Giải bài tập đại số: Phép toán với đa thức và lập biểu thức

Задание 10

Цель: Выполнить операции сложения и вычитания многочленов.

Решение:

• a) Сложение многочленов:
  $\((x^2 + 2x) + (x^2 - 3x + 1)\)$
  Раскроем скобки и приведем подобные члены:
  $\(x^2 + 2x + x^2 - 3x + 1 = (x^2 + x^2) + (2x - 3x) + 1 = 2x^2 - x + 1\)$
  Ответ: \(2x^2 - x + 1\)

• b) Вычитание многочленов:
  $\((2x^2 + x + 2) - (x^2 + 5x - 3)\)$
  Раскроем скобки, учитывая знак минус перед второй скобкой (меняем знаки всех членов во второй скобке):
  $\(2x^2 + x + 2 - x^2 - 5x + 3 = (2x^2 - x^2) + (x - 5x) + (2 + 3) = x^2 - 4x + 5\)$
  Ответ: \(x^2 - 4x + 5\)

Задание 11

Цель: Упростить многочлены, выполнить операции с многочленами и определить их характеристики.

Дано:
* \(A(x) = x^2 - 2x + 4x - x^2 - 2x^2 + 2x - 5\)
* \(B(x) = x + 3x^2 - 2x - 5x + x + 3\)

Решение:

• a) Приведение подобных членов и упорядочивание:

  • Для \(A(x)\):
    $\(A(x) = (x^2 - x^2 - 2x^2) + (-2x + 4x + 2x) - 5\)$
    $\(A(x) = -2x^2 + 4x - 5\)$
    Собранный и упорядоченный многочлен \(A(x)\) по убыванию степеней переменной: \(-2x^2 + 4x - 5\).

  • Для \(B(x)\):
    $\(B(x) = 3x^2 + (x - 2x - 5x + x) + 3\)$
    $\(B(x) = 3x^2 - 5x + 3\)$
    Собранный и упорядоченный многочлен \(B(x)\) по убыванию степеней переменной: \(3x^2 - 5x + 3\).

• b) Нахождение многочленов C(x) и D(x):

  • \(C(x) = A(x) + B(x)\):
    $\(C(x) = (-2x^2 + 4x - 5) + (3x^2 - 5x + 3)\)$
    $\(C(x) = (-2x^2 + 3x^2) + (4x - 5x) + (-5 + 3)\)$
    $\(C(x) = x^2 - x - 2\)$
    Ответ: \(C(x) = x^2 - x - 2\).

  • \(D(x) = A(x) - B(x)\):
    $\(D(x) = (-2x^2 + 4x - 5) - (3x^2 - 5x + 3)\)$
    $\(D(x) = -2x^2 + 4x - 5 - 3x^2 + 5x - 3\)$
    $\(D(x) = (-2x^2 - 3x^2) + (4x + 5x) + (-5 - 3)\)$
    $\(D(x) = -5x^2 + 9x - 8\)$
    Ответ: \(D(x) = -5x^2 + 9x - 8\).

• c) Определение характеристик многочленов C(x) и D(x):

  • Для \(C(x) = x^2 - x - 2\):

    • Коэффициент при старшем члене (старший коэффициент): 1
    • Степень многочлена: 2 (так как наивысшая степень переменной \(x\) равна 2)
    • Свободный член (свободный член): -2

  • Для \(D(x) = -5x^2 + 9x - 8\):

    • Коэффициент при старшем члене (старший коэффициент): -5
    • Степень многочлена: 2 (так как наивысшая степень переменной \(x\) равна 2)
    • Свободный член (свободный член): -8

Задание 12

Цель: Составить выражение для расчета сдачи и решить уравнение для нахождения неизвестной стоимости.

Дано:
* Начальная сумма: 100 тысяч đồng
* Стоимость учебника: 30 тысяч đồng
* Стоимость набора линейок: 10 тысяч đồng
* Стоимость 5 ручек: \(x\) тысяч đồng за ручку

Решение:

• a) Составление выражения для оставшейся суммы:

  Общая стоимость покупок: $\(30 \text{ (учебник)} + 10 \text{ (линейки)} + 5 \times x \text{ (ручки)}\)$
  $\(40 + 5x\)$
  Оставшаяся сумма = Начальная сумма - Общая стоимость покупок
  Оставшаяся сумма = $\(100 - (40 + 5x)\)$
  Оставшаяся сумма = $\(100 - 40 - 5x\)$
  Оставшаяся сумма = $\(60 - 5x\)$
  Ответ: Многочлен, выражающий оставшуюся сумму (в тысячах đồng), равен \(60 - 5x\).

• b) Нахождение стоимости одной ручки:

  Известно, что оставшаяся сумма равна 25 тысячам đồng. Составим уравнение:
  $\(60 - 5x = 25\)$
  Теперь решим это уравнение относительно \(x\):
  1. Перенесем \(60\) в правую часть:
  $\(-5x = 25 - 60\)$
  $\(-5x = -35\)$
  2. Разделим обе части на \(-5\):
  $\(x = \frac{-35}{-5}\)$
  $\(x = 7\)$
  Ответ: Стоимость каждой ручки составляет 7 тысяч đồng.