কোসাইন উপপাদ্য: সূত্র, প্রমাণ এবং সমস্যা

Name: Homiwork
Rating: 4.92 (18437 reviews)
Author: Homiwork

একটি বড় ত্রিভুজের পাশে জ্যামিতি মাসকট, একটি কোণ আর্ক দিয়ে চিহ্নিত

কোসাইন উপপাদ্য একটি ত্রিভুজের তিনটি বাহু এবং একটি কোণের মধ্যে সম্পর্ক স্থাপন করে: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$। এটি যেকোনো ত্রিভুজের ক্ষেত্রে কাজ করে, তাই ৯ম শ্রেণিতে যেখানে সমকোণ থাকে না, সেখানে এটি পিথাগোরাসের উপপাদ্যের বিকল্প হিসেবে ব্যবহৃত হয়। এর সাহায্যে দুটি বাহু এবং তাদের মধ্যবর্তী কোণ জানা থাকলে তৃতীয় বাহুটি বের করা যায়, এবং অনুসিদ্ধান্ত $\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$ ব্যবহার করে তিনটি বাহু থেকে যেকোনো কোণ এবং ত্রিভুজের ধরন নির্ণয় করা যায়। এই পৃষ্ঠায় সূত্রটির বর্ণনা, তিনটি রূপ, প্রমাণ, কোসাইনের সারণি, 'সাইন নাকি কোসাইন' মনে রাখার টিপস, OGE পরীক্ষার সমস্যার সমাধান এবং অনুশীলনের জন্য একটি কুইজ রয়েছে।

কোসাইন উপপাদ্য: বর্ণনা এবং সূত্র

কোসাইন উপপাদ্য যেকোনো ত্রিভুজে কাজ করে — এর জন্য সমকোণের প্রয়োজন নেই। এটি তিনটি বাহু এবং একটি কোণের মধ্যে সম্পর্ক স্থাপন করে, তাই দুটি বাহু এবং তাদের মধ্যবর্তী কোণ জানা থাকলে এর সাহায্যে তৃতীয় বাহু নির্ণয় করা যায়।

বর্ণনা। ত্রিভুজের যেকোনো বাহুর বর্গ অপর দুই বাহুর বর্গের সমষ্টি থেকে ওই দুই বাহু এবং তাদের মধ্যবর্তী কোণের কোসাইনের গুণফলের দ্বিগুণ বিয়োগফলের সমান।

\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C\]

এখানে $a$, $b$, $c$ হলো ত্রিভুজের বাহু এবং $C$ হলো $a$ ও $b$ বাহুর মধ্যবর্তী কোণ; $c$ বাহুটি এই কোণের বিপরীত দিকে অবস্থিত। যেকোনো অক্ষর ব্যবহার করা যেতে পারে — সূত্রটি প্রতিসাম্য, তাই এর তিনটি সমান রূপ রয়েছে:

\[a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A\]

\[b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos B\]

মান বসানোর প্রধান নিয়ম: আমরা সেই কোণটি নেব যা গুণফলের বাহু দুটির মধ্যবর্তী, এবং আমরা সেই বাহুটি খুঁজে বের করব যা তার বিপরীতে অবস্থিত। যদি 'পাশের' কোণটি নেওয়া হয়, তবে সব সংখ্যা শর্ত থেকে আসবে, কিন্তু উত্তরটি ভুল হবে।

c² = a² + b² − 2ab · cos C a² = b² + c² − 2bc · cos A b² = a² + c² − 2ac · cos B

আমরা সেই কোণটি নেব যা গুণফলের বাহু দুটির মধ্যবর্তী, এবং আমরা সেই বাহুটি খুঁজে বের করব যা তার বিপরীতে অবস্থিত: কোণ C — a এবং b এর মধ্যবর্তী, বাহু c — বিপরীতে।

কেন পিথাগোরাসের উপপাদ্য কোসাইন উপপাদ্যের একটি বিশেষ ক্ষেত্র

সূত্রে একটি সমকোণ বসাই, অর্থাৎ $C = 90°$। সমকোণের কোসাইন শূন্য, তাই তৃতীয় পদটি সম্পূর্ণ শূন্য হয়ে যায়:

\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos 90° = a^2 + b^2 - 2ab \cdot 0 = a^2 + b^2.\]

