familie an einer Hütte Rast. Sie setzen sich zu einem Mann an den Tisch. Mit ihm steigt das Durchschnittsalter um 2 Jahre.

• Ausgangslage: Die Familie (Mutter, Vater, Tochter, Sohn) und der Cousin sind zusammen.
  Anzahl der Personen: 5
  Durchschnittsalter: 28 Jahre (wie in Teil a) berechnet)
  Summe der Alter: \(5 \times 28 = 140\) Jahre

• Situation an der Hütte: Die Familie (4 Personen) setzt sich mit einem Mann an den Tisch. Die Annahme ist, dass der Cousin nicht mehr dabei ist. Es sind also 4 Personen + 1 Mann = 5 Personen.
  Sei das Alter des Mannes \(M\).
  Neue Summe der Alter: \(112 + M\) (wir nehmen die ursprüngliche Familie ohne Cousin)
  Neue Anzahl der Personen: 5

• Problem bei der Interpretation: Die Formulierung "Mit ihm steigt das Durchschnittsalter um 2 Jahre" ist unklar, von welchem Ausgangspunkt das Alter steigt. Steigt es von 28 (Familie + Cousin) oder von 28 (nur Familie)?
  Nehmen wir an, es bezieht sich auf die Gruppe der Familie (4 Personen), da der Cousin einen anderen Weg genommen hat.
  Ursprüngliche Familie (4 Personen): Summe = 112, Durchschnitt = 28.
  Ergänzt um einen Mann \(M\): Summe = \(112 + M\), Anzahl = 5.
  Das Durchschnittsalter steigt um 2 Jahre, also auf \(28 + 2 = 30\) Jahre.
  \(\frac{112 + M}{5} = 30\)
  \(112 + M = 150\)
  \(M = 150 - 112\)
  \(M = 38\)

  Alternative Interpretation: Wenn die Familie (4 Personen) + Cousin (1 Person) = 5 Personen mit einem Durchschnitt von 28 Jahren sind, und dann eine weitere Person (der Mann) hinzukommt, sodass es 6 Personen sind.
  Ursprüngliche Summe (5 Personen): 140 Jahre. Durchschnitt: 28 Jahre.
  Neue Summe (mit Mann M): \(140 + M\).
  Neue Anzahl: 6.
  Neues Durchschnittsalter: \(\frac{140 + M}{6}\).
  Dieses steigt um 2 Jahre auf \(28 + 2 = 30\) Jahre.
  \(\frac{140 + M}{6} = 30\)
  \(140 + M = 180\)
  \(M = 40\)

Die Formulierung "Sie setzen sich zu einem Mann an den Tisch" impliziert, dass dieser Mann bereits da war. Die Gruppe besteht dann aus den Familienmitgliedern + dem Mann. Daher ist die erste Interpretation wahrscheinlicher: Die Familie (4 Personen) trifft auf einen Mann.

Antwort: Der Mann ist 38 Jahre alt.

c) Wie alt müsste ein Zwillingspaar sein, wenn sich das Durchschnittsalter bei einer Begegnung um 7 Jahre verringern würde?

• Ausgangslage: Die Gruppe besteht aus Mutter (39), Vater (43), Tochter (17), Sohn (13).
  Summe der Alter: \(39 + 43 + 17 + 13 = 112\) Jahre
  Anzahl der Personen: 4
  Durchschnittsalter: \(\frac{112}{4} = 28\) Jahre

• Neue Situation: Ein Zwillingspaar (zwei Personen mit dem gleichen Alter \(Z\)) kommt hinzu.
  Neue Summe der Alter: \(112 + Z + Z = 112 + 2Z\)
  Neue Anzahl der Personen: \(4 + 2 = 6\)
  Neues Durchschnittsalter: \(\frac{112 + 2Z}{6}\)

• Bedingung: Das Durchschnittsalter verringert sich um 7 Jahre.
  Neues Durchschnittsalter = \(28 - 7 = 21\) Jahre.

• Gleichung aufstellen:
  \(\frac{112 + 2Z}{6} = 21\)
  \(112 + 2Z = 21 \times 6\)
  \(112 + 2Z = 126\)
  \(2Z = 126 - 112\)
  \(2Z = 14\)
  \(Z = \frac{14}{2}\)
  \(Z = 7\)

Antwort: Das Zwillingspaar müsste jeweils 7 Jahre alt sein.