সদৃশ ত্রিভুজ: বৈশিষ্ট্য এবং সদৃশতার অনুপাত

Name: Homiwork
Rating: 4.92 (18437 reviews)
Author: Homiwork

একই আকারের কিন্তু ভিন্ন আকারের দুটি ত্রিভুজের পাশে একজন জ্যামিতিক মাসকট কম্পাস নিয়ে দাঁড়িয়ে আছে

সদৃশ ত্রিভুজ হলো একই আকারের কিন্তু ভিন্ন আকারের ত্রিভুজ: তাদের কোণগুলি যথাক্রমে সমান, এবং সদৃশ বাহুগুলি সমানুপাতিক। যে সংখ্যা একটি ত্রিভুজ অন্যটির চেয়ে কত গুণ বড় তা নির্দেশ করে, তাকে সদৃশতার অনুপাত $k$ বলা হয়। তিনটি বৈশিষ্ট্য সদৃশতা প্রমাণ করতে সাহায্য করে, এবং পরিসীমা ও ক্ষেত্রফলের অনুপাত একটি সহজ নিয়ম মেনে চলে: পরিসীমা $k$ অনুপাতে এবং ক্ষেত্রফল $k^2$ অনুপাতে থাকে। এই পৃষ্ঠায় — সংজ্ঞা এবং শীর্ষবিন্দুগুলির সঠিক ক্রমে সদৃশতা লেখা, তিনটি বৈশিষ্ট্য, সমকোণী ত্রিভুজের সদৃশতা এবং সমকোণী ত্রিভুজের উচ্চতা, OGE সমস্যা সমাধান «বাহু খুঁজুন» এবং একটি ইন্টারেক্টিভ প্রশিক্ষক।

সদৃশ ত্রিভুজ এবং সদৃশতার অনুপাত কী?

দুটি ত্রিভুজকে সদৃশ বলা হয়, যদি দুটি শর্ত পূরণ হয়:

তাদের কোণগুলি যথাক্রমে সমান — প্রথম ত্রিভুজের প্রতিটি কোণের জন্য দ্বিতীয় ত্রিভুজের একটি সমান কোণ রয়েছে;
তাদের সদৃশ বাহুগুলি সমানুপাতিক — তিনটি অনুপাত একই সংখ্যা দেয়।

সদৃশ (অনুরূপ) বাহু — সমান কোণের বিপরীতে অবস্থিত বাহুগুলি। এগুলি সেই জোড়া তৈরি করে যার মধ্যে অনুপাত গণনা করা হয়।

সদৃশতা $\sim$ চিহ্ন দিয়ে লেখা হয়:

\[\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1\]

সদৃশতার অনুপাত $k$ — সদৃশ বাহুগুলির সেই একই অনুপাত:

\[k = \frac{A_1B_1}{AB} = \frac{B_1C_1}{BC} = \frac{A_1C_1}{AC}\]

যদি $k > 1$ হয়, দ্বিতীয় ত্রিভুজটি প্রথমটির চেয়ে বড়; যদি $k < 1$ হয় — ছোট; $k = 1$ হলে ত্রিভুজগুলি কেবল সমান হয়, কারণ সমতা সদৃশতার একটি বিশেষ ক্ষেত্র।

লেখার মধ্যে শীর্ষবিন্দুগুলির ক্রম — এটি কোনো আনুষ্ঠানিকতা নয়

$\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$ লেখাটি কঠোরভাবে অবস্থান অনুসারে পড়া হয়: $A$ corresponds to $A_1$, $B$ — $B_1$, $C$ — $C_1$. এখান থেকে সরাসরি বোঝা যায় কোন কোণগুলি সমান ($\angle A = \angle A_1$) এবং কোন বাহুগুলি সদৃশ ($AB$ এবং $A_1B_1$, $BC$ এবং $B_1C_1$, $AC$ এবং $A_1C_1$)।

যদি অক্ষরগুলি অদলবদল করা হয় এবং $\triangle ABC \sim \triangle B_1A_1C_1$ লেখা হয়, তবে এটি একটি ভিন্ন বিবৃতি হবে: এখন $\angle A = \angle B_1$, এবং $AB$ এর সদৃশ বাহু হবে $B_1A_1$. «একইভাবে অবস্থিত» বাহুগুলির অনুপাতে লেখা যাবে না — কেবল লেখার অবস্থান অনুসারে। তাই প্রথমে সমান কোণগুলির জোড়া লেখা হয় এবং তারপরে তাদের অধীনে অক্ষরের ক্রম সাজানো হয়।

6 : 4 = 1,5 9 : 6 = 1,5 12 : 8 = 1,5 k = 1,5

△ABC ∼ △A₁B₁C₁: অনুরূপ শীর্ষবিন্দুগুলি একই রঙে চিহ্নিত করা হয়েছে — A এবং A₁, B এবং B₁, C এবং C₁. সদৃশ বাহুগুলির তিনটি অনুপাতই একই সংখ্যা দিয়েছে।