ঠিক পিথাগোরাসের উপপাদ্যটি পাওয়া গেল, যা ৮ম শ্রেণিতে পরিচিত। তাই কোসাইন উপপাদ্যকে এর সাধারণ রূপ বলা হয়: পিথাগোরাস হলো '90° এর বিশেষ ক্ষেত্র', আর কোসাইন উপপাদ্য সব কোণের জন্যই কাজ করে।

$-2ab\cos C$ পদটিকে কোণের অ-সমকোণ হওয়ার সংশোধন হিসেবে বোঝা সুবিধাজনক:

কোণ সূক্ষ্ম, $\cos C > 0$ — সংশোধনটি বিয়োগ হয়, বাহু $c$ পিথাগোরাসের মানের চেয়ে ছোট হয়;
কোণ সমকোণ, $\cos C = 0$ — কোনো সংশোধন নেই, $c^2 = a^2 + b^2$ থাকে;
কোণ স্থূল, $\cos C < 0$ — সংশোধনটি যোগ হয়, বাহু $c$ দীর্ঘ হয়।

কোসাইন উপপাদ্য নিইc² = a² + b² − 2ab · cos C

কোণটিকে সমকোণ করিC = 90°, cos 90° = 0 → 2ab · 0 = 0

পিথাগোরাসের উপপাদ্য অবশিষ্ট থাকেc² = a² + b²

কোসাইন উপপাদ্যের প্রমাণ

সবচেয়ে সংক্ষিপ্ত স্কুল প্রমাণ হলো স্থানাঙ্ক পদ্ধতি। শীর্ষবিন্দু $C$ কে স্থানাঙ্ক অক্ষের মূলবিন্দুতে রাখি এবং বাহু $b = CA$ কে $x$ অক্ষ বরাবর রাখি। তখন শীর্ষবিন্দুগুলোর স্থানাঙ্ক হলো:

$C(0;\ 0)$ — মূলবিন্দু;
$A(b;\ 0)$ — $x$ অক্ষের ওপর মূলবিন্দু থেকে $b$ দূরত্বে একটি বিন্দু;
$B(a\cos C;\ a\sin C)$ — মূলবিন্দু থেকে $a$ দূরত্বে $x$ অক্ষের সাথে $C$ কোণে অবস্থিত শীর্ষবিন্দু।

বাহু $c$ হলো $AB$ রেখাংশের দৈর্ঘ্য। দুটি বিন্দুর মধ্যবর্তী দূরত্বের সূত্র ব্যবহার করে এটি গণনা করি:

\[c^2 = (a\cos C - b)^2 + (a\sin C)^2\]

বন্ধনী খুলি:

\[c^2 = a^2\cos^2 C - 2ab\cos C + b^2 + a^2\sin^2 C\]

$a^2$ যুক্ত পদগুলোকে একত্রিত করি এবং মৌলিক ত্রিকোণমিতিক অভেদ $\sin^2 C + \cos^2 C = 1$ প্রয়োগ করি:

\[c^2 = a^2(\cos^2 C + \sin^2 C) + b^2 - 2ab\cos C = a^2 + b^2 - 2ab\cos C.\]

যা প্রমাণ করার প্রয়োজন ছিল। লক্ষ্য করুন: কোণ $C$ সূক্ষ্ম হতে হবে এমন কোনো শর্ত কোথাও প্রয়োজন হয়নি। যদি এটি স্থূল হয়, কোসাইন ঋণাত্মক হয়, স্থানাঙ্ক $a\cos C$ $y$ অক্ষের বাম দিকে চলে যায়, কিন্তু সমস্ত হিসাব একই থাকে — তাই উপপাদ্যটি যেকোনো ত্রিভুজের জন্য সত্য।

শীর্ষবিন্দু C — মূলবিন্দুতে, বাহু b x-অক্ষের ওপর অবস্থিত। তখন শীর্ষবিন্দু B এর স্থানাঙ্ক বাহু a এবং কোণ C এর মাধ্যমে প্রকাশ করা হয়।

অনুসিদ্ধান্ত: তিনটি বাহু থেকে কীভাবে কোণ নির্ণয় করবেন

কোসাইন উপপাদ্য থেকে কোসাইন নিজেই প্রকাশ করা হয় — এটি এর প্রধান অনুসিদ্ধান্ত। তিনটি বাহুই জানা থাকলে এর সাহায্যে কোণ নির্ণয় করা হয়:

\[\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}\]

