Giải thích chi tiết các bước rút gọn phân số và quy tắc áp dụng

Bài 1

Để giải bài toán này, chúng ta cần thực hiện phép tính nhân và chia các phân số.

Bước 1: Viết lại biểu thức

Biểu thức đã cho là:
$$ \frac{6 \times 12 \times 17}{17 \times 4 \times 20} $$

Bước 2: Rút gọn các thừa số chung

Chúng ta có thể thấy rằng số 17 xuất hiện ở cả tử số và mẫu số. Do đó, chúng ta có thể rút gọn nó:
$$ \frac{6 \times 12 \times \cancel{17}}{\cancel{17} \times 4 \times 20} = \frac{6 \times 12}{4 \times 20} $$

Tiếp theo, chúng ta có thể rút gọn số 12 ở tử số với số 4 ở mẫu số, vì \(12 = 4 \times 3\):
$$ \frac{6 \times (4 \times 3)}{4 \times 20} = \frac{6 \times 3}{20} $$

Bước 3: Thực hiện phép nhân ở tử số

Bước 4: Rút gọn phân số cuối cùng

Cả tử số và mẫu số đều chia hết cho 2:
$$ \frac{18 \div 2}{20 \div 2} = \frac{9}{10} $$

Đáp án:
Kết quả của phép tính là $ \frac{9}{10} $.

Tuyệt vời! Việc hiểu rõ các bước rút gọn và quy tắc sẽ giúp bạn giải quyết các bài toán phân số dễ dàng hơn.

Giải thích chi tiết các bước rút gọn và quy tắc áp dụng

Trong bài toán trước, chúng ta có biểu thức:
$$ \frac{6 \times 12 \times 17}{17 \times 4 \times 20} $$

Bước 1: Rút gọn thừa số chung ở tử và mẫu

Quy tắc: Khi nhân các phân số hoặc biểu thức có dạng phân số, nếu có một thừa số giống nhau ở cả tử số và mẫu số, ta có thể gạch bỏ (rút gọn) chúng. Việc này tương đương với việc chia cả tử và mẫu cho thừa số đó.

• Áp dụng:
  Trong biểu thức \(\frac{6 \times 12 \times 17}{17 \times 4 \times 20}\), ta thấy số 17 xuất hiện ở cả trên tử (thừa số thứ ba) và dưới mẫu (thừa số thứ nhất).
  $$ \frac{6 \times 12 \times \cancel{17}}{\cancel{17} \times 4 \times 20} $$
  Sau khi rút gọn số 17, biểu thức còn lại là:
  $$ \frac{6 \times 12}{4 \times 20} $$

Bước 2: Tiếp tục rút gọn các thừa số

Quy tắc: Tương tự như bước 1, ta tiếp tục tìm các thừa số chung giữa tử số và mẫu số. Lưu ý rằng ta có thể rút gọn bất kỳ thừa số nào ở tử với bất kỳ thừa số nào ở mẫu, miễn là chúng chia hết cho nhau.

• Áp dụng:
  Ta có biểu thức \(\frac{6 \times 12}{4 \times 20}\).
  Xét thừa số 12 ở tử và 4 ở mẫu. Ta thấy \(12\) chia hết cho \(4\) (\(12 \div 4 = 3\)).
  Ta có thể viết lại \(12\) thành \(4 \times 3\):
  $$ \frac{6 \times (4 \times 3)}{4 \times 20} $$
  Bây giờ, ta có thừa số 4 ở cả tử và mẫu, nên ta rút gọn chúng:
  $$ \frac{6 \times \cancel{4} \times 3}{\cancel{4} \times 20} $$
  Biểu thức còn lại là:
  $$ \frac{6 \times 3}{20} $$

Bước 3: Thực hiện phép nhân ở tử số

Quy tắc: Sau khi đã rút gọn hết các thừa số chung, ta thực hiện phép nhân các thừa số còn lại ở tử số và phép nhân các thừa số còn lại ở mẫu số.

