Aufgaben 1-3: Gleichungen mit Symbolen und Waagenmodellen lösen

Absolut! Hier sind die Lösungen für die Aufgaben 1 bis 3, Schritt für Schritt erklärt.

Aufgabe 1

Aufgabenstellung: Ordne jeder Waage die passende Gleichung zu.

Lösungsweg:
Wir analysieren jede Waage und übersetzen die dargestellten Gewichte in eine mathematische Gleichung. Dabei steht jedes Symbol für eine bestimmte Menge:
* Ein Kreis (wie eine Kugel) steht für x.
* Ein Quadrat (wie ein Baustein) steht für 1.
* Die Waage zeigt an, dass die Gewichte auf beiden Seiten gleich sind.

Waage 1:
* Linke Seite: 1 Quadrat (1) + 2 Kreise (2x)
* Rechte Seite: 2 Quadrate (2) + 1 Kreis (x)
* Gleichung: \(1 + 2x = 2 + x\)

Waage 2:
* Linke Seite: 3 Kreise (3x)
* Rechte Seite: 1 Kreis (x) + 4 Quadrate (4)
* Gleichung: \(3x = x + 4\)

Waage 3:
* Linke Seite: 2 Quadrate (2)
* Rechte Seite: 6 Quadrate (6)
* Gleichung: \(2 = 6\) (Dies scheint eine falsche Option zu sein, da es keine Variable enthält und nicht zu den anderen passt. Wahrscheinlich ein Fehler in der Aufgabenstellung oder im Bild. Wir ignorieren sie für die Zuordnung der Gleichungen mit x).

Waage 4:
* Linke Seite: 4 Kreise (4x)
* Rechte Seite: 2 Kreise (2x) + 6 Quadrate (6)
* Gleichung: \(4x = 2x + 6\)

Waage 5:
* Linke Seite: 2 Kreise (2x) + 4 Quadrate (4)
* Rechte Seite: 1 Kreis (x) + 5 Quadrate (5)
* Gleichung: \(2x + 4 = x + 5\)

Nun ordnen wir die vorhandenen Gleichungen den Waagen zu:
* Die Waage mit \(3x = x + 4\) ist Waage 2.
* Die Waage mit \(4x = 2x + 6\) ist Waage 4.
* Die Waage mit \(2x + 4 = x + 5\) ist Waage 5.

Fehlende Zuordnungen:
Da die Aufgabe verlangt, jeder Waage die passende Gleichung zuzuordnen, und die Gleichungen \(2x=6\) und \(3x=x+4\) sowie \(4x=2x+6\) und \(2x+4=x+5\) schon auf den Bildern 2, 4 und 5 zu sehen sind, müssen wir die restlichen Waagen und Gleichungen identifizieren.

Betrachten wir die Gleichungen unter den Waagen:
* 2x = 6 : Diese Gleichung passt nicht direkt zu einer der gezeigten Waagen in ihrer dargestellten Form.
* 3x = x + 4 : Diese Gleichung passt zu Waage 2.
* 4x = 2x + 6 : Diese Gleichung passt zu Waage 4.
* 2x + 4 = x + 5 : Diese Gleichung passt zu Waage 5.

Es scheint, dass die Gleichungen, die unter den Waagen stehen, die Lösungen sind, die den Waagen 2, 4 und 5 zugeordnet werden müssen. Es fehlen explizit beschriftete Gleichungen für Waagen 1 und 3.

Wenn wir davon ausgehen, dass die nummerierten Bilder (1, 2, 3, 4) die Waagen darstellen und die farbigen Kästen die Gleichungen, dann:
* Bild 1: Links 2x + 1, Rechts x + 2. Gleichung: \(2x + 1 = x + 2\).
* Bild 2: Links 3x, Rechts x + 4. Gleichung: \(3x = x + 4\). (Passt zum farbigen Kasten)
* Bild 3: Links 2x, Rechts 6. Gleichung: \(2x = 6\). (Passt zum farbigen Kasten)
* Bild 4: Links 4x, Rechts 2x + 6. Gleichung: \(4x = 2x + 6\). (Passt zum farbigen Kasten)

Also die Zuordnung lautet:
* Waage 1 → \(2x + 1 = x + 2\) (Diese Gleichung fehlt in den farbigen Kästen, muss aber die passende sein.)
* Waage 2 → \(3x = x + 4\)
* Waage 3 → \(2x = 6\)
* Waage 4 → \(4x = 2x + 6\)
* Waage 5 → \(2x + 4 = x + 5\) (Diese Waage ist nicht nummeriert, aber sie ist auf dem Bild sichtbar)

Antwort:
* Waage 1: \(2x + 1 = x + 2\)
* Waage 2: \(3x = x + 4\)
* Waage 3: \(2x = 6\)
* Waage 4: \(4x = 2x + 6\)
* Die Waage mit \(2x+4\) auf der linken und \(x+5\) auf der rechten Seite entspricht der Gleichung \(2x+4 = x+5\).

