Bài tập Đại số: Nhân và Rút gọn biểu thức đa thức

Bài 1: Làm tính nhân

a) \((2x^2 - 3x - 1)(5x + 2)\)

Để nhân hai đa thức này, ta nhân từng hạng tử của đa thức thứ nhất với từng hạng tử của đa thức thứ hai:
\((2x^2 - 3x - 1)(5x + 2) = 2x^2(5x + 2) - 3x(5x + 2) - 1(5x + 2)\)
\(= (10x^3 + 4x^2) - (15x^2 + 6x) - (5x + 2)\)
\(= 10x^3 + 4x^2 - 15x^2 - 6x - 5x - 2\)
Nhóm các hạng tử đồng dạng lại với nhau:
\(= 10x^3 + (4x^2 - 15x^2) + (-6x - 5x) - 2\)
\(= 10x^3 - 11x^2 - 11x - 2\)

Đáp án: \(10x^3 - 11x^2 - 11x - 2\)

b) \((25x^2 + 10xy + 4y^2)(5x - 2y)\)

Tương tự, ta nhân từng hạng tử:
\((25x^2 + 10xy + 4y^2)(5x - 2y) = 25x^2(5x - 2y) + 10xy(5x - 2y) + 4y^2(5x - 2y)\)
\(= (125x^3 - 50x^2y) + (50x^2y - 20xy^2) + (20xy^2 - 8y^3)\)
\(= 125x^3 - 50x^2y + 50x^2y - 20xy^2 + 20xy^2 - 8y^3\)
Nhóm các hạng tử đồng dạng:
\(= 125x^3 + (-50x^2y + 50x^2y) + (-20xy^2 + 20xy^2) - 8y^3\)
\(= 125x^3 + 0 + 0 - 8y^3\)
\(= 125x^3 - 8y^3\)

Đáp án: \(125x^3 - 8y^3\)

Bài 2: Rút gọn biểu thức

a) \(-5x(x - 5) + (x - 3)(x^2 - 7)\)

Trước hết, ta thực hiện phép nhân:
\(-5x(x - 5) = -5x^2 + 25x\)

Tiếp theo, ta nhân \((x - 3)\) với \((x^2 - 7)\):
\((x - 3)(x^2 - 7) = x(x^2 - 7) - 3(x^2 - 7)\)
\(= (x^3 - 7x) - (3x^2 - 21)\)
\(= x^3 - 7x - 3x^2 + 21\)
\(= x^3 - 3x^2 - 7x + 21\)

Bây giờ, ta cộng hai kết quả lại:
\((-5x^2 + 25x) + (x^3 - 3x^2 - 7x + 21)\)
\(= x^3 + (-5x^2 - 3x^2) + (25x - 7x) + 21\)
\(= x^3 - 8x^2 + 18x + 21\)

Đáp án: \(x^3 - 8x^2 + 18x + 21\)

b) \(4x(x^2 - x + 1) + (x^2 - 2)(-x + 3)\)

Thực hiện phép nhân thứ nhất:
\(4x(x^2 - x + 1) = 4x^3 - 4x^2 + 4x\)

Thực hiện phép nhân thứ hai:
\((x^2 - 2)(-x + 3) = x^2(-x + 3) - 2(-x + 3)\)
\(= (-x^3 + 3x^2) - (-2x + 6)\)
\(= -x^3 + 3x^2 + 2x - 6\)

Cộng hai kết quả:
\((4x^3 - 4x^2 + 4x) + (-x^3 + 3x^2 + 2x - 6)\)
\(= (4x^3 - x^3) + (-4x^2 + 3x^2) + (4x + 2x) - 6\)
\(= 3x^3 - x^2 + 6x - 6\)

Đáp án: \(3x^3 - x^2 + 6x - 6\)