• Áp dụng:
  Ở tử số còn lại \(6 \times 3\). Ta thực hiện phép nhân:
  $ 6 \times 3 = 18 $
  Biểu thức trở thành:
  $$ \frac{18}{20} $$

Bước 4: Rút gọn phân số cuối cùng về dạng tối giản

Quy tắc: Một phân số được gọi là tối giản nếu tử số và mẫu số không còn chia hết cho bất kỳ số nguyên nào khác ngoài 1 và chính nó (hay nói cách khác, ước chung lớn nhất của tử và mẫu là 1). Để rút gọn phân số về dạng tối giản, ta tìm ước chung lớn nhất (ƯCLN) của tử số và mẫu số, sau đó chia cả tử số và mẫu số cho ƯCLN đó.

• Áp dụng:
  Ta có phân số \(\frac{18}{20}\).
  Ta tìm ƯCLN của 18 và 20:
  • Các ước của 18 là: 1, 2, 3, 6, 9, 18.
  • Các ước của 20 là: 1, 2, 4, 5, 10, 20.
    Ước chung lớn nhất của 18 và 20 là 2.
    Bây giờ, ta chia cả tử và mẫu cho 2:
    $$ \frac{18 \div 2}{20 \div 2} = \frac{9}{10} $$
    Phân số \(\frac{9}{10}\) là phân số tối giản vì ƯCLN(9, 10) = 1.

Tóm lại, các quy tắc chính khi rút gọn phân số là:

1. Tìm thừa số chung: Xác định các số hoặc biểu thức giống nhau xuất hiện ở cả tử và mẫu.
2. Gạch bỏ (rút gọn): Loại bỏ các thừa số chung này.
3. Thực hiện phép tính: Nhân các thừa số còn lại ở tử và mẫu.
4. Đưa về tối giản: Chia cả tử và mẫu cho ước chung lớn nhất của chúng để có được phân số tối giản.

Tuyệt vời! Chúng ta sẽ đi sâu vào từng phần bạn yêu cầu.

1. Giải thích chi tiết từng bước rút gọn và các quy tắc áp dụng khi rút gọn phân số.

Mục tiêu của việc rút gọn phân số: Là làm cho phân số trở nên đơn giản hơn bằng cách chia cả tử số và mẫu số cho ước số chung lớn nhất của chúng, hoặc chia nhiều lần cho các ước số chung. Phân số sau khi rút gọn sẽ có giá trị tương đương với phân số ban đầu nhưng dễ dàng xử lý hơn.

Quy tắc áp dụng:
* Tính chất cơ bản của phân số: Nếu ta nhân hoặc chia cả tử số và mẫu số của một phân số với cùng một số khác 0, ta sẽ được một phân số mới bằng phân số ban đầu.
$$ \frac{a}{b} = \frac{a \times k}{b \times k} = \frac{a \div k}{b \div k} \quad (k \neq 0) $$
* Tìm ước số chung: Để rút gọn phân số, chúng ta cần tìm các ước số chung của tử số và mẫu số.
* Rút gọn đến tối giản: Một phân số được coi là tối giản nếu tử số và mẫu số không còn ước số chung nào khác 1.

Áp dụng vào bài toán cụ thể:
$$ \frac{6 \times 12 \times 17}{17 \times 4 \times 20} $$

• Bước 1: Rút gọn số 17

  • Quan sát: Ta thấy số 17 xuất hiện ở cả tử và mẫu.
  • Áp dụng quy tắc: Ta có thể chia cả tử số và mẫu số cho 17.
  • Thao tác: \(17 \div 17 = 1\).
  • Kết quả sau rút gọn:
    $$ \frac{6 \times 12 \times \cancel{17}^1}{\cancel{17}^1 \times 4 \times 20} = \frac{6 \times 12}{4 \times 20} $$

• Bước 2: Rút gọn số 12 và 4

  • Quan sát: Ta thấy 12 ở tử và 4 ở mẫu. Ta biết 12 chia hết cho 4 (\(12 = 4 \times 3\)).
  • Áp dụng quy tắc: Ta chia cả tử số (là 12) và mẫu số (là 4) cho ước chung của chúng là 4.
  • Thao tác: \(12 \div 4 = 3\) và \(4 \div 4 = 1\).
  • Kết quả sau rút gọn:
    $$ \frac{6 \times \cancel{12}^3}{\cancel{4}^1 \times 20} = \frac{6 \times 3}{1 \times 20} = \frac{6 \times 3}{20} $$