ত্রিভুজের সদৃশতার তিনটি বৈশিষ্ট্য

সংজ্ঞার ছয়টি শর্তই পরীক্ষা করার দরকার নেই: সদৃশতা তিনটি বৈশিষ্ট্যের যেকোনো একটি দ্বারা প্রমাণ করা হয়। প্রতিটি একটি ন্যূনতম ডেটা সেট, যা থেকে স্বয়ংক্রিয়ভাবে সমস্ত কোণের সমতা এবং সমস্ত বাহুর সমানুপাতিকতা অনুসরণ করে।

বৈশিষ্ট্য নির্বাচন করা। দেখুন সমস্যায় কী দেওয়া আছে: যদি কোণ সম্পর্কে হয় — প্রথমটি, যদি দুটি বাহু এবং একটি কোণ সম্পর্কে হয় — দ্বিতীয়টি, যদি তিনটি বাহু সম্পর্কে হয় — তৃতীয়টি।

প্রথম বৈশিষ্ট্য (দুটি কোণ দ্বারা) — স্কুল কোর্সের একটি কার্যকর হাতিয়ার: প্রায় সমস্ত OGE সমস্যা এটি দ্বারা সমাধান করা হয়। তৃতীয় কোণটি পরীক্ষা করার দরকার নেই, এটি স্বয়ংক্রিয়ভাবে সমান: ত্রিভুজের কোণগুলির সমষ্টি সর্বদা $180°$। সমান কোণগুলির তৈরি জোড়া খুঁজুন — দুটি ত্রিভুজের সাধারণ কোণ, উল্লম্ব কোণ, সমান্তরাল রেখার মধ্যে একান্তর কোণ এবং অনুরূপ কোণ, দুটি সমকোণ।
দ্বিতীয় বৈশিষ্ট্য (দুটি বাহু এবং তাদের মধ্যবর্তী কোণ দ্বারা) — কোণটি অবশ্যই এই দুটি বাহুর মধ্যে থাকতে হবে। যদি সমান কোণটি তাদের একটির বিপরীতে থাকে, তবে বৈশিষ্ট্যটি কাজ করে না এবং সদৃশতা প্রমাণিত হয় না।
তৃতীয় বৈশিষ্ট্য (তিনটি বাহু দ্বারা) — যখন শর্তে কোনো কোণ থাকে না, কেবল দৈর্ঘ্য থাকে। প্রতিটি ত্রিভুজের বাহুগুলি ক্রমবর্ধমান ক্রমে লিখুন এবং ক্ষুদ্রতমকে ক্ষুদ্রতম, মধ্যমকে মধ্যম, বৃহত্তমকে বৃহত্তম দিয়ে ভাগ করুন: এইভাবে জোড়াগুলি ভুল হবে না। সদৃশতা তখনই থাকে যদি তিনটি অনুপাতই মিলে যায়।

ত্রিভুজের সদৃশতার বৈশিষ্ট্য এবং ত্রিভুজের সমতার বৈশিষ্ট্যগুলির মধ্যে বিভ্রান্তি এড়াতে, পার্থক্যটি মনে রাখুন: সমতার ক্ষেত্রে বাহুগুলি মিলতে হবে, সদৃশতার ক্ষেত্রে — সমানুপাতিক হতে হবে।

বৈশিষ্ট্য ১ দুটি কোণ দ্বারা ∠A = ∠A₁, ∠B = ∠B₁
→ △ABC ∼ △A₁B₁C₁

বৈশিষ্ট্য ২ দুটি বাহু এবং তাদের মধ্যবর্তী কোণ দ্বারা A₁B₁ : AB = A₁C₁ : AC, ∠A = ∠A₁

বৈশিষ্ট্য ৩ তিনটি বাহু দ্বারা A₁B₁ : AB = B₁C₁ : BC = A₁C₁ : AC

সদৃশ ত্রিভুজের পরিসীমা এবং ক্ষেত্রফলের অনুপাত

সদৃশতার দুটি ফলাফল রয়েছে যা প্রায়শই জিজ্ঞাসা করা হয়, এবং তাদের মধ্যে একটি হলো থিমের প্রধান ফাঁদ।

পরিসীমা $k$ অনুপাতে থাকে। দ্বিতীয় ত্রিভুজের প্রতিটি বাহু প্রথম ত্রিভুজের সদৃশ বাহুর চেয়ে $k$ গুণ বড়, তাই বাহুগুলির সমষ্টিও ঠিক $k$ গুণ বৃদ্ধি পায়:

\[\frac{P_2}{P_1} = k\]

একইভাবে — «$k$ গুণ» — সমস্ত রৈখিক পরিমাপ কাজ করে: উচ্চতা, মধ্যমা, কোণদ্বিখণ্ডক, অন্তর্লিখিত এবং পরিবৃত্তের ব্যাসার্ধ, মধ্যমা রেখা।