লবে রয়েছে কোণের সংলগ্ন দুটি বাহুর বর্গের সমষ্টি থেকে কোণের বিপরীত বাহুর বর্গের বিয়োগফল। হরে রয়েছে সংলগ্ন বাহু দুটির গুণফলের দ্বিগুণ। অন্যান্য কোণের জন্য সূত্রগুলো একই:

\[\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}, \qquad \cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}\]

সমাধানের ধাপ:

কাঙ্ক্ষিত কোণটি নির্বাচন করুন এবং দেখুন কোন বাহুটি তার বিপরীতে অবস্থিত — তার বর্গ লবে বিয়োগ চিহ্নসহ যাবে;
ভগ্নাংশটি গণনা করুন (হর সর্বদা ধনাত্মক, লবই কেবল চিহ্ন নির্ধারণ করে);
সারণির মান বা আর্ককোসাইন ব্যবহার করে কোণটি নির্ণয় করুন।

উপকারী কৌশল: বৃহত্তম বাহু থেকে শুরু করা। এর বিপরীতে বৃহত্তম কোণটি থাকে, এবং কেবল এটিই সমকোণ বা স্থূলকোণ হতে পারে — ত্রিভুজের অন্য দুটি কোণ সর্বদা সূক্ষ্মকোণ হয়।

স্থূলকোণের কোসাইন ঋণাত্মক: মানের সারণি

স্কুল পরীক্ষায় কোণগুলো প্রায়ই 'সারণিভুক্ত' থাকে: 30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 135°, 150°। সূক্ষ্মকোণের কোসাইন ধনাত্মক, সমকোণের শূন্য, এবং স্থূলকোণের — ঋণাত্মক। স্থূলকোণের মানগুলো সূক্ষ্মকোণের মান থেকে $\cos(180° - \alpha) = -\cos\alpha$ নিয়ম ব্যবহার করে পাওয়া যায়: উদাহরণস্বরূপ, $\cos 120° = -\cos 60° = -0{,}5$।

বাস্তবে এর অর্থ: স্থূলকোণের ক্ষেত্রে $-2ab\cos C$ রাশিটি প্লাসে পরিণত হয় — মাইনাসে মাইনাসে প্লাস। $120°$ কোণের জন্য সূত্রটি এমন দেখায়:

\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot (-0{,}5) = a^2 + b^2 + ab.\]

ঠিক এখানেই সবচেয়ে বেশি নম্বর কাটা যায়: $-0{,}5$ এর পরিবর্তে $0{,}5$ বসানো হয় এবং বাহুটিকে প্রদত্ত বাহুগুলোর চেয়ে ছোট পাওয়া যায়। এটি নিশ্চিতভাবেই অসম্ভব — স্থূলকোণের বিপরীতে ত্রিভুজের দীর্ঘতম বাহুটি থাকে।

কোণ	কোসাইন
30°	√3/2 ≈ 0,87
45°	√2/2 ≈ 0,71
60°	1/2 = 0,5
90°	0
120°	−1/2 = −0,5
135°	−√2/2 ≈ −0,71
150°	−√3/2 ≈ −0,87

রূপান্তরের নিয়ম: cos(180° − α) = −cos α. সবুজ মানগুলো সূক্ষ্মকোণ দেয়, গোলাপিগুলো — স্থূলকোণ।

তিনটি বাহু থেকে ত্রিভুজের ধরন কীভাবে নির্ধারণ করবেন

কোসাইন উপপাদ্য প্রটেক্টর ছাড়াই ত্রিভুজের ধরন জানতে সাহায্য করে। $\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$ ভগ্নাংশের চিহ্ন কেবল লবের ওপর নির্ভর করে: হর $2ab$ সর্বদা ধনাত্মক। সুতরাং, বৃহত্তম বাহুর বর্গকে অপর দুই বাহুর বর্গের সমষ্টির সাথে তুলনা করাই যথেষ্ট।

ধরি $c$ বৃহত্তম বাহু, তখন তার বিপরীতে বৃহত্তম কোণ $C$ থাকে:

$a^2 + b^2 > c^2$ → $\cos C > 0$ → কোণ $C$ সূক্ষ্ম। অন্য কোণগুলো এর চেয়ে ছোট, তাই তিনটি কোণই সূক্ষ্ম — ত্রিভুজটি সূক্ষ্মকোণী;
$a^2 + b^2 = c^2$ → $\cos C = 0$ → $C = 90°$ — ত্রিভুজটি সমকোণী (এটিই পিথাগোরাসের বিপরীত উপপাদ্য);
$a^2 + b^2 < c^2$ → $\cos C < 0$ → কোণ $C$ স্থূল — ত্রিভুজটি স্থূলকোণী।