Aufgabe 2

Aufgabenstellung: Stelle zur Waage die passende Gleichung auf.

a) Waage:
* Linke Seite: 2 Kreise (2x) + 1 Quadrat (1)
* Rechte Seite: 1 Kreis (x) + 3 Quadrate (3)
* Die Waage ist im Gleichgewicht.

Lösungsweg:
Wir übersetzen die Symbole auf jeder Seite der Waage in Terme und setzen sie gleich, da die Waage im Gleichgewicht ist.
* Linke Seite: \(2x + 1\)
* Rechte Seite: \(x + 3\)

Gleichung: \(2x + 1 = x + 3\)

b) Waage:
* Linke Seite: 1 Kreis (x) + 4 Quadrate (4)
* Rechte Seite: 2 Kreise (2x) + 1 Quadrat (1)
* Die Waage ist im Gleichgewicht.

Lösungsweg:
Analog zu Teil a) übersetzen wir die Symbole:
* Linke Seite: \(x + 4\)
* Rechte Seite: \(2x + 1\)

Gleichung: \(x + 4 = 2x + 1\)

Antwort:
a) \(2x + 1 = x + 3\)
b) \(x + 4 = 2x + 1\)

Aufgabe 3

Aufgabenstellung: Dies ist keine vollständige Aufgabe, sondern ein Teil von Aufgabe 1 oder 5, der auf dem Bild erkennbar ist. Die Gleichung lautet \(2x = 6\). Wir lösen diese Gleichung.

Lösungsweg:
Um die Gleichung \(2x = 6\) zu lösen, müssen wir den Wert von \(x\) herausfinden. Dies erreichen wir, indem wir die Variable \(x\) isolieren.

1. Identifiziere die Operation: \(x\) wird mit 2 multipliziert.
2. Umkehraktion anwenden: Um die Multiplikation aufzuheben, dividieren wir beide Seiten der Gleichung durch 2.
   • \(\frac{2x}{2} = \frac{6}{2}\)
3. Vereinfachen:
   • \(x = 3\)

Antwort:
Die Lösung der Gleichung \(2x = 6\) ist \(x = 3\).

Absolut! Hier ist die Lösung für Aufgabe 3, wie gewünscht.

Aufgabe 3

Aufgabenstellung: Skizziere zu der Gleichung ein Waage-Modell. Streiche auf jeder Seite so viele Symbole wie möglich. Welche Gleichung bleibt übrig?
Die gegebene Gleichung ist: \(2x + 2 = x + 5\)

Lösungsweg:

1. Waage-Modell skizzieren:
   • Wir repräsentieren die Gleichung \(2x + 2 = x + 5\) mit einer Waage.
   • Auf der linken Seite der Waage platzieren wir 2 Kreise (für \(2x\)) und 2 Quadrate (für \(2\)).
   • Auf der rechten Seite der Waage platzieren wir 1 Kreis (für \(x\)) und 5 Quadrate (für \(5\)).

Gerne, hier sind die Lösungen für die Teile a, b, c und d der Aufgaben, basierend auf den sichtbaren Informationen im Bild.

Aufgabe 3 - Teil a)

Aufgabenstellung (abgeleitet aus dem Bild): Die Gleichung zur Aufgabe 3 ist gegeben als \(3x = 2x + 4\). Wir sollen diese Gleichung lösen.

Lösungsweg:
Um die Gleichung \(3x = 2x + 4\) zu lösen, isolieren wir \(x\).

1. Subtrahiere \(2x\) von beiden Seiten: Ziel ist es, alle Terme mit \(x\) auf eine Seite zu bringen.
   • \(3x - 2x = 2x + 4 - 2x\)
2. Vereinfachen:
   • \(x = 4\)

Antwort:
Die Lösung für Teil a) ist \(x = 4\).

Aufgabe 3 - Teil c)

Aufgabenstellung (abgeleitet aus dem Bild): Die Gleichung zur Aufgabe 3 ist gegeben als \(2x + 2 = x + 5\). Wir sollen diese Gleichung lösen.

Lösungsweg:
Um die Gleichung \(2x + 2 = x + 5\) zu lösen, isolieren wir \(x\).

1. Subtrahiere \(x\) von beiden Seiten:
   • \(2x + 2 - x = x + 5 - x\)
2. Vereinfachen:
   • \(x + 2 = 5\)
3. Subtrahiere 2 von beiden Seiten:
   • \(x + 2 - 2 = 5 - 2\)
4. Vereinfachen:
   • \(x = 3\)

Antwort:
Die Lösung für Teil c) ist \(x = 3\).

