Bài tập về đa thức: cộng, trừ và tính giá trị

Bài 4: Cho hai đa thức

Cho hai đa thức:
\(M = 2,5x^3 - 0,1x^2y + y^3\)
\(N = 4x^2y - 3,5x^3 + 7xy^2 - y^3\)

a) Tìm \(M + N\) và bậc của nó?

Để tìm \(M + N\), ta cộng các hạng tử tương ứng của hai đa thức:
\(M + N = (2,5x^3 - 0,1x^2y + y^3) + (4x^2y - 3,5x^3 + 7xy^2 - y^3)\)

Nhóm các hạng tử đồng dạng:
\(M + N = (2,5x^3 - 3,5x^3) + (-0,1x^2y + 4x^2y) + 7xy^2 + (y^3 - y^3)\)

Thực hiện phép cộng, trừ các hệ số:
\(M + N = -1x^3 + 3,9x^2y + 7xy^2\)

Bậc của đa thức \(M + N\) là bậc của hạng tử có bậc cao nhất. Bậc của các hạng tử là:
* \(-1x^3\): bậc 3
* \(3,9x^2y\): bậc \(2+1=3\)
* \(7xy^2\): bậc \(1+2=3\)

Vậy, bậc của đa thức \(M + N\) là 3.

b) Tìm \(M - N\) và bậc của nó?

Để tìm \(M - N\), ta trừ đa thức \(N\) khỏi đa thức \(M\):
\(M - N = (2,5x^3 - 0,1x^2y + y^3) - (4x^2y - 3,5x^3 + 7xy^2 - y^3)\)

Phân phối dấu trừ vào các hạng tử của đa thức \(N\):
\(M - N = 2,5x^3 - 0,1x^2y + y^3 - 4x^2y + 3,5x^3 - 7xy^2 + y^3\)

Nhóm các hạng tử đồng dạng:
\(M - N = (2,5x^3 + 3,5x^3) + (-0,1x^2y - 4x^2y) + (-7xy^2) + (y^3 + y^3)\)

Thực hiện phép cộng, trừ các hệ số:
\(M - N = 6x^3 - 4,1x^2y - 7xy^2 + 2y^3\)

Bậc của đa thức \(M - N\) là bậc của hạng tử có bậc cao nhất. Bậc của các hạng tử là:
* \(6x^3\): bậc 3
* \(-4,1x^2y\): bậc \(2+1=3\)
* \(-7xy^2\): bậc \(1+2=3\)
* \(2y^3\): bậc 3

Vậy, bậc của đa thức \(M - N\) là 3.

Bài 5: Cho hai đa thức

Cho hai đa thức:
\(M = 2x^2 + 4xy - 4y^2\)
\(N = 3x^2 - 2xy + 2y^2\)

Tính giá trị của đa thức \(M + N\) tại \(x = 1; y = -2\).

Trước hết, ta tìm đa thức \(M + N\):
\(M + N = (2x^2 + 4xy - 4y^2) + (3x^2 - 2xy + 2y^2)\)

Nhóm các hạng tử đồng dạng:
\(M + N = (2x^2 + 3x^2) + (4xy - 2xy) + (-4y^2 + 2y^2)\)

Thực hiện phép cộng, trừ các hệ số:
\(M + N = 5x^2 + 2xy - 2y^2\)

Bây giờ, ta thay \(x = 1\) và \(y = -2\) vào đa thức \(M + N\):
\(M + N = 5(1)^2 + 2(1)(-2) - 2(-2)^2\)
\(M + N = 5(1) + 2(-2) - 2(4)\)
\(M + N = 5 - 4 - 8\)
\(M + N = 1 - 8\)
\(M + N = -7\)

Vậy, giá trị của đa thức \(M + N\) tại \(x = 1; y = -2\) là -7.

Bài 6: Tìm đa thức M biết:

a) \(M + (5x^2 - 2xy) = 6x^2 + 9xy - y^2\)

Để tìm \(M\), ta chuyển đa thức \((5x^2 - 2xy)\) sang vế phải và đổi dấu:
\(M = (6x^2 + 9xy - y^2) - (5x^2 - 2xy)\)

Phân phối dấu trừ vào các hạng tử của đa thức thứ hai:
\(M = 6x^2 + 9xy - y^2 - 5x^2 + 2xy\)

Nhóm các hạng tử đồng dạng:
\(M = (6x^2 - 5x^2) + (9xy + 2xy) - y^2\)

Thực hiện phép cộng, trừ các hệ số:
\(M = x^2 + 11xy - y^2\)

Vậy, đa thức \(M\) là \(x^2 + 11xy - y^2\).

b) \((\frac{1}{2}xy^2 + x^2 - x^2y) - M = -xy^2 + x^2y + 1\)

Để tìm \(M\), ta chuyển \(M\) sang vế phải và chuyển đa thức \(-xy^2 + x^2y + 1\) sang vế trái, đổi dấu:
\(M = (\frac{1}{2}xy^2 + x^2 - x^2y) - (-xy^2 + x^2y + 1)\)

Phân phối dấu trừ vào các hạng tử của đa thức thứ hai:
\(M = \frac{1}{2}xy^2 + x^2 - x^2y + xy^2 - x^2y - 1\)

Nhóm các hạng tử đồng dạng:
\(M = (\frac{1}{2}xy^2 + xy^2) + (-x^2y - x^2y) + x^2 - 1\)

Thực hiện phép cộng, trừ các hệ số:
\(M = (\frac{1}{2} + 1)xy^2 + (-1 - 1)x^2y + x^2 - 1\)
\(M = \frac{3}{2}xy^2 - 2x^2y + x^2 - 1\)

Vậy, đa thức \(M\) là \(\frac{3}{2}xy^2 - 2x^2y + x^2 - 1\).

c) \(M - (x^2y^2 - x^2y + xy) = 2x^3y^2 - \frac{3}{2}\)

Để tìm \(M\), ta chuyển đa thức \((x^2y^2 - x^2y + xy)\) sang vế phải và đổi dấu:
\(M = (2x^3y^2 - \frac{3}{2}) + (x^2y^2 - x^2y + xy)\)

Thực hiện phép cộng các hạng tử:
\(M = 2x^3y^2 + x^2y^2 - x^2y + xy - \frac{3}{2}\)

Vậy, đa thức \(M\) là \(2x^3y^2 + x^2y^2 - x^2y + xy - \frac{3}{2}\).