অন্য কোণগুলো পরীক্ষা করার প্রয়োজন নেই: ত্রিভুজে সমকোণ বা স্থূলকোণ কেবল একটিই হতে পারে। এবং ত্রিভুজ অসমতা মনে রাখবেন — যদি বৃহত্তম বাহু অপর দুই বাহুর সমষ্টির চেয়ে ছোট না হয়, তবে এমন বাহুবিশিষ্ট ত্রিভুজ আদৌ অস্তিত্বশীল নয়।

a² + b² > c²cos C > 0, কোণ C সূক্ষ্মসূক্ষ্মকোণীউদাহরণ: 5, 6, 7

a² + b² = c²cos C = 0, কোণ C সমকোণসমকোণীউদাহরণ: 8, 15, 17

a² + b² < c²cos C < 0, কোণ C স্থূলস্থূলকোণীউদাহরণ: 4, 7, 9

তিনটি ক্ষেত্রেই c — ত্রিভুজের বৃহত্তম বাহু: কেবল এর বিপরীতেই সমকোণ বা স্থূলকোণ থাকতে পারে।

সাইন নাকি কোসাইন উপপাদ্য: কীভাবে বেছে নেবেন

উভয় উপপাদ্যই একই সমস্যার সমাধান করে — ত্রিভুজের অজানা বাহু ও কোণ নির্ণয় করে, — কিন্তু বিভিন্ন তথ্যের ওপর ভিত্তি করে কাজ করে। সাইন উপপাদ্য একটি বাহু এবং তার বিপরীত কোণের মধ্যে সম্পর্ক স্থাপন করে:

\[\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R\]

এখান থেকেই নির্বাচনের নিয়ম: যদি শর্তে ইতিমধ্যে 'একটি বাহু এবং তার বিপরীত কোণ' জোড়া থাকে — তবে সাইন উপপাদ্য কাজ করে; যদি এমন কোনো জোড়া না থাকে — তবে কোসাইন উপপাদ্য দিয়ে শুরু করি। চারটি স্কুল ডেটা সেটের টিপস সারণিতে দেওয়া আছে।

প্রায়শই সমস্যাটি দুই ধাপে সমাধান করা হয়: প্রথমে কোসাইন উপপাদ্য তৃতীয় বাহু দেয়, এবং তারপর সাইন উপপাদ্য দ্রুত অবশিষ্ট কোণগুলো খুঁজে বের করে।

কী জানা আছে	কী প্রয়োগ করব
SASদুটি বাহু এবং তাদের মধ্যবর্তী কোণ	কোসাইন উপপাদ্যতৃতীয় বাহু নির্ণয়
SSSতিনটি বাহুই	কোসাইন উপপাদ্যযেকোনো কোণ এবং ত্রিভুজের ধরন নির্ণয়
ASAএকটি বাহু এবং দুটি কোণ	সাইন উপপাদ্যঅন্য দুটি বাহু নির্ণয়
SSAদুটি বাহু এবং একটির বিপরীত কোণ	সাইন উপপাদ্যবিপরীত কোণ নির্ণয়

SSA এর ক্ষেত্রে দুটি সমাধান থাকতে পারে: সাইন সূক্ষ্ম এবং স্থূলকোণের মধ্যে পার্থক্য করতে পারে না, তাই উভয় বিকল্পই সমস্যার শর্ত অনুযায়ী পরীক্ষা করা উচিত।

OGE সমস্যায় কোসাইন উপপাদ্য

গণিত OGE পরীক্ষায় কোসাইন উপপাদ্য প্ল্যানিমেট্রিক সমস্যায় দেখা যায় — প্রথম অংশে এবং বিস্তারিত উত্তরের সমস্যায়। সাধারণ বিষয়গুলো হলো:

দুটি বাহু এবং তাদের মধ্যবর্তী কোণ থেকে বাহু নির্ণয় — সূত্রের সরাসরি প্রয়োগ, প্রায়শই 60° বা 120° কোণসহ।
তিনটি বাহু থেকে কোণ বা তার কোসাইন নির্ণয় — অনুসিদ্ধান্ত $\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$। যদি প্রশ্নে '$\cos\angle A$ নির্ণয় করুন' লেখা থাকে, তবে আর্ককোসাইন নেওয়ার প্রয়োজন নেই: উত্তর হলো সেই ভগ্নাংশটি, সেটিই লিখতে হবে।
সামান্তরিকের কর্ণ। কর্ণটি দুটি বাহু এবং তাদের মধ্যবর্তী কোণবিশিষ্ট একটি ত্রিভুজ তৈরি করে। সামান্তরিকের সংলগ্ন কোণগুলোর সমষ্টি 180°, তাই তাদের কোসাইন বিপরীত: সূক্ষ্মকোণের বিপরীতে ছোট কর্ণ থাকে, স্থূলকোণের বিপরীতে — বড় কর্ণ।
তিনটি সংখ্যা থেকে ত্রিভুজের ধরন — $a^2 + b^2$ কে $c^2$ এর সাথে তুলনা।
ত্রিভুজের মধ্যমা। সূত্র $m_c = \frac{1}{2}\sqrt{2a^2 + 2b^2 - c^2}$ ভূমির সংলগ্ন দুটি কোণের জন্য কোসাইন উপপাদ্যের দ্বিগুণ প্রয়োগ থেকে উদ্ভূত হয়।

পরীক্ষার টিপস: গণনা করার আগে, চিত্রে সেই কোণটি চিহ্নিত করুন যা জানা বাহুগুলোর 'মাঝে' আছে। যদি এমন কোনো কোণ না থাকে — তবে কোসাইন উপপাদ্য প্রয়োগযোগ্য নয়, অন্য পথ খুঁজতে হবে।

কোসাইন উপপাদ্য সংক্রান্ত সমস্যার সমাধানের উদাহরণ

উদাহরণ 1. দুটি বাহু এবং 60° কোণ থেকে বাহু নির্ণয়

সমস্যা। ত্রিভুজ $ABC$ এর বাহু $a = 7$ এবং $b = 15$, মধ্যবর্তী কোণ $C = 60°$। বাহু $c$ নির্ণয় করুন।

ধাপ 1. কোণ $C$ বাহু $a$ এবং $b$ এর মধ্যবর্তী — এটি ঠিক সেই ক্ষেত্র যার জন্য উপপাদ্যটি তৈরি:

\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C.\]

ধাপ 2. সংখ্যাগুলো বসাই, $\cos 60° = 0{,}5$:

\[c^2 = 7^2 + 15^2 - 2 \cdot 7 \cdot 15 \cdot 0{,}5 = 49 + 225 - 105 = 169.\]

ধাপ 3. বর্গমূল করি: $c = \sqrt{169} = 13$.

উত্তর: $13$। যৌক্তিক যাচাই: 60° কোণটি সূক্ষ্ম, তাই এর বিপরীত বাহুটি দীর্ঘতম নয় — এবং সত্যিই, $13 < 15$।

উদাহরণ 2. স্থূলকোণ: মাইনাসে মাইনাসে প্লাস

সমস্যা। ত্রিভুজ $ABC$ এ জানা আছে: $AB = 6$, $BC = 10$, কোণ $B = 120°$। বাহু $AC$ নির্ণয় করুন।

ধাপ 1. কোণ $B$ বাহু $AB$ এবং $BC$ এর মধ্যবর্তী, এবং বাহু $AC$ তার বিপরীতে অবস্থিত:

\[AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos B.\]

ধাপ 2. কোণটি স্থূল, তাই $\cos 120° = -0{,}5$। গুণফলের আগের মাইনাস এবং কোসাইনের মাইনাস প্লাস দেয়:

\[AC^2 = 36 + 100 - 2 \cdot 6 \cdot 10 \cdot (-0{,}5) = 136 + 60 = 196.\]

ধাপ 3. $AC = \sqrt{196} = 14$.

