Bài tập về tập hợp số hữu tỉ, vô tỉ và trục số

Bài tập

Bài 2.13.

Cho tập hợp \(A = \{7, 1, -2, (51), 0; 5, 14, \frac{4}{7}, \sqrt{15}; -\sqrt{81}\}\). Bằng cách liệt kê các phần tử, hãy viết tập hợp \(B\) gồm các số hữu tỉ thuộc tập hợp \(A\) và tập hợp \(C\) gồm các số vô tỉ thuộc tập hợp \(A\).

Giải:

• Xác định các phần tử của tập hợp A:
  Tập hợp \(A\) bao gồm các số: \(7, 1, -2, 51, 0, 5, 14, \frac{4}{7}, \sqrt{15}, -\sqrt{81}\).

• Xác định các số hữu tỉ trong tập hợp A:
  Số hữu tỉ là số có thể biểu diễn dưới dạng phân số \(\frac{a}{b}\), trong đó \(a\) và \(b\) là các số nguyên và \(b \neq 0\).
  Các số hữu tỉ trong tập hợp \(A\) là: \(7, 1, -2, 51, 0, 5, 14, \frac{4}{7}, -\sqrt{81}\) (vì \(-\sqrt{81} = -9\), là số nguyên nên cũng là số hữu tỉ).

• Xác định các số vô tỉ trong tập hợp A:
  Số vô tỉ là số không thể biểu diễn dưới dạng phân số \(\frac{a}{b}\).
  Số \(\sqrt{15}\) là số vô tỉ vì 15 không phải là số chính phương.

• Viết tập hợp B và C:
  Tập hợp \(B\) gồm các số hữu tỉ thuộc tập hợp \(A\):
  \(B = \{7, 1, -2, 51, 0, 5, 14, \frac{4}{7}, -9\}\)

  Tập hợp \(C\) gồm các số vô tỉ thuộc tập hợp \(A\):
  \(C = \{\sqrt{15}\}\)

Đáp án:
\(B = \{7, 1, -2, 51, 0, 5, 14, \frac{4}{7}, -9\}\)
\(C = \{\sqrt{15}\}\)

Bài 2.14.

Gọi \(A'\) là tập hợp các số đối của các số thuộc tập hợp \(A\) trong Bài tập 2.13. Liệt kê các phần tử của \(A'\).

Giải:

• Hiểu khái niệm số đối: Số đối của một số \(x\) là số \(-x\).

• Tìm số đối của từng phần tử trong tập hợp A:
  Số đối của \(7\) là \(-7\).
  Số đối của \(1\) là \(-1\).
  Số đối của \(-2\) là \(2\).
  Số đối của \(51\) là \(-51\).
  Số đối của \(0\) là \(0\).
  Số đối của \(5\) là \(-5\).
  Số đối của \(14\) là \(-14\).
  Số đối của \(\frac{4}{7}\) là \(-\frac{4}{7}\).
  Số đối của \(\sqrt{15}\) là \(-\sqrt{15}\).
  Số đối của \(-\sqrt{81}\) (tức là \(-9\)) là \(9\).

• Liệt kê các phần tử của tập hợp A':
  \(A' = \{-7, -1, 2, -51, 0, -5, -14, -\frac{4}{7}, -\sqrt{15}, 9\}\)

Đáp án:
\(A' = \{-7, -1, 2, -51, 0, -5, -14, -\frac{4}{7}, -\sqrt{15}, 9\}\)

Bài 2.15.

Các điểm \(A, B, C, D\) trong hình sau biểu diễn những số thực nào?

(Hình ảnh minh họa trục số với các điểm A, B, C, D)

Giải:

Dựa vào hình ảnh trục số:

• Điểm O: Biểu diễn số \(0\).
• Điểm A: Nằm bên trái điểm \(0\), có vẻ như là \(0\). Tuy nhiên, dựa vào các điểm khác, ta có thể suy luận. Nếu \(B\) biểu diễn số \(1\), thì \(A\) có thể là \(0\).
• Điểm B: Biểu diễn số \(1\).
• Điểm C: Nằm giữa \(1\) và \(4.6\). Dựa vào vị trí, có thể ước lượng. Tuy nhiên, nếu \(4.6\) là một mốc, và \(D\) là \(4.7\), thì \(C\) có thể là một số gần \(4.6\).
• Điểm D: Biểu diễn số \(4.6\).
• Điểm cuối trục: Biểu diễn số \(4.7\).

Phân tích chi tiết hơn dựa trên các mốc đã cho:

• Trục số có mốc \(0\) và \(1\). Khoảng cách từ \(0\) đến \(1\) được chia thành các phần.
• Điểm \(A\) trùng với điểm \(0\).
• Điểm \(B\) trùng với điểm \(1\).
• Có một mốc \(4.6\) và \(4.7\). Khoảng cách giữa \(4.6\) và \(4.7\) là \(0.1\).
• Điểm \(C\) nằm giữa \(1\) và \(4.6\). Dựa vào hình vẽ, điểm \(C\) có vẻ nằm gần \(4.6\). Nếu ta giả định các khoảng cách trên trục số là đều nhau, ta có thể ước lượng. Tuy nhiên, không có đủ thông tin để xác định chính xác vị trí của \(C\) nếu không có thêm mốc.

Giả định dựa trên cách vẽ thông thường:
Nếu các khoảng cách trên trục số được biểu diễn một cách tương đối chính xác, và các mốc \(0, 1, 4.6, 4.7\) là các điểm quan trọng:

• \(A\) biểu diễn số \(0\).
• \(B\) biểu diễn số \(1\).
• \(D\) biểu diễn số \(4.6\).
• Điểm cuối trục biểu diễn số \(4.7\).
• Điểm \(C\) nằm giữa \(1\) và \(4.6\). Dựa vào hình vẽ, \(C\) có vẻ nằm ở khoảng \(4.5\) hoặc \(4.6\). Tuy nhiên, nếu \(D\) là \(4.6\), thì \(C\) phải nhỏ hơn \(4.6\).

Xem xét lại hình ảnh: Có vẻ như điểm \(C\) nằm ngay trước điểm \(D\). Nếu \(D\) là \(4.6\), thì \(C\) có thể là một số nhỏ hơn \(4.6\). Tuy nhiên, không có đủ thông tin để xác định chính xác.

Nếu ta giả định rằng các điểm được đánh dấu là các giá trị chính xác:
* \(A\) biểu diễn số \(0\).
* \(B\) biểu diễn số \(1\).
* \(C\) biểu diễn số \(4.6\).
* \(D\) biểu diễn số \(4.7\).

Tuy nhiên, cách đánh dấu này có vẻ không hợp lý vì \(C\) và \(D\) được đánh dấu gần nhau, và \(B\) cách xa \(C, D\).

Cách hiểu hợp lý nhất dựa trên hình ảnh:
* \(A\) biểu diễn số \(0\).
* \(B\) biểu diễn số \(1\).
* \(C\) biểu diễn số \(4.6\).
* \(D\) biểu diễn số \(4.7\).

Đáp án (dựa trên giả định các mốc được đánh dấu là giá trị của các điểm):
\(A\) biểu diễn số \(0\).
\(B\) biểu diễn số \(1\).
\(C\) biểu diễn số \(4.6\).
\(D\) biểu diễn số \(4.7\).