Aufgabe 3 - Teil b)

Aufgabenstellung (abgeleitet aus dem Bild): Die Gleichung zur Aufgabe 3 ist gegeben als \(x + 5 = 6\). Wir sollen diese Gleichung lösen.

Lösungsweg:
Um die Gleichung \(x + 5 = 6\) zu lösen, isolieren wir \(x\).

1. Subtrahiere 5 von beiden Seiten:
   • \(x + 5 - 5 = 6 - 5\)
2. Vereinfachen:
   • \(x = 1\)

Antwort:
Die Lösung für Teil b) ist \(x = 1\).

Aufgabe 3 - Teil d)

Aufgabenstellung (abgeleitet aus dem Bild): Die Gleichung zur Aufgabe 3 ist gegeben als \(x + 9 = 3x + 3\). Wir sollen diese Gleichung lösen.

Lösungsweg:
Um die Gleichung \(x + 9 = 3x + 3\) zu lösen, isolieren wir \(x\).

1. Subtrahiere \(x\) von beiden Seiten:
   • \(x + 9 - x = 3x + 3 - x\)
2. Vereinfachen:
   • \(9 = 2x + 3\)
3. Subtrahiere 3 von beiden Seiten:
   • \(9 - 3 = 2x + 3 - 3\)
4. Vereinfachen:
   • \(6 = 2x\)
5. Dividiere beide Seiten durch 2:
   • \(\frac{6}{2} = \frac{2x}{2}\)
6. Vereinfachen:
   • \(3 = x\)

Antwort:
Die Lösung für Teil d) ist \(x = 3\).

Absolut! Hier sind die Lösungen für die Aufgaben 1, 2 und 3, wobei wir uns auf die jeweils von dir angefragten Teile konzentrieren. Da die Aufgabe 3 bereits in vorherigen Schritten besprochen wurde, werde ich hier die neuen, sichtbaren Teile lösen.

Aufgabe 1 - Alle Teile

Aufgabenstellung: Ordne jeder Waage die passende Gleichung zu.

Analyse der Waagen und Gleichungen (basierend auf den zuvor gelösten und neuen Informationen):

• Waage 1 (mit den drei Kästen und zwei Kreisen auf der linken Seite, einem Kasten und vier Kreisen auf der rechten Seite):

  • Diese Waage entspricht der Gleichung: \(3x + 2 = x + 4\) (Linke Seite: 3x, 2; Rechte Seite: x, 4)
  • Diese Gleichung ist nicht explizit als Option aufgeführt, aber es ist die offensichtliche Darstellung der Waage.

• Waage 2 (mit zwei Kreisen und einem Kasten auf der linken Seite, einem Kreis und drei Kästen auf der rechten Seite):

  • Diese Waage entspricht der Gleichung: \(2x + 1 = x + 3\)
  • Dies ist eine der Gleichungen, die unter Aufgabe 2a) aufgeführt ist.

• Waage 3 (mit zwei Kreisen auf der linken Seite, sechs Quadraten auf der rechten Seite):

  • Diese Waage entspricht der Gleichung: \(2x = 6\)
  • Diese Gleichung ist als Option unter Aufgabe 2c) aufgeführt.

• Waage 4 (mit vier Kreisen auf der linken Seite, zwei Kreisen und sechs Quadraten auf der rechten Seite):

  • Diese Waage entspricht der Gleichung: \(4x = 2x + 6\)
  • Diese Gleichung ist als Option unter Aufgabe 2d) aufgeführt.

Lösung durch Zuordnung:

• Waage 1 (3 Kreise, 2 Kästen | 1 Kreis, 4 Kästen) passt zu \(3x + 2 = x + 4\). Diese Option ist nicht direkt unter den Wahlmöglichkeiten, aber die Waage selbst ist klar.
• Waage 2 (2 Kreise, 1 Kasten | 1 Kreis, 3 Kästen) passt zu \(2x + 1 = x + 3\). Diese ist Teil von Aufgabe 2a).
• Waage 3 (2 Kreise | 6 Kästen) passt zu \(2x = 6\). Dies ist Teil von Aufgabe 2c).
• Waage 4 (4 Kreise | 2 Kreise, 6 Kästen) passt zu \(4x = 2x + 6\). Dies ist Teil von Aufgabe 2d).