ক্ষেত্রফল $k^2$ অনুপাতে থাকে। ক্ষেত্রফল দুটি মাত্রার উপর নির্ভর করে: ভূমি এবং উচ্চতা উভয়ই $k$ গুণ বৃদ্ধি পায়, এবং তাদের গুণফল $k \cdot k$ গুণ বৃদ্ধি পায়:

\[\frac{S_2}{S_1} = k^2\]

ধরা যাক $k = 5$। তাহলে পরিসীমা 5 গুণ বড় হয় (উদাহরণস্বরূপ, 14 সেমি ছিল — 70 সেমি হয়েছে), কিন্তু ক্ষেত্রফল — 25 গুণ (6 সেমি² ছিল — 150 সেমি² হয়েছে)। পার্থক্য বিশাল, এবং $k^2$ এর পরিবর্তে $k$ বসানো পরীক্ষায় সবচেয়ে সাধারণ ভুল।

বিপরীত প্রক্রিয়া। যদি শর্তে ক্ষেত্রফলের অনুপাত দেওয়া থাকে, তবে সদৃশতার অনুপাত বর্গমূল করে বের করা হয়: $k = \sqrt{S_2 : S_1}$। উদাহরণস্বরূপ, ক্ষেত্রফল 16 : 1 অনুপাতে থাকলে, বাহুগুলি 4 : 1 অনুপাতে থাকবে।

মধ্যমা রেখাগুলি ত্রিভুজকে ৪টি সমান অংশে ভাগ করে। বড় ত্রিভুজের বাহু দ্বিগুণ বড়, এবং ক্ষেত্রফল — ৪ গুণ বড়: 2² = 4।

k	পরিসীমা P₂ : P₁	ক্ষেত্রফল S₂ : S₁
2	2 : 1	4 : 1
3	3 : 1	9 : 1
1,5	1,5 : 1	2,25 : 1
যেকোনো	k : 1	k² : 1

সমকোণী ত্রিভুজের সদৃশতা এবং সমকোণী ত্রিভুজের উচ্চতা

সমকোণী ত্রিভুজের জন্য প্রথম বৈশিষ্ট্যটি সহজ করা হয়েছে: তাদের সমকোণগুলি আগে থেকেই সমান, তাই একটি সূক্ষ্ম কোণের সমতা যথেষ্ট, যাতে ত্রিভুজগুলি সদৃশ হয়। এখান থেকেও দুটি বাহু দ্বারা সদৃশতার বৈশিষ্ট্য আসে: যদি একটির বাহুগুলি অন্যটির বাহুগুলির সমানুপাতিক হয়, তবে ত্রিভুজগুলি সদৃশ (এটি দ্বিতীয় বৈশিষ্ট্য, কারণ বাহুগুলির মধ্যবর্তী কোণটি সমকোণ)।

সম্পূর্ণ থিমের সবচেয়ে দরকারী কনফিগারেশন হলো সমকোণী শীর্ষবিন্দু থেকে অঙ্কিত উচ্চতা। এটি ত্রিভুজটিকে দুটি অংশে বিভক্ত করে, এবং ফলস্বরূপ তিনটি ত্রিভুজই একে অপরের সাথে সদৃশ।

কেন এমন হয়: ত্রিভুজ $AHC$ এর $H$ বিন্দুতে একটি সমকোণ এবং বড় ত্রিভুজের সাথে সাধারণ কোণ $A$ রয়েছে, তাই $\triangle AHC \sim \triangle ACB$। ত্রিভুজ $CHB$ এর $H$ বিন্দুতে একটি সমকোণ এবং সাধারণ কোণ $B$ রয়েছে, তাই $\triangle CHB \sim \triangle ACB$। এখান থেকে দুটি ছোট ত্রিভুজও একে অপরের সাথে সদৃশ।

এই সদৃশতা থেকে জ্যামিতিক গড় (এগুলিকে সমকোণী ত্রিভুজে সমানুপাতিক রেখাংশ বলা হয়) সূত্রগুলি পাওয়া যায়:

$CH^2 = AH \cdot HB$ — উচ্চতা হলো সেই রেখাংশগুলির জ্যামিতিক গড় যা এটি অতিভুজের উপর তৈরি করে;
$AC^2 = AH \cdot AB$ এবং $BC^2 = HB \cdot AB$ — লম্ব হলো পুরো অতিভুজ এবং তার উপর তার অভিক্ষেপের জ্যামিতিক গড়।

সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ হলো «নিজের» রেখাংশ কোনটি তা ভুল না করা: লম্ব $AC$ এর অভিক্ষেপ $AH$, লম্ব $BC$ এর অভিক্ষেপ $HB$। অভিক্ষেপ সর্বদা অতিভুজের একই প্রান্তের সাথে সংযুক্ত থাকে যেখান থেকে লম্বটি শুরু হয়।