উত্তর: $14$। যাচাই: স্থূলকোণের বিপরীতে দীর্ঘতম বাহুটি থাকে — $14$, 6 এবং 10 উভয়ের চেয়ে বড়।

উদাহরণ 3. তিনটি বাহু থেকে কোণ নির্ণয়

সমস্যা। ত্রিভুজের বাহুগুলো $3$, $5$ এবং $7$। এর বৃহত্তম কোণটি নির্ণয় করুন।

ধাপ 1. বৃহত্তম কোণটি বৃহত্তম বাহুর বিপরীতে থাকে, অর্থাৎ $7$ বাহুর বিপরীতে। একে $C$ ধরি, তখন $c = 7$, এবং সংলগ্ন বাহু $a = 3$ ও $b = 5$।

ধাপ 2. অনুসিদ্ধান্ত প্রয়োগ করি:

\[\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} = \frac{9 + 25 - 49}{2 \cdot 3 \cdot 5} = \frac{-15}{30} = -0{,}5.\]

ধাপ 3. কোসাইন ঋণাত্মক — কোণটি স্থূল। সারণি অনুযায়ী $\cos 120° = -0{,}5$, অর্থাৎ $C = 120°$.

উত্তর: $120°$। পাশাপাশি জানা গেল যে ত্রিভুজটি স্থূলকোণী।

উদাহরণ 4. ত্রিভুজের ধরন নির্ধারণ

সমস্যা। $6$, $7$ এবং $10$ বাহুবিশিষ্ট ত্রিভুজের ধরন নির্ধারণ করুন।

ধাপ 1. ত্রিভুজ অসমতা পরীক্ষা করি: $6 + 7 = 13 > 10$ — ত্রিভুজটি অস্তিত্বশীল। বৃহত্তম বাহু — $10$।

ধাপ 2. বৃহত্তম বাহুর বর্গের সাথে অপর দুই বাহুর বর্গের সমষ্টি তুলনা করি:

\[6^2 + 7^2 = 36 + 49 = 85, \qquad 10^2 = 100.\]

ধাপ 3. $85 < 100$, অর্থাৎ ভগ্নাংশের লব ঋণাত্মক এবং $\cos C < 0$ — $10$ বাহুর বিপরীত কোণটি স্থূল। চাইলে কোণটিও নির্ণয় করা যায়:

\[\cos C = \frac{85 - 100}{2 \cdot 6 \cdot 7} = \frac{-15}{84} \approx -0{,}18 \Rightarrow C \approx 100°.\]

উত্তর: ত্রিভুজটি স্থূলকোণী। লক্ষ্য করুন: 'চোখের দেখায়' এটি বোঝা যায় না — বাহুগুলো প্রায় সমান, কিন্তু কোণটি 90° ছাড়িয়ে গেছে।

উদাহরণ 5. OGE স্তরের সমস্যা: সামান্তরিকের কর্ণ

সমস্যা। সামান্তরিকের বাহুগুলো $5$ এবং $8$, সূক্ষ্মকোণ $60°$। ছোট কর্ণটি নির্ণয় করুন।

ধাপ 1. কর্ণটি একটি ত্রিভুজ তৈরি করে, যার দুটি বাহু ($5$ এবং $8$) এবং মধ্যবর্তী কোণ জানা। ছোট কর্ণটি 60° সূক্ষ্মকোণের বিপরীতে থাকে।

ধাপ 2. গণনা করি:

\[d^2 = 5^2 + 8^2 - 2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \cos 60° = 25 + 64 - 40 = 49 \Rightarrow d = 7.\]

ধাপ 3. যাচাই। দ্বিতীয় কর্ণটি 120° কোণের বিপরীতে থাকে (সামান্তরিকের সংলগ্ন কোণের সমষ্টি 180°): $D^2 = 89 + 40 = 129$, অর্থাৎ $D = \sqrt{129} \approx 11{,}4$। কর্ণের বর্গের সমষ্টি $49 + 129 = 178$, এবং বাহুর বর্গের দ্বিগুণ সমষ্টি — $2(25 + 64) = 178$। মিলে গেছে, অর্থাৎ গণনা সঠিক।

উত্তর: $7$।

কোসাইন উপপাদ্য সংক্রান্ত সাধারণ ভুল

স্থূলকোণের কোসাইন প্লাস চিহ্নসহ নেওয়া। 4 এবং 9 বাহু এবং 120° কোণের জন্য তারা লেখে $c^2 = 16 + 81 - 2 \cdot 4 \cdot 9 \cdot 0{,}5 = 61$ এবং $c \approx 7{,}8$ পায়।

$\cos 120° = -0{,}5$, আর মাইনাসে মাইনাসে প্লাস হয়: $c^2 = 97 + 36 = 133$, অর্থাৎ $c = \sqrt{133} \approx 11{,}5$। দ্রুত যাচাই: স্থূলকোণের বিপরীতে দীর্ঘতম বাহুটি থাকে, তাই উত্তর 9 এর চেয়ে বড় হতে হবে।
প্রদত্ত বাহুগুলোর মধ্যবর্তী নয় এমন কোণ বসানো: শর্তে একটি কোণ দেওয়া থাকে, এবং চিত্রে না দেখে সেটি 'যেমন আছে' তেমন নেওয়া হয়।