Antworten für Aufgabe 1 (Zuordnung):
Da die Aufgabe 1 die Zuordnung verlangt, und die Wahlmöglichkeiten unter anderen Aufgaben sind, leiten wir die Zuordnung ab:
* Die Waage mit der Darstellung von 3 Kreisen und 2 Kästen links, und 1 Kreis und 4 Kästen rechts entspricht der Gleichung: \(3x + 2 = x + 4\) (Dies ist die grafische Darstellung der ersten Waage in Aufgabe 1).
* Die Waage mit der Darstellung von 2 Kreisen und 1 Kasten links, und 1 Kreis und 3 Kästen rechts entspricht der Gleichung: \(2x + 1 = x + 3\) (Diese ist Teil von 2a)).
* Die Waage mit der Darstellung von 2 Kreisen links, und 6 Kästen rechts entspricht der Gleichung: \(2x = 6\) (Diese ist Teil von 2c)).
* Die Waage mit der Darstellung von 4 Kreisen links, und 2 Kreisen und 6 Kästen rechts entspricht der Gleichung: \(4x = 2x + 6\) (Diese ist Teil von 2d)).

Aufgabe 2 - Alle Teile

Aufgabenstellung: Stelle zur Waage die passende Gleichung auf.

a) Waage:
* Linke Seite: 2 Kreise (2x) + 1 Kasten (1)
* Rechte Seite: 1 Kreis (x) + 3 Kästen (3)
* Gleichung: \(2x + 1 = x + 3\)

b) Waage:
* Linke Seite: 1 Kreis (x) + 4 Kästen (4)
* Rechte Seite: 2 Kreise (2x) + 1 Kasten (1)
* Gleichung: \(x + 4 = 2x + 1\)

c) Waage:
* Linke Seite: 2 Kreise (2x)
* Rechte Seite: 6 Kästen (6)
* Gleichung: \(2x = 6\)

d) Waage:
* Linke Seite: 4 Kreise (4x)
* Rechte Seite: 2 Kreise (2x) + 6 Kästen (6)
* Gleichung: \(4x = 2x + 6\)

Antwort:
a) \(2x + 1 = x + 3\)
b) \(x + 4 = 2x + 1\)
c) \(2x = 6\)
d) \(4x = 2x + 6\)

Aufgabe 3 - Alle Teile (die wir lösen können)

Aufgabenstellung: Skizziere zu der Gleichung ein Waage-Modell. Streiche auf jeder Seite so viele Symbole wie möglich. Welche Gleichung bleibt übrig?
Die gegebene Gleichung ist: \(2x + 2 = x + 5\)

Lösungsweg:

1. Waage-Modell skizzieren:

   • Linke Seite: 2 Kreise (für \(2x\)) und 2 Quadrate (für \(2\)).
   • Rechte Seite: 1 Kreis (für \(x\)) und 5 Quadrate (für \(5\)).

2. Symbole streichen (Äquivalenzumformung): Wir wollen auf beiden Seiten gleiche Symbole entfernen, um die Gleichung zu vereinfachen.

   • Kreise streichen: Wir können 1 Kreis von jeder Seite entfernen.
     • Links bleiben: 1 Kreis und 2 Quadrate.
     • Rechts bleibt: 5 Quadrate.
     • Die Gleichung wird zu: \(x + 2 = 5\)
   • Quadrate streichen: Wir können 2 Quadrate von jeder Seite entfernen.
     • Links bleiben: 1 Kreis (x).
     • Rechts bleiben: 3 Quadrate (5 - 2 = 3).
     • Die Gleichung wird zu: \(x = 3\)

Welche Gleichung bleibt übrig?
Nach dem Streichen bleiben folgende Gleichungen übrig:
* Nach dem Streichen der Kreise: \(x + 2 = 5\)
* Nach dem Streichen der Quadrate: \(x = 3\)

Die Aufgabe fragt "Welche Gleichung bleibt übrig?". Dies kann sich auf die vereinfachte Gleichung beziehen, die direkt den Wert von \(x\) angibt, oder auf die Schritte, die zur Lösung führen. Im Kontext der Aufgabe wird meist die letzte, stark vereinfachte Gleichung gemeint.

Antwort:
Die vereinfachte Gleichung, die übrig bleibt und die Lösung angibt, ist \(x = 3\).

Absolut! Hier sind die Lösungen für die Aufgaben 1, 2 und 3, jeweils einzeln und mit Fokus auf die von dir angeforderten Seiten.

Aufgabe 1

Aufgabenstellung: Ordne jeder Waage die passende Gleichung zu.
Die Zahlen vor den Gleichungen sind Optionen, die den Waagen zugeordnet werden müssen. Die Waagen selbst sind auf dem Bild unterschiedlich dargestellt.

Analyse der Waagen und Gleichungen:

Wir müssen die dargestellten Waagen mit den nummerierten Gleichungsoptionen abgleichen. Jedes Symbol steht für eine unbekannte Menge (x für Kreise, 1 für Quadrate/Dreiecke).

• Waage 1 (Bild): Links sind 3 Kreise und 2 Kästen, rechts sind 1 Kreis und 4 Kästen. Die Gleichung wäre \(3x + 2 = x + 4\). Diese Gleichung ist nicht explizit als Option mit einer Nummer versehen, aber sie ist die direkte Darstellung der ersten Waage.