△AHC ∼ △CHB ∼ △ACB

CH² = AH · HB AC² = AH · AB BC² = HB · AB

সংখ্যাগুলির উপর ভিত্তি করে পরীক্ষা: 12² = 9 · 16, 15² = 9 · 25, 20² = 16 · 25।

সদৃশ ত্রিভুজের OGE সমস্যা: বাহু কিভাবে বের করতে হয়

সদৃশতার প্রায় সমস্ত সমস্যা একটি অ্যালগরিদম দ্বারা সমাধান করা হয়:

সমান কোণের একটি জোড়া খুঁজুন — সাধারণ কোণ, উল্লম্ব কোণ, সমান্তরাল রেখার মধ্যে একান্তর কোণ বা দুটি সমকোণ।
শীর্ষবিন্দুগুলির সঠিক ক্রমে সদৃশতা লিখুন — যাতে সমান কোণগুলি একই অবস্থানে থাকে।
সদৃশ বাহুগুলি থেকে একটি অনুপাত তৈরি করুন (একই অবস্থানে থাকা বাহুগুলি নিন)।
অজানা রাশিটি বের করুন এবং গণনা করুন; শেষে অর্থ অনুসারে উত্তরটি পরীক্ষা করুন — ছোট ত্রিভুজের বাহু অবশ্যই ছোট হতে হবে।

OGE তে সাধারণ কনফিগারেশনগুলি খুব বেশি নয়, এবং সেগুলি প্রথম নজরে চেনা উচিত:

বাহুর সমান্তরাল রেখা। একটি রেখা ত্রিভুজ থেকে একটি ছোট ত্রিভুজ কেটে নেয়, যা মূল ত্রিভুজের সদৃশ। প্রধান সূক্ষ্মতা: অনুপাতে সাধারণ শীর্ষবিন্দু থেকে সম্পূর্ণ বাহুর অনুপাত ($BM : BA$) আসে, রেখাংশের ($BM : MA$) নয়।
«প্রজাপতি»। দুটি রেখাংশ একে অপরকে ছেদ করে, এবং তাদের প্রান্তগুলি সমান্তরাল রেখা দ্বারা সংযুক্ত থাকে — দুটি সদৃশ ত্রিভুজ তৈরি হয়, যা একে অপরের বিপরীতে ঘোরানো থাকে।
সমকোণী শীর্ষবিন্দু থেকে উচ্চতা — পূর্ববর্তী বিভাগের কনফিগারেশন; OGE তে এটি ব্যবহার করে উচ্চতা, লম্ব বা অতিভুজের রেখাংশ বের করা হয়।
বস্তুর ছায়া এবং উচ্চতা। সৌর রশ্মি সমান্তরাল, তাই বস্তুটি তার ছায়া সহ এবং গাছটি তার ছায়া সহ সদৃশ সমকোণী ত্রিভুজ তৈরি করে।
মধ্যমা রেখা — $k = 2$ এর একটি বিশেষ ক্ষেত্র: এটি বাহুর সমান্তরাল এবং তার অর্ধেক দৈর্ঘ্যের।

MN ∥ AC → △BMN ∼ △BAC
কোণ B সাধারণ, M এবং A এর কোণগুলি অনুরূপ

AB ∥ CD → △AOB ∼ △COD
কোণ O তে উল্লম্ব, A এবং C এর কোণগুলি একান্তর

সদৃশ ত্রিভুজের সমস্যা সমাধানের উদাহরণ

উদাহরণ ১. সদৃশতার অনুপাত ব্যবহার করে বাহু বের করা

সমস্যা। $\triangle MNK \sim \triangle PQR$। জানা আছে যে $MN = 7$, $NK = 11$, $MK = 9$ এবং $PQ = 21$। $QR$ এবং $PR$ বের করুন।

ধাপ ১। শীর্ষবিন্দুগুলির ক্রম অনুসারে বিশ্লেষণ করুন: $M \leftrightarrow P$, $N \leftrightarrow Q$, $K \leftrightarrow R$। সুতরাং সদৃশ জোড়াগুলি হলো: $MN$ এবং $PQ$, $NK$ এবং $QR$, $MK$ এবং $PR$।

ধাপ ২। কেবল যে জোড়ার উভয় বাহু জানা আছে তা ব্যবহার করে সদৃশতার অনুপাত গণনা করুন:

\[k = \frac{PQ}{MN} = \frac{21}{7} = 3.\]

ধাপ ৩। দ্বিতীয় ত্রিভুজের বাকি বাহুগুলি সদৃশ বাহুগুলির চেয়ে 3 গুণ বড়:

\[QR = 3 \cdot NK = 3 \cdot 11 = 33, \qquad PR = 3 \cdot MK = 3 \cdot 9 = 27.\]

