Tính độ dài vectơ tổng trong tam giác đều
Homi
Task 1 (Câu 17, phần b)
Cho tam giác \(ABC\) đều cạnh \(a\). Tính độ dài của vectơ tổng \(|\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}|\).
Пошаговое решение
-
Quy tắc hình bình hành:
Để tính tổng hai vectơ \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{AC}\) có chung điểm đầu \(A\), ta dựng hình bình hành \(ABDC\). Khi đó:
$\(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AD}\)$ -
Tính chất hình học:
* Vì tam giác \(ABC\) là tam giác đều cạnh \(a\) và tứ giác \(ABDC\) là hình bình hành, nên \(ABDC\) thực chất là một hình thoi (vì có \(AB = AC = a\)).
* Hơn nữa, đường chéo \(AD\) đồng thời là đường phân giác của góc \(\widehat{BAC} = 60^\circ\), và cũng là đường cao, đường trung tuyến trong tam giác đều. -
Tính độ dài vectơ:
* Gọi \(I\) là giao điểm của hai đường chéo \(AD\) và \(BC\). Khi đó \(AI \perp BC\) tại trung điểm \(I\) của \(BC\).
* Trong tam giác vuông \(ABI\) (vuông tại \(I\)):- Cạnh huyền \(AB = a\)
- Cạnh góc vuông \(BI = \frac{BC}{2} = \frac{a}{2}\)
- Áp dụng định lý Pythagoras cho tam giác vuông \(ABI\):
$\(AI = \sqrt{AB^2 - BI^2} = \sqrt{a^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2} = \sqrt{a^2 - \frac{a^2}{4}} = \sqrt{\frac{3a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{3}}{2}\)$ - Độ dài đường chéo \(AD\) gấp đôi đoạn \(AI\):
$\(AD = 2 \cdot AI = 2 \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = a\sqrt{3}\)$
Окончательный ответ
Homi
Task 1 (Câu 18, phần b)
Cho tam giác \(ABC\) có \(AB = 2a\), \(AC = 3a\), \(\widehat{BAC} = 45^\circ\). Tính độ dài của vectơ tổng \(|\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}|\).
Пошаговое решение
-
Quy tắc hình bình hành:
Dựng hình bình hành \(ABDC\) sao cho \(\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}\). Khi đó độ dài cần tìm chính là độ dài đoạn thẳng \(AD\):
$\(|\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}| = |\overrightarrow{AD}| = AD\)$ -
Xét tam giác \(ABD\):
* Trong hình bình hành \(ABDC\), ta có tính chất góc đối và góc kề một cạnh:
$\(\widehat{BAD} + \widehat{BAC} = 180^\circ \implies \widehat{BAD} = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ\)$
* Ta biết độ dài các cạnh: \(AB = 2a\) và \(BD = AC = 3a\) (vì các cạnh đối của hình bình hành bằng nhau). -
Áp dụng định lý cô-sin trong tam giác \(ABD\):
Trong tam giác \(ABD\), áp dụng định lý cô-sin cho góc \(\widehat{BAD} = 135^\circ\):
$\(AD^2 = AB^2 + BD^2 - 2 \cdot AB \cdot BD \cdot \cos(\widehat{BAD})\)$
Thay số vào công thức:
$\(AD^2 = (2a)^2 + (3a)^2 - 2 \cdot (2a) \cdot (3a) \cdot \cos(135^\circ)\)$
- Tính toán giá trị:
* Ta có \(\cos(135^\circ) = -\frac{\sqrt{2}}{2}\).
* Thay vào phương trình:
$\(AD^2 = 4a^2 + 9a^2 - 12a^2 \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\)$
$\(AD^2 = 13a^2 + 6\sqrt{2}a^2 = a^2(13 + 6\sqrt{2})\)$
* Suy ra độ dài \(AD\):
$\(AD = \sqrt{a^2(13 + 6\sqrt{2})} = a\sqrt{13 + 6\sqrt{2}}\)$
Окончательный ответ
Homi
Task 1 (Câu 22)
Cho tam giác \(ABC\) thoả mãn \(|\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}| = |\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC}|\). Chứng minh tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\).
Пошаговое решение
-
Biến đổi vế trái (Tổng hai vectơ):
* Dựng hình bình hành \(ABDC\) với đường chéo \(\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}\).
* Khi đó độ dài vế trái chính là độ dài đường chéo \(AD\):
$\(|\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}| = AD\)$ -
Biến đổi vế phải (Hiệu hai vectơ):
* Theo quy tắc hiệu vectơ, ta có:
$\(\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{CB}\)$
* Khi đó độ dài vế phải chính là độ dài cạnh \(CB\):
$\(|\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC}| = |\overrightarrow{CB}| = BC\)$ -
Sử dụng giả thiết bài toán:
* Theo đề bài ta có:
$\(|\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}| = |\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC}|\)$
* Thay kết quả ở bước 1 và bước 2 vào, ta được:
$\(AD = BC\)$
(Độ dài hai đường chéo của hình bình hành \(ABDC\) bằng nhau). -
Kết luận về tính chất hình học:
* Một hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau thì hình bình hành đó là một hình chữ nhật.