• Waage 2 (Bild): Links sind 2 Kreise und 1 Kasten, rechts sind 1 Kreis und 3 Kästen. Die Gleichung wäre \(2x + 1 = x + 3\). Diese Gleichung entspricht der Option a) \(2x + 1 = x + 3\) (die unter Aufgabe 2a steht und oft als Teil von Aufgabe 1 behandelt wird, wenn sie visuell präsentiert wird).

• Waage 3 (Bild): Links sind 2 Kreise, rechts sind 6 Kästen. Die Gleichung wäre \(2x = 6\). Dies entspricht der Option c) \(2x = 6\) (die unter Aufgabe 2c steht).

• Waage 4 (Bild): Links sind 4 Kreise, rechts sind 2 Kreise und 6 Kästen. Die Gleichung wäre \(4x = 2x + 6\). Dies entspricht der Option d) \(4x = 2x + 6\) (die unter Aufgabe 2d steht).

Lösung durch Zuordnung:
Basierend auf der visuellen Darstellung der Waagen und den Gleichungsoptionen, die wir in anderen Aufgaben wiederfinden:

• Die erste Waage (3 Kreise, 2 Kästen | 1 Kreis, 4 Kästen) entspricht der Gleichung \(3x + 2 = x + 4\). (Diese Gleichung ist nicht direkt als nummerierte Option in den unteren Aufgaben aufgelistet, aber sie ist die erste Waage, die abgebildet ist).
• Die zweite Waage (2 Kreise, 1 Kasten | 1 Kreis, 3 Kästen) entspricht der Gleichung \(2x + 1 = x + 3\) (Option a)).
• Die dritte Waage (2 Kreise | 6 Kästen) entspricht der Gleichung \(2x = 6\) (Option c)).
• Die vierte Waage (4 Kreise | 2 Kreise, 6 Kästen) entspricht der Gleichung \(4x = 2x + 6\) (Option d)).

Antwort:
* Waage 1 (visuell): \(3x + 2 = x + 4\)
* Waage 2 (visuell): a) \(2x + 1 = x + 3\)
* Waage 3 (visuell): c) \(2x = 6\)
* Waage 4 (visuell): d) \(4x = 2x + 6\)

Aufgabe 2

Aufgabenstellung: Stelle zur Waage die passende Gleichung auf.

a) Waage:
* Linke Seite: 2 Kreise (für \(2x\)) + 1 Kasten (für 1)
* Rechte Seite: 1 Kreis (für \(x\)) + 3 Kästen (für 3)
* Gleichung: \(2x + 1 = x + 3\)

b) Waage:
* Linke Seite: 1 Kreis (für \(x\)) + 4 Kästen (für 4)
* Rechte Seite: 2 Kreise (für \(2x\)) + 1 Kasten (für 1)
* Gleichung: \(x + 4 = 2x + 1\)

c) Waage:
* Linke Seite: 2 Kreise (für \(2x\))
* Rechte Seite: 6 Kästen (für 6)
* Gleichung: \(2x = 6\)

d) Waage:
* Linke Seite: 4 Kreise (für \(4x\))
* Rechte Seite: 2 Kreise (für \(2x\)) + 6 Kästen (für 6)
* Gleichung: \(4x = 2x + 6\)

Antwort:
a) \(2x + 1 = x + 3\)
b) \(x + 4 = 2x + 1\)
c) \(2x = 6\)
d) \(4x = 2x + 6\)

Aufgabe 3

Aufgabenstellung: Skizziere zu der Gleichung ein Waage-Modell. Streiche auf jeder Seite so viele Symbole wie möglich. Welche Gleichung bleibt übrig?
Die gegebene Gleichung ist: \(2x + 2 = x + 5\)

Lösungsweg:

1. Waage-Modell skizzieren:

   • Linke Seite: 2 Kreise (für \(2x\)) und 2 Quadrate (für \(2\)).
   • Rechte Seite: 1 Kreis (für \(x\)) und 5 Quadrate (für \(5\)).

2. Symbole streichen (Äquivalenzumformung):

   • 1 Kreis von jeder Seite streichen:
     • Links verbleibt: 1 Kreis (x) und 2 Quadrate (2).
     • Rechts verbleibt: 5 Quadrate (5).
     • Die Gleichung ist nun: \(x + 2 = 5\).
   • 2 Quadrate von jeder Seite streichen:
     • Links verbleibt: 1 Kreis (x).
     • Rechts verbleibt: 3 Quadrate (5 - 2 = 3).
     • Die Gleichung ist nun: \(x = 3\).

Welche Gleichung bleibt übrig?
Die stark vereinfachte Gleichung, die übrig bleibt und die Lösung direkt angibt, ist \(x = 3\).

Antwort:
Die Gleichung, die nach dem Streichen der Symbole übrig bleibt, ist \(x = 3\).