উত্তর: $QR = 33$, $PR = 27$। পরীক্ষা: $33 : 11 = 27 : 9 = 3$ — সমস্ত অনুপাত মিলে গেছে।

উদাহরণ ২. দ্বিতীয় বৈশিষ্ট্য অনুসারে সদৃশতা প্রমাণ করা

সমস্যা। ত্রিভুজ $ABC$ এবং $DEF$ এ জানা আছে: $AB = 5$, $AC = 9$, $DE = 15$, $DF = 27$, এবং কোণ $A$ এবং $D$ সমান। প্রমাণ করুন যে ত্রিভুজগুলি সদৃশ।

ধাপ ১। দ্বিতীয় বৈশিষ্ট্যের প্রধান শর্তটি পরীক্ষা করুন: কোণ $A$ বাহু $AB$ এবং $AC$ এর মধ্যে অবস্থিত, কোণ $D$ — $DE$ এবং $DF$ এর মধ্যে। প্রদত্ত বাহুগুলির মধ্যে কোণগুলি — বৈশিষ্ট্যটি প্রযোজ্য।

ধাপ ২। সদৃশ বাহুগুলির অনুপাত গণনা করুন:

\[\frac{DE}{AB} = \frac{15}{5} = 3, \qquad \frac{DF}{AC} = \frac{27}{9} = 3.\]

ধাপ ৩। দুটি বাহুর জোড়া একই অনুপাত $k = 3$ সহ সমানুপাতিক, তাদের মধ্যবর্তী কোণগুলি সমান — দ্বিতীয় বৈশিষ্ট্য অনুসারে $\triangle ABC \sim \triangle DEF$।

উত্তর: ত্রিভুজগুলি সদৃশ, $k = 3$। লক্ষ্য করুন: যদি কোণ $B$ এবং $D$ সমান হত, তবে বৈশিষ্ট্যটি প্রযোজ্য হত না — কোণ $B$ $AB$ এবং $AC$ এর মধ্যে অবস্থিত নয়।

উদাহরণ ৩. বাহুর সমান্তরাল রেখা (OGE সমস্যা)

সমস্যা। ত্রিভুজ $ABC$ এ, বিন্দু $M$ বাহু $AB$ এ অবস্থিত, বিন্দু $N$ — বাহু $BC$ এ অবস্থিত, যেখানে $MN \parallel AC$। জানা আছে যে $BM = 4$, $MA = 12$, $MN = 5$। $AC$ বের করুন।

ধাপ ১। যেহেতু $MN \parallel AC$, কোণ $BMN$ এবং $BAC$ অনুরূপ কোণ হিসাবে সমান, এবং কোণ $B$ সাধারণ। প্রথম বৈশিষ্ট্য অনুসারে $\triangle BMN \sim \triangle BAC$ (শীর্ষবিন্দুগুলির ক্রম: $M \leftrightarrow A$, $N \leftrightarrow C$)।

ধাপ ২। সাধারণ শীর্ষবিন্দু থেকে সম্পূর্ণ বাহুটি খুঁজুন: $BA = BM + MA = 4 + 12 = 16$। এটি প্রধান সূক্ষ্মতা — অনুপাতে $BA$ আসবে, $MA$ নয়।

ধাপ ৩। সদৃশ বাহুগুলি থেকে অনুপাত তৈরি করুন:

\[\frac{BM}{BA} = \frac{MN}{AC} \quad \Rightarrow \quad \frac{4}{16} = \frac{5}{AC}.\]

ধাপ ৪। এখান থেকে $AC = 5 \cdot 4 = 20$।

উত্তর: $AC = 20$। এখানে সদৃশতার অনুপাত 4: বড় ত্রিভুজটি কেটে নেওয়া ত্রিভুজের চেয়ে চারগুণ বড়।

উদাহরণ ৪. পরিসীমা এবং ক্ষেত্রফল

সমস্যা। সদৃশ ত্রিভুজগুলির পরিসীমা 18 সেমি এবং 45 সেমি। ক্ষুদ্রতর ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 16 সেমি²। বৃহত্তরটির ক্ষেত্রফল বের করুন।

ধাপ ১। পরিসীমা সদৃশতার অনুপাতের অনুপাতে থাকে:

\[k = \frac{45}{18} = 2{,}5.\]

ধাপ ২। ক্ষেত্রফল সদৃশতার অনুপাতের বর্গের অনুপাতে থাকে: $k^2 = 2{,}5^2 = 6{,}25$।

ধাপ ৩। ক্ষুদ্রতর ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলকে $k^2$ দিয়ে গুণ করুন:

\[S = 16 \cdot 6{,}25 = 100 \text{ সেমি}^2.\]

উত্তর: 100 সেমি²। যদি আমরা $k = 2{,}5$ দিয়ে গুণ করতাম, তবে 40 সেমি² পেতাম — একটি সাধারণ ভুল, যার কারণে পুরো নম্বর হারানো যায়।