• Bước 3: Rút gọn số 6 và 20

  • Quan sát: Ta có \(6 \times 3 = 18\) ở tử số và 20 ở mẫu số. Phân số lúc này là \(\frac{18}{20}\).
  • Tìm ước chung: Ước chung lớn nhất của 18 và 20 là 2.
  • Áp dụng quy tắc: Chia cả tử số (18) và mẫu số (20) cho 2.
  • Thao tác: \(18 \div 2 = 9\) và \(20 \div 2 = 10\).
  • Kết quả sau rút gọn:
    $$ \frac{18}{20} = \frac{9}{10} $$

Phân số \(\frac{9}{10}\) là phân số tối giản vì 9 và 10 không còn ước số chung nào khác 1.

2. Giải thích định nghĩa phân số, cách nhân, chia và rút gọn phân số.

Định nghĩa phân số

• Khái niệm: Phân số là một số được biểu diễn dưới dạng \(\frac{a}{b}\), trong đó:
  • \(a\) là tử số (chỉ số phần được lấy).
  • \(b\) là mẫu số (chỉ tổng số phần bằng nhau được chia ra).
  • Mẫu số \(b\) phải khác 0.
• Ý nghĩa: Phân số biểu thị một phần của một đơn vị, hoặc một thương số giữa hai số.
  • Ví dụ: \(\frac{1}{2}\) nghĩa là lấy 1 phần trong 2 phần bằng nhau. \(\frac{3}{4}\) nghĩa là lấy 3 phần trong 4 phần bằng nhau.
  • Phân số \(\frac{a}{b}\) cũng tương đương với phép chia \(a \div b\).

Cách nhân phân số

Để nhân hai phân số, ta nhân các tử số với nhau và nhân các mẫu số với nhau.
$$ \frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a \times c}{b \times d} $$

• Ví dụ:
  $$ \frac{2}{3} \times \frac{4}{5} = \frac{2 \times 4}{3 \times 5} = \frac{8}{15} $$
• Nhân phân số với số nguyên: Coi số nguyên là một phân số có mẫu số là 1.
  $$ a \times \frac{c}{d} = \frac{a}{1} \times \frac{c}{d} = \frac{a \times c}{d} $$
  • Ví dụ: \(5 \times \frac{2}{3} = \frac{5}{1} \times \frac{2}{3} = \frac{5 \times 2}{3} = \frac{10}{3}\)

Cách chia phân số

Để chia hai phân số, ta nhân phân số thứ nhất với phân số nghịch đảo của phân số thứ hai.
Phân số nghịch đảo của \(\frac{c}{d}\) là \(\frac{d}{c}\) (với \(c \neq 0\)).
$$ \frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c} = \frac{a \times d}{b \times c} $$

• Ví dụ:
  $$ \frac{2}{3} \div \frac{4}{5} = \frac{2}{3} \times \frac{5}{4} = \frac{2 \times 5}{3 \times 4} = \frac{10}{12} $$
  Sau đó, ta rút gọn phân số \(\frac{10}{12}\) thành \(\frac{5}{6}\).
• Chia số nguyên cho phân số:
  $$ a \div \frac{c}{d} = \frac{a}{1} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{1} \times \frac{d}{c} = \frac{a \times d}{c} $$
  • Ví dụ: \(5 \div \frac{2}{3} = \frac{5}{1} \times \frac{3}{2} = \frac{15}{2}\)
• Chia phân số cho số nguyên:
  $$ \frac{a}{b} \div c = \frac{a}{b} \div \frac{c}{1} = \frac{a}{b} \times \frac{1}{c} = \frac{a}{b \times c} $$
  • Ví dụ: \(\frac{2}{3} \div 5 = \frac{2}{3} \times \frac{1}{5} = \frac{2}{15}\)

Hy vọng những giải thích này giúp bạn hiểu rõ hơn về các quy tắc và định nghĩa liên quan đến phân số!