Absolut! Basierend auf dem Bild und deinen vorherigen Anfragen, beziehst du dich auf die Aufgaben, die wir bereits besprochen haben.

Du hast nach den Seiten gefragt, die wir gelöst haben. Wir haben uns auf die folgenden Aufgaben konzentriert:

• Aufgabe 1: Zuordnung von Waagen zu Gleichungen.
• Aufgabe 2: Aufstellen von Gleichungen zu gegebenen Waagen.
• Aufgabe 3: Lösen der Gleichung \(2x + 2 = x + 5\) mithilfe eines Waagenmodells.

Diese Aufgaben sind alle auf der linken Seite des geöffneten Buches zu finden, im Abschnitt "Üben".

Wenn du möchtest, können wir uns nun anderen Aufgaben widmen oder die Theorie hinter diesen Aufgaben vertiefen.

Absolut! Hier sind die Lösungen für die nächsten Aufgaben, basierend auf dem Bild.

Aufgabe 4

Aufgabenstellung: Notiere die Äquivalenzumformungen. Löse die Gleichung. Führe die Probe durch.
Die Gleichung lautet: \(5x + 6 = 41\)

Lösungsweg:

1. Äquivalenzumformungen notieren:

   • Wir wollen \(x\) isolieren. Zuerst subtrahieren wir 6 von beiden Seiten.
   • Dann dividieren wir beide Seiten durch 5.

2. Gleichung lösen:

   • \(5x + 6 = 41\)
   • Subtrahiere 6 von beiden Seiten:
     \(5x + 6 - 6 = 41 - 6\)
     \(5x = 35\)
   • Dividiere beide Seiten durch 5:
     \(\frac{5x}{5} = \frac{35}{5}\)
     \(x = 7\)

3. Probe durchführen:

   • Setze \(x = 7\) in die ursprüngliche Gleichung ein:
     \(5 \cdot (7) + 6 = 41\)
     \(35 + 6 = 41\)
     \(41 = 41\)
   • Die Probe ist erfolgreich.

Antwort:
Die Lösung ist \(x = 7\).

Aufgabe 5

Aufgabenstellung: Löse die Gleichung. Führe die Probe durch.
Die Gleichung lautet: \(7x - 10 = 4x + 5\)

Lösungsweg:

1. Gleichung lösen:

   • Ziel ist es, alle \(x\)-Terme auf eine Seite und alle konstanten Terme auf die andere Seite zu bringen.
   • Subtrahiere \(4x\) von beiden Seiten:
     \(7x - 10 - 4x = 4x + 5 - 4x\)
     \(3x - 10 = 5\)
   • Addiere 10 zu beiden Seiten:
     \(3x - 10 + 10 = 5 + 10\)
     \(3x = 15\)
   • Dividiere beide Seiten durch 3:
     \(\frac{3x}{3} = \frac{15}{3}\)
     \(x = 5\)

2. Probe durchführen:

   • Setze \(x = 5\) in die ursprüngliche Gleichung ein:
     \(7 \cdot (5) - 10 = 4 \cdot (5) + 5\)
     \(35 - 10 = 20 + 5\)
     \(25 = 25\)
   • Die Probe ist erfolgreich.

Antwort:
Die Lösung ist \(x = 5\).

Aufgabe 6

Aufgabenstellung: Vereinfache die Terme und löse die Gleichung.
Die Gleichung lautet: \(3x + 10 = x + 26\)

Lösungsweg:

1. Terme vereinfachen (falls nötig): In diesem Fall sind die Terme bereits vereinfacht.

2. Gleichung lösen:

   • Subtrahiere \(x\) von beiden Seiten:
     \(3x + 10 - x = x + 26 - x\)
     \(2x + 10 = 26\)
   • Subtrahiere 10 von beiden Seiten:
     \(2x + 10 - 10 = 26 - 10\)
     \(2x = 16\)
   • Dividiere beide Seiten durch 2:
     \(\frac{2x}{2} = \frac{16}{2}\)
     \(x = 8\)

Antwort:
Die Lösung ist \(x = 8\).

Gerne, lass uns Aufgabe 3 von Seite 28 lösen.

Aufgabe 3 (Seite 28)

Aufgabenstellung: Notiere die nötige Äquivalenzumformung. Löse die Gleichung. Führe die Probe durch.
Die Gleichung lautet: \(x + 15 = 42\)

Lösungsweg:

1. Nötige Äquivalenzumformung notieren:

   • Um \(x\) zu isolieren, müssen wir die \(+15\) auf der linken Seite entfernen. Dies erreichen wir, indem wir 15 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.
   • Die Äquivalenzumformung ist: \(-15\)

2. Gleichung lösen:

   • \(x + 15 = 42\)
   • Subtrahiere 15 von beiden Seiten:
     \(x + 15 - 15 = 42 - 15\)
     \(x = 27\)

3. Probe durchführen:

   • Setze den gefundenen Wert für \(x\) (also 27) in die ursprüngliche Gleichung ein:
     \(27 + 15 = 42\)
     \(42 = 42\)
   • Die Probe ist erfolgreich, da beide Seiten der Gleichung gleich sind.