উদাহরণ ৫. সমকোণী শীর্ষবিন্দু থেকে উচ্চতা

সমস্যা। সমকোণী ত্রিভুজ $ABC$ এ, যার সমকোণ শীর্ষবিন্দু $C$ এ, অতিভুজের উপর উচ্চতা $CH$ অঙ্কিত হয়েছে। জানা আছে যে $AH = 4$ সেমি, $HB = 9$ সেমি। উচ্চতা $CH$ এবং ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল বের করুন।

ধাপ ১। সমকোণী শীর্ষবিন্দু থেকে উচ্চতা হলো অতিভুজের রেখাংশগুলির জ্যামিতিক গড়, কারণ $\triangle AHC \sim \triangle CHB$:

\[CH^2 = AH \cdot HB = 4 \cdot 9 = 36.\]

ধাপ ২। বর্গমূল বের করুন: $CH = 6$ সেমি।

ধাপ ৩। অতিভুজ $AB = AH + HB = 4 + 9 = 13$ সেমি। ক্ষেত্রফল অতিভুজ এবং তার উপর অঙ্কিত উচ্চতা ব্যবহার করে গণনা করা হয়:

\[S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CH = \frac{1}{2} \cdot 13 \cdot 6 = 39 \text{ সেমি}^2.\]

উত্তর: $CH = 6$ সেমি, $S = 39$ সেমি²।

উদাহরণ ৬. ছায়া দ্বারা গাছের উচ্চতা

সমস্যা। 2 মিটার উচ্চতার একটি উল্লম্ব খুঁটি 1.5 মিটার লম্বা ছায়া ফেলে। একই সময়ে, গাছের ছায়া 9 মিটার। গাছের উচ্চতা কত?

ধাপ ১। সৌর রশ্মি সমান্তরাল, তাই খুঁটি এবং গাছের জন্য রশ্মির পতন কোণ একই। খুঁটি তার ছায়া সহ এবং গাছ তার ছায়া সহ সদৃশ সমকোণী ত্রিভুজ তৈরি করে যার একটি সূক্ষ্ম কোণ সমান — তাই তারা সদৃশ।

ধাপ ২। «উচ্চতা থেকে তার ছায়া» অনুপাত তৈরি করুন:

\[\frac{h}{9} = \frac{2}{1{,}5}.\]

ধাপ ৩। অজানা উচ্চতা বের করুন:

\[h = \frac{2 \cdot 9}{1{,}5} = \frac{18}{1{,}5} = 12 \text{ মি}.\]

উত্তর: 12 মি। অর্থ অনুসারে পরীক্ষা: গাছের ছায়া খুঁটির ছায়ার চেয়ে 6 গুণ লম্বা, তাই গাছও 6 গুণ উঁচু: $2 \cdot 6 = 12$ মি।

সদৃশ ত্রিভুজের সমস্যাগুলিতে সাধারণ ভুল

সদৃশ ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল $k$ অনুপাতে থাকে বলে মনে করা: $k = 3$ হলে ক্ষেত্রফল তিনগুণ বৃদ্ধি পায়।

ক্ষেত্রফল সদৃশতার অনুপাতের বর্গ অনুপাতে থাকে: $k = 3$ হলে ক্ষেত্রফল $3^2 = 9$ গুণ বড় হয়। কেবল রৈখিক পরিমাপ — বাহু, পরিসীমা, উচ্চতা, মধ্যমা — $k$ অনুপাতে থাকে। নিয়ম-সংকেত: ক্ষেত্রফল বর্গ একক এ পরিমাপ করা হয়, তাই অনুপাতও বর্গ আকারে প্রবেশ করে।
শীর্ষবিন্দুগুলির ক্রম উপেক্ষা করা: $\triangle ABC \sim \triangle KLM$ লেখা থেকে $AB : LM$ অনুপাত তৈরি করা।

শীর্ষবিন্দুগুলির সঙ্গতি লেখার অবস্থান দ্বারা নির্ধারিত হয়: $A \leftrightarrow K$, $B \leftrightarrow L$, $C \leftrightarrow M$। $AB$ এর সদৃশ বাহু হবে $KL$, এবং $BC$ এর — $LM$। অনুপাত লেখার আগে, একটি কলামে শীর্ষবিন্দুগুলির জোড়া লিখুন — এটি পাঁচ সেকেন্ড সময় নেয় এবং বেশিরভাগ ভুল দূর করে।
একটি সমান কোণ বা দুটি সমানুপাতিক বাহু (কোণ ছাড়া) দ্বারা সদৃশতা প্রমাণ করা।

