So sánh phân số với tử số không đổi

Câu hỏi 21/30

Đề bài:

Chọn câu trả lời đúng.
Cho \(k\) là một số nguyên dương. Xét ba số hữu tỉ dương:
\(X = \frac{7}{k}\), \(Y = \frac{7}{k+3}\), \(Z = \frac{7}{k+5}\)
Không biết giá trị chính xác của \(k\), mệnh đề nào sau đây sắp xếp đúng thứ tự từ trái sang phải trên trục số?

Phân tích và giải:

Chúng ta có ba biểu thức cho \(X\), \(Y\), và \(Z\):
* \(X = \frac{7}{k}\)
* \(Y = \frac{7}{k+3}\)
* \(Z = \frac{7}{k+5}\)

Vì \(k\) là một số nguyên dương, nên \(k > 0\).
Ta thấy rằng tử số của cả ba phân số đều là 7. Khi tử số không đổi và dương, phân số sẽ nhỏ hơn nếu mẫu số lớn hơn.

Bây giờ, chúng ta so sánh các mẫu số: \(k\), \(k+3\), và \(k+5\).
Vì \(k > 0\), ta có:
* \(k+3 > k\)
* \(k+5 > k+3 > k\)

Do đó, thứ tự của các mẫu số là: \(k < k+3 < k+5\).

Vì mẫu số càng lớn thì giá trị của phân số càng nhỏ (với tử số dương không đổi), ta có:
* \(\frac{7}{k} > \frac{7}{k+3}\) (vì \(k < k+3\))
* \(\frac{7}{k+3} > \frac{7}{k+5}\) (vì \(k+3 < k+5\))

Kết hợp lại, ta có thứ tự:
\(\frac{7}{k} > \frac{7}{k+3} > \frac{7}{k+5}\)

Hay:
\(X > Y > Z\)

Điều này có nghĩa là trên trục số, Z sẽ nằm bên trái Y, và Y sẽ nằm bên trái X. Thứ tự đúng là \(Z < Y < X\).

Đáp án:

Dựa trên phân tích trên, mệnh đề đúng là \(Z < Y < X\).