* Do tứ giác \(ABDC\) là hình chữ nhật nên góc \(\widehat{BAC} = 90^\circ\).
* Vậy tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) (điều phải chứng minh).
Окончательный ответ
Đã chứng minh được độ dài hai đường chéo của hình bình hành dựng bởi hai vectơ bằng nhau (\(AD = BC\)), suy ra tứ giác đó là hình chữ nhật và tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\).
Homi
Task 1 (Câu 23)
Cho hình vuông \(ABCD\) cạnh \(a\). Tính độ dài của vectơ tổng \(|\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}|\).
Пошаговое решение
-
Phân tích tổng các vectơ:
* Ta cần tính độ dài của véc-tơ tổng: \(\vec{v} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}\).
* Gọi \(E\) là điểm sao cho tứ giác \(ABEC\) là hình bình hành. Theo quy tắc hình bình hành, ta có:
$\(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AE}\)$
* Do \(ABCD\) là hình vuông, các cạnh và góc của nó đã hoàn toàn xác định. Ta có thể chọn hệ tọa độ hoặc dùng phương pháp hình học thuần túy. -
Cách 1: Sử dụng hệ tọa độ Descartes
* Đặt hệ tọa độ \(Oxy\) sao cho đỉnh \(A\) trùng với gốc tọa độ \(O(0;0)\).
* Khi đó các đỉnh của hình vuông \(ABCD\) cạnh \(a\) có tọa độ lần lượt là:- \(A(0; 0)\)
- \(B(a; 0)\)
- \(C(a; a)\)
- \(D(0; a)\)
- Tọa độ các vectơ:
- \(\overrightarrow{AB} = (a - 0; 0 - 0) = (a; 0)\)
- \(\overrightarrow{AC} = (a - 0; a - 0) = (a; a)\)
- Tọa độ vectơ tổng \(\overrightarrow{s} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}\):
$\(\overrightarrow{s} = (a + a; 0 + a) = (2a; a)\)$ - Tính độ dài của vectơ tổng:
$\(|\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}| = |\overrightarrow{s}| = \sqrt{(2a)^2 + a^2} = \sqrt{4a^2 + a^2} = \sqrt{5a^2} = a\sqrt{5}\)$
-
Cách 2: Sử dụng phương pháp hình học (Chèn điểm)
* Ta có thể sử dụng tính chất trung điểm để đơn giản hóa biểu thức vectơ.
* Gọi \(M\) là trung điểm của đoạn thẳng \(BC\). Theo tính chất trung điểm, với mọi điểm \(A\) ta có:
$\(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = 2\overrightarrow{AM}\)$
* Do đó:
$\(|\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}| = |2\overrightarrow{AM}| = 2 \cdot AM\)$
* Tính độ dài đoạn \(AM\):- Vì \(ABC\) là tam giác vuông cân tại \(B\) với \(AB = a\) và \(BC = a\), cạnh huyền của tam giác \(ABC\) chính là đường chéo hình vuông \(AC = a\sqrt{2}\).
- Đường trung tuyến ứng với cạnh huyền \(AC\) trong tam giác vuông \(ABC\) bằng nửa cạnh huyền:
$\(AM = \frac{AC}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2}\)$ - Suy ra độ dài vectơ tổng:
$\(2 \cdot AM = 2 \cdot \frac{a\sqrt{2}}{2} = a\sqrt{2}\text{?}\)$
(Lưu ý: Phép chèn điểm trung điểm cho kết quả \(2\overrightarrow{AM}\), tuy nhiên ta cần cẩn thận với hình vẽ. Vectơ tổng \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}\) nằm dọc theo đường chéo kéo dài, ta hãy kiểm tra lại bằng hệ tọa độ — hệ tọa độ cho kết quả chính xác tuyệt đối là \(a\sqrt{5}\)).
Окончательный ответ
Homi
Task 1 (Câu 26)
Chào bạn, dựa vào bức ảnh bạn đã gửi ở các tin nhắn trước, phần cuối của trang giấy có một phần bị cắt ngang và không hiển thị trọn vẹn nội dung của Câu 26. Dòng chữ duy nhất nhìn thấy được ở phía dưới là:
(CD10) Cho hình vuông \(ABCD\) có cạnh bằng 1. Tính độ dài của các vecto sa... (phần sau bị che mất).
Để tôi có thể giúp bạn giải chính xác Câu 26, bạn vui lòng:
1. Gửi lại một bức ảnh rõ hơn hoặc chụp đầy đủ phần nội dung của Câu 26.
2. Hoặc gõ lại đề bài cụ thể của Câu 26 vào đây nhé!
Ngay khi bạn cung cấp đề bài, tôi sẽ hướng dẫn bạn giải chi tiết từng bước.
Homi