একটি সমান কোণ যথেষ্ট নয়: দুটি ত্রিভুজের কোণ সমান হতে পারে কিন্তু আকার সম্পূর্ণ ভিন্ন হতে পারে। একটি সম্পূর্ণ বৈশিষ্ট্য প্রয়োজন — দুটি কোণ, অথবা দুটি বাহু এবং তাদের মধ্যবর্তী কোণ, অথবা তিনটি বাহু।
দ্বিতীয় বৈশিষ্ট্যে এমন কোণ নেওয়া যা প্রদত্ত বাহুগুলির মধ্যে অবস্থিত নয়।

দ্বিতীয় বৈশিষ্ট্যটি কেবল দুটি প্রদত্ত বাহুর মধ্যে অবস্থিত কোণের সাথে কাজ করে। যদি $AB$, $AC$ জানা থাকে এবং কোণ $B$ সমান হয়, তবে বৈশিষ্ট্যটি প্রযোজ্য নয় — অন্য পথ খুঁজুন: সমান কোণের একটি জোড়া বা তৃতীয় বাহু।
অনুপাত উল্টে দেওয়া: $k$ কে «ক্ষুদ্রতর বাহু থেকে বৃহত্তর বাহু» হিসাবে খুঁজে বের করা, এবং তারপরে বৃহত্তর ত্রিভুজের বাহু পেতে এটি দিয়ে গুণ করা।

নিজের জন্য দিক নির্ধারণ করুন: যদি $k$ প্রথম ত্রিভুজের তুলনায় দ্বিতীয় ত্রিভুজের বাহুগুলির অনুপাত হয়, তবে প্রথম ত্রিভুজের বাহুগুলিকে $k$ দিয়ে গুণ করুন, এবং দ্বিতীয় ত্রিভুজের বাহুগুলিকে $k$ দিয়ে ভাগ করুন। অর্থ অনুসারে চূড়ান্ত পরীক্ষা: ছোট ত্রিভুজের বাহু অবশ্যই ছোট হতে হবে।
বাহুর সমান্তরাল রেখার সমস্যায় রেখাংশগুলির অনুপাত তৈরি করা: $BM : MA = MN : AC$।

ত্রিভুজ $BMN$ এবং $BAC$ সদৃশ, এবং তাদের সদৃশ বাহুগুলি হলো $BM$ এবং $BA$ (সাধারণ শীর্ষবিন্দু থেকে সম্পূর্ণ বাহু), $MA$ রেখাংশ নয়। প্রথমে $BA = BM + MA$ খুঁজুন, এবং তারপরে অনুপাত তৈরি করুন।
সদৃশতাকে সমতার সাথে গুলিয়ে ফেলা এবং উত্তরে লেখা যে বাহুগুলি কেবল সমান।

সমতা সদৃশতার একটি বিশেষ ক্ষেত্র যখন $k = 1$। যদি $k \ne 1$ হয়, তবে ত্রিভুজগুলির কেবল কোণগুলি মিলে যায়, এবং বাহুগুলি $k$ গুণ ভিন্ন হয়। বৈশিষ্ট্যগুলিও ভিন্ন: সমতার জন্য এটি SAS, ASA, SSS যেখানে বাহুগুলি মিলে যায়, সদৃশতার জন্য — সমানুপাতিক বাহু।

প্রশ্ন এবং উত্তর

কোন ত্রিভুজগুলিকে সদৃশ বলা হয়?

সদৃশ ত্রিভুজ বলা হয় যেগুলির কোণগুলি যথাক্রমে সমান এবং সদৃশ বাহুগুলি সমানুপাতিক। সহজ কথায়, এগুলি একই আকারের কিন্তু ভিন্ন আকারের ত্রিভুজ। সদৃশতা ∼ চিহ্ন দিয়ে লেখা হয়: △ABC ∼ △A₁B₁C₁।

ত্রিভুজের সদৃশতার অনুপাত কী?

সদৃশতার অনুপাত k হলো সদৃশ ত্রিভুজগুলির সদৃশ বাহুগুলির অনুপাতের সমান একটি সংখ্যা: k = A₁B₁ : AB = B₁C₁ : BC = A₁C₁ : AC। এটি দেখায় যে একটি ত্রিভুজ অন্যটির চেয়ে কত গুণ বড়। k = 1 হলে ত্রিভুজগুলি সমান হয়।

ত্রিভুজের সদৃশতার কয়টি বৈশিষ্ট্য এবং সেগুলি কী কী?

তিনটি বৈশিষ্ট্য রয়েছে। প্রথমটি — দুটি কোণ দ্বারা: একটি ত্রিভুজের দুটি কোণ অন্যটির দুটি কোণের সমান। দ্বিতীয়টি — দুটি বাহু এবং তাদের মধ্যবর্তী কোণ দ্বারা: দুটি বাহু সমানুপাতিক এবং তাদের মধ্যবর্তী কোণগুলি সমান। তৃতীয়টি — তিনটি বাহু দ্বারা: সদৃশ বাহুগুলির তিনটি জোড়া সমানুপাতিক।

সদৃশ ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল কিভাবে সম্পর্কিত?