সূত্র $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$ এ $a$ এবং $b$ বাহু $C$ কোণ তৈরি করে, এবং $c$ বাহু তার বিপরীতে থাকে। যদি জানা কোণটি কাঙ্ক্ষিত বাহুর সংলগ্ন হয়, তবে এই রূপটি কাজ করে না — তিনটির মধ্যে অন্য একটি বা সাইন উপপাদ্য প্রয়োজন।
বর্গমূল করতে ভুলে যাওয়া এবং বাহুর বর্গকে উত্তর হিসেবে লেখা: $c^2 = 225$ পেয়ে লেখা 'বাহু 225'।

সূত্র সর্বদা বাহুর বর্গ দেয়। শেষ ধাপটি বাধ্যতামূলক: $c = \sqrt{225} = 15$। উত্তর লেখার আগে সমস্যার প্রশ্নটি পুনরায় পড়ুন।
অনুসিদ্ধান্তে পদের ক্রম গুলিয়ে ফেলা এবং লেখা $\cos C = \dfrac{c^2 - a^2 - b^2}{2ab}$।

সঠিক লব হলো $a^2 + b^2 - c^2$: সংলগ্ন বাহুর বর্গের সমষ্টি থেকে বিপরীত বাহুর বর্গ বিয়োগ। স্থান পরিবর্তন করলে ভগ্নাংশের চিহ্ন বিপরীত হয়ে যায়, এবং 120° স্থূলকোণের পরিবর্তে 60° সূক্ষ্মকোণ পাওয়া যায়।
কোসাইনের মডুলাস থেকে কোণ নির্ণয়: −0,25 পেয়ে উত্তরে সূক্ষ্মকোণ লেখা, যেন কোসাইন +0,25 ছিল।

ঋণাত্মক কোসাইন — সর্বদা স্থূলকোণ। চিহ্ন হারানো যাবে না: cos 60° = 0,5, আর cos 120° = −0,5; ঋণাত্মক সংখ্যার আর্ককোসাইন 90° এর চেয়ে বড়।
সাইন উপপাদ্য দিয়ে 'দুটি বাহু এবং মধ্যবর্তী কোণ' সমস্যা সমাধানের চেষ্টা করা এবং প্রথম ধাপেই আটকে যাওয়া।

সাইন উপপাদ্যের জন্য 'বাহু এবং বিপরীত কোণ' জোড়া প্রয়োজন। দুটি বাহু এবং মধ্যবর্তী কোণের ক্ষেত্রে এমন কোনো জোড়া নেই — প্রথমে কোসাইন উপপাদ্য তৃতীয় বাহু দেয়, এবং কেবল তখনই সাইন উপপাদ্য যুক্ত হয়।

প্রশ্ন এবং উত্তর

কোসাইন উপপাদ্য কীভাবে শোনায়?

ত্রিভুজের যেকোনো বাহুর বর্গ অপর দুই বাহুর বর্গের সমষ্টি থেকে ওই দুই বাহু এবং তাদের মধ্যবর্তী কোণের কোসাইনের গুণফলের দ্বিগুণ বিয়োগফলের সমান: c² = a² + b² − 2ab·cos C। উপপাদ্যটি যেকোনো ত্রিভুজের জন্য সত্য, কেবল সমকোণী ত্রিভুজের জন্য নয়।

দুটি বাহু এবং মধ্যবর্তী কোণ থেকে ত্রিভুজের বাহু কীভাবে নির্ণয় করবেন?

তথ্যগুলো c² = a² + b² − 2ab·cos C সূত্রে বসান এবং বর্গমূল করুন। উদাহরণস্বরূপ, 4 এবং 6 বাহু এবং 60° কোণের জন্য: c² = 16 + 36 − 2·4·6·0,5 = 28, অর্থাৎ c = √28 ≈ 5,3।

তিনটি বাহু জানা থাকলে ত্রিভুজের কোণ কীভাবে নির্ণয় করবেন?