Antwort:
* Äquivalenzumformung: \(-15\)
* Lösung: \(x = 27\)

Absolut! Du möchtest die Aufgaben von der anderen Seite des Buches lösen. Hier sind die Lösungen für die Aufgaben 7, 8 und 9.

Aufgabe 7

Aufgabenstellung: Löse die Klammer auf und löse die Gleichung. Führe die Probe durch.

a) Gleichung: \(16 + (8 \cdot x - 50) = (10 - 2x)\)

• Klammer auflösen: Die Klammer steht vor einem Pluszeichen, daher können wir sie einfach weglassen.
  \(16 + 8x - 50 = 10 - 2x\)
• Terme zusammenfassen:
  \(8x - 34 = 10 - 2x\)
• Gleichung lösen:
  • Addiere \(2x\) zu beiden Seiten:
    \(8x - 34 + 2x = 10 - 2x + 2x\)
    \(10x - 34 = 10\)
  • Addiere 34 zu beiden Seiten:
    \(10x - 34 + 34 = 10 + 34\)
    \(10x = 44\)
  • Dividiere beide Seiten durch 10:
    \(x = \frac{44}{10} = 4,4\)
• Probe:
  \(16 + (8 \cdot 4,4 - 50) = (10 - 2 \cdot 4,4)\)
  \(16 + (35,2 - 50) = (10 - 8,8)\)
  \(16 + (-14,8) = 1,2\)
  \(1,2 = 1,2\)

Antwort a): \(x = 4,4\)

b) Gleichung: \(2 \cdot (5x + 9) = 10 \cdot (x + 2)\)

• Klammern auflösen:
  \(10x + 18 = 10x + 20\)
• Gleichung lösen:
  • Subtrahiere \(10x\) von beiden Seiten:
    \(10x + 18 - 10x = 10x + 20 - 10x\)
    \(18 = 20\)
• Analyse: Diese Aussage (\(18 = 20\)) ist falsch. Das bedeutet, dass es keine Lösung für diese Gleichung gibt.

Antwort b): Keine Lösung

c) Gleichung: \(5 \cdot (13x - 5) = 14 \cdot (3x - 1)\)

• Klammern auflösen:
  \(65x - 25 = 42x - 14\)
• Gleichung lösen:
  • Subtrahiere \(42x\) von beiden Seiten:
    \(65x - 25 - 42x = 42x - 14 - 42x\)
    \(23x - 25 = -14\)
  • Addiere 25 zu beiden Seiten:
    \(23x - 25 + 25 = -14 + 25\)
    \(23x = 11\)
  • Dividiere beide Seiten durch 23:
    \(x = \frac{11}{23}\)
• Probe:
  \(5 \cdot (13 \cdot \frac{11}{23} - 5) = 14 \cdot (3 \cdot \frac{11}{23} - 1)\)
  \(5 \cdot (\frac{143}{23} - \frac{115}{23}) = 14 \cdot (\frac{33}{23} - \frac{23}{23})\)
  \(5 \cdot (\frac{28}{23}) = 14 \cdot (\frac{10}{23})\)
  \(\frac{140}{23} = \frac{140}{23}\)

Antwort c): \(x = \frac{11}{23}\)

d) Gleichung: \(4x - (3x + 5) = 14 - (3 - 2x)\)

• Klammern auflösen: Achte auf das Minuszeichen vor der ersten Klammer.
  \(4x - 3x - 5 = 14 - 3 + 2x\)
• Terme zusammenfassen:
  \(x - 5 = 11 + 2x\)
• Gleichung lösen:
  • Subtrahiere \(x\) von beiden Seiten:
    \(x - 5 - x = 11 + 2x - x\)
    \(-5 = 11 + x\)
  • Subtrahiere 11 von beiden Seiten:
    \(-5 - 11 = 11 + x - 11\)
    \(-16 = x\)
• Probe:
  \(-16 - 5 = 14 - (3 - 2 \cdot (-16))\)
  \(-21 = 14 - (3 + 32)\)
  \(-21 = 14 - 35\)
  \(-21 = -21\)

Antwort d): \(x = -16\)

Aufgabe 8

Aufgabenstellung: Betrachte die folgenden Gleichungen. Setze für \(x\) nacheinander die Zahlen 2, 0 und -1 ein. Schreibe die Ergebnisse auf. Diskutiere darüber, was auffällt. Löst die Gleichungen.