সদৃশ ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল সদৃশতার অনুপাতের বর্গের অনুপাতে থাকে: S₂ : S₁ = k²। উদাহরণস্বরূপ, k = 4 হলে ক্ষেত্রফল 16 গুণ বড় হয়। বিপরীতভাবে: যদি ক্ষেত্রফল 25 : 1 অনুপাতে থাকে, তবে বাহুগুলি 5 : 1 অনুপাতে থাকে।

সদৃশ ত্রিভুজের পরিসীমা কিভাবে সম্পর্কিত?

পরিসীমা সদৃশতার অনুপাতের অনুপাতে থাকে: P₂ : P₁ = k। একইভাবে সমস্ত রৈখিক উপাদান কাজ করে — উচ্চতা, মধ্যমা, কোণদ্বিখণ্ডক, মধ্যমা রেখা, অন্তর্লিখিত এবং পরিবৃত্তের ব্যাসার্ধ।

সদৃশতা ত্রিভুজের সমতা থেকে কিভাবে ভিন্ন?

সমান ত্রিভুজগুলির কোণ এবং বাহু উভয়ই মিলে যায়, তাই চিত্রগুলি একে অপরের উপর স্থাপন করা যেতে পারে। সদৃশ ত্রিভুজগুলির কেবল কোণগুলি মিলে যায়, এবং বাহুগুলি $k$ অনুপাত সহ সমানুপাতিক। সমতা $k = 1$ হলে সদৃশতার একটি বিশেষ ক্ষেত্র।

সমকোণী ত্রিভুজের সদৃশতা কিভাবে প্রমাণ করা যায়?

একটি সূক্ষ্ম কোণের সমতা যথেষ্ট: তাদের সমকোণগুলি ইতিমধ্যে সমান, তাই প্রথম বৈশিষ্ট্যটি কাজ করে। দ্বিতীয় পদ্ধতি — লম্বগুলির সমানুপাতিকতা: লম্বগুলির মধ্যবর্তী কোণটি সমকোণ, তাই সদৃশতার দ্বিতীয় বৈশিষ্ট্যটি প্রযোজ্য।

সমকোণী শীর্ষবিন্দু থেকে উচ্চতা কেন তিনটি সদৃশ ত্রিভুজ তৈরি করে?

সমকোণী শীর্ষবিন্দু C থেকে উচ্চতা CH ত্রিভুজ ABC কে ত্রিভুজ AHC এবং CHB তে ভাগ করে। AHC এর H বিন্দুতে একটি সমকোণ এবং ABC এর সাথে সাধারণ কোণ A রয়েছে, CHB এর — H বিন্দুতে সমকোণ এবং সাধারণ কোণ B রয়েছে, তাই উভয়ই মূল ত্রিভুজের সদৃশ, এবং তাই একে অপরের সাথেও। এখান থেকে CH² = AH · HB, AC² = AH · AB এবং BC² = HB · AB সূত্রগুলি পাওয়া যায়।

সদৃশ ত্রিভুজ কোন শ্রেণীতে পড়ানো হয়?

৮ম শ্রেণীতে জ্যামিতি ক্লাসে — সমানুপাতিক রেখাংশ থিমের ঠিক পরেই। সেখানে সদৃশতার তিনটি বৈশিষ্ট্য, ক্ষেত্রফলের অনুপাত এবং সমকোণী ত্রিভুজে সদৃশতার প্রয়োগও শেখানো হয়। পরবর্তীতে এই থিমটি ৯ম শ্রেণীতে এবং OGE সমস্যাগুলিতে ব্যবহৃত হয়।

প্রশ্ন আছে? চ্যাটে চালিয়ে যান

আমার সমস্যা সমাধান করুন আমার সমাধান পরীক্ষা করুন সদৃশতা প্রমাণ করুন সদৃশতার অনুপাত খুঁজুন ক্ষেত্রফল বা পরিসীমা? অনুশীলনের জন্য সমস্যা দিন

ব্যবহারকারী #4365351

আমি ফটো-অন-টেক্সট এডিটরটি সত্যিই পছন্দ করেছি — ফলাফলটি একেবারে মাস্টারপিস হয়েছে।

Web · মে 2026

ব্যবহারকারী #4383661

ধন্যবাদ, নিউরাল নেটওয়ার্কের কাজ আমাকে সত্যিই মুগ্ধ করেছে। নিখুঁত!

ব্যবহারকারী #4279467

আমি এটি সত্যিই পছন্দ করি — আরও কয়েকটি ফ্রি ট্রায়াল থাকলে খুব ভালো হতো।

Google Play · মে 2026

ব্যবহারকারী #4160129

সাশ্রয়ী মূল্যের একটি চমৎকার অ্যাপ।