কোসাইন উপপাদ্যের অনুসিদ্ধান্ত থেকে: cos C = (a² + b² − c²) / (2ab), যেখানে c কাঙ্ক্ষিত কোণের বিপরীত বাহু। উদাহরণস্বরূপ, 2, 3 এবং 4 বাহুর জন্য বৃহত্তম কোণের কোসাইন (4 + 9 − 16) / (2·2·3) = −0,25, অর্থাৎ কোণটি স্থূল, প্রায় 104°।

কেন পিথাগোরাসের উপপাদ্য কোসাইন উপপাদ্যের একটি বিশেষ ক্ষেত্র?

কারণ সমকোণের ক্ষেত্রে cos 90° = 0, এবং পদ −2ab·cos C শূন্য হয়ে যায়। সূত্র থেকে c² = a² + b² অবশিষ্ট থাকে — এটিই সমকোণী ত্রিভুজের জন্য পিথাগোরাসের উপপাদ্য।

কোসাইন উপপাদ্য কি স্থূলকোণী ত্রিভুজে কাজ করে?

হ্যাঁ, এবং কোনো পরিবর্তন ছাড়াই কাজ করে। স্থূলকোণের কোসাইন ঋণাত্মক, তাই পদ −2ab·cos C ধনাত্মক হয়ে বর্গের সমষ্টির সাথে যোগ হয়। ঠিক এই কারণেই স্থূলকোণের বিপরীত বাহুটি দীর্ঘতম হয়।

কখন সাইন উপপাদ্য এবং কখন কোসাইন উপপাদ্য প্রয়োগ করবেন?

সাইন উপপাদ্য প্রয়োজন যখন শর্তে ইতিমধ্যে 'বাহু এবং তার বিপরীত কোণ' জোড়া থাকে — উদাহরণস্বরূপ, একটি বাহু এবং দুটি কোণ দেওয়া আছে। কোসাইন উপপাদ্য — যখন এমন কোনো জোড়া নেই: দুটি বাহু এবং মধ্যবর্তী কোণ বা তিনটি বাহুই দেওয়া আছে। প্রায়শই সমস্যাটি দুই ধাপে সমাধান করা হয়: প্রথমে কোসাইন, তারপর সাইন।

তিনটি বাহু থেকে ত্রিভুজের ধরন কীভাবে নির্ধারণ করবেন?

বৃহত্তম বাহুর বর্গ c² কে অপর দুই বাহুর বর্গের সমষ্টির সাথে তুলনা করুন। যদি a² + b² > c² — ত্রিভুজ সূক্ষ্মকোণী, যদি a² + b² = c² — সমকোণী, যদি a² + b² < c² — স্থূলকোণী। এই পার্থক্যের চিহ্ন বৃহত্তম কোণের কোসাইনের চিহ্নের সাথে মিলে যায়।

কোসাইন উপপাদ্য কোন শ্রেণিতে পড়ানো হয়?

৯ম শ্রেণিতে জ্যামিতি ক্লাসে, 'ত্রিভুজের বাহু ও কোণের সম্পর্ক' অধ্যায়ে — সাইন উপপাদ্যের সাথে। এরপর এটি নিয়মিতভাবে OGE এবং ЕГЭ এর প্ল্যানিমেট্রি এবং স্টেরিওমেট্রি সমস্যায় ব্যবহৃত হয়।

প্রশ্ন বাকি আছে? চ্যাটে চালিয়ে যান

আমার সমস্যা সমাধান করুন আমার সমাধান পরীক্ষা করুন ত্রিভুজের বাহু নির্ণয় করুন তিনটি বাহু থেকে কোণ নির্ণয় করুন সাইন নাকি কোসাইন? অনুশীলনের জন্য সমস্যা দিন

ব্যবহারকারী #4365351

আমি ফটো-অন-টেক্সট এডিটরটি সত্যিই পছন্দ করেছি — ফলাফলটি একেবারে মাস্টারপিস হয়েছে।

Web · মে 2026

ব্যবহারকারী #4383661

ধন্যবাদ, নিউরাল নেটওয়ার্কের কাজ আমাকে সত্যিই মুগ্ধ করেছে। নিখুঁত!

ব্যবহারকারী #4279467

আমি এটি সত্যিই পছন্দ করি — আরও কয়েকটি ফ্রি ট্রায়াল থাকলে খুব ভালো হতো।

Google Play · মে 2026

ব্যবহারকারী #4160129

সাশ্রয়ী মূল্যের একটি চমৎকার অ্যাপ।