a) Gleichung: \(2x + 7 = 3x + 5\)

• Einsetzen von \(x=2\):
  \(2(2) + 7 = 3(2) + 5\)
  \(4 + 7 = 6 + 5\)
  \(11 = 11\) (Stimmt)
• Einsetzen von \(x=0\):
  \(2(0) + 7 = 3(0) + 5\)
  \(0 + 7 = 0 + 5\)
  \(7 = 5\) (Stimmt nicht)
• Einsetzen von \(x=-1\):
  \(2(-1) + 7 = 3(-1) + 5\)
  \(-2 + 7 = -3 + 5\)
  \(5 = 2\) (Stimmt nicht)
• Diskussion: Nur für \(x=2\) ist die Gleichung erfüllt. Das bedeutet, dass \(x=2\) die Lösung dieser Gleichung ist.
• Gleichung lösen:
  • Subtrahiere \(2x\) von beiden Seiten:
    \(7 = x + 5\)
  • Subtrahiere 5 von beiden Seiten:
    \(2 = x\)

Antwort a): Die Lösung ist \(x=2\).

b) Gleichung: \(2x + 7 = 2x + 5\)

• Einsetzen von \(x=2\):
  \(2(2) + 7 = 2(2) + 5\)
  \(4 + 7 = 4 + 5\)
  \(11 = 9\) (Stimmt nicht)
• Einsetzen von \(x=0\):
  \(2(0) + 7 = 2(0) + 5\)
  \(0 + 7 = 0 + 5\)
  \(7 = 5\) (Stimmt nicht)
• Einsetzen von \(x=-1\):
  \(2(-1) + 7 = 2(-1) + 5\)
  \(-2 + 7 = -2 + 5\)
  \(5 = 3\) (Stimmt nicht)
• Diskussion: Die Gleichung ist für keine der eingesetzten Zahlen wahr.
• Gleichung lösen:
  • Subtrahiere \(2x\) von beiden Seiten:
    \(7 = 5\)
• Analyse: Diese Aussage (\(7=5\)) ist falsch. Das bedeutet, dass es keine Lösung für diese Gleichung gibt.

Antwort b): Keine Lösung

c) Gleichung: \(2x + 7 = 2x + 7\)

• Einsetzen von \(x=2\):
  \(2(2) + 7 = 2(2) + 7\)
  \(4 + 7 = 4 + 7\)
  \(11 = 11\) (Stimmt)
• Einsetzen von \(x=0\):
  \(2(0) + 7 = 2(0) + 7\)
  \(0 + 7 = 0 + 7\)
  \(7 = 7\) (Stimmt)
• Einsetzen von \(x=-1\):
  \(2(-1) + 7 = 2(-1) + 7\)
  \(-2 + 7 = -2 + 7\)
  \(5 = 5\) (Stimmt)
• Diskussion: Die Gleichung ist für alle eingesetzten Zahlen wahr. Das bedeutet, dass jede beliebige Zahl eine Lösung für diese Gleichung ist.
• Gleichung lösen:
  • Subtrahiere \(2x\) von beiden Seiten:
    \(7 = 7\)
• Analyse: Diese Aussage (\(7=7\)) ist immer wahr. Das bedeutet, dass die Gleichung für alle reellen Zahlen eine Lösung hat.

Antwort c): Jede reelle Zahl ist eine Lösung.

Aufgabe 9

Aufgabenstellung: Finde die Ausgangsgleichung, rechne nach.

a) Gegebene Lösung: \(x = 1,7\)

• Ausgangsgleichung: \(x + 1,7 = 3,4\)
• Nachrechnen (Probe):
  \(1,7 + 1,7 = 3,4\)
  \(3,4 = 3,4\) (Stimmt)

Antwort a): Die Ausgangsgleichung ist \(x + 1,7 = 3,4\).

b) Gegebene Lösung: \(x = -13\)

• Ausgangsgleichung: \(x - 13 = -26\)
• Nachrechnen (Probe):
  \(-13 - 13 = -26\)
  \(-26 = -26\) (Stimmt)

Antwort b): Die Ausgangsgleichung ist \(x - 13 = -26\).

c) Gegebene Lösung: \(x = -5\)

• Ausgangsgleichung: \(-3x = 15\)
• Nachrechnen (Probe):
  \(-3 \cdot (-5) = 15\)
  \(15 = 15\) (Stimmt)

Antwort c): Die Ausgangsgleichung ist \(-3x = 15\).

d) Gegebene Lösung: \(x = 0,2\)

• Ausgangsgleichung: \(x : 2 = 0,1\)
• Nachrechnen (Probe):
  \(0,2 : 2 = 0,1\)
  \(0,1 = 0,1\) (Stimmt)

Antwort d): Die Ausgangsgleichung ist \(x : 2 = 0,1\).