Решение задач по математике: алгебра и геометрия
Chào bạn, tôi sẽ giúp bạn giải các bài tập toán. Dựa trên hình ảnh bạn cung cấp, tôi sẽ giải các câu hỏi theo thứ tự.
Задание 2 (1,0 điểm)
Cho hai đa thức \(A(x) = x^2 - 2x - 4\) và \(B(x) = x^2 - 5x + 6\).
a) Tính \(A(x) + B(x)\)
Để tính tổng hai đa thức \(A(x)\) và \(B(x)\), ta cộng các hạng tử tương ứng của chúng.
\(A(x) + B(x) = (x^2 - 2x - 4) + (x^2 - 5x + 6)\)
\(A(x) + B(x) = x^2 + x^2 - 2x - 5x - 4 + 6\)
\(A(x) + B(x) = 2x^2 - 7x + 2\)
Vậy, \(A(x) + B(x) = 2x^2 - 7x + 2\).
b) Tính \(B(x) - A(x)\)
Để tính hiệu hai đa thức \(B(x)\) và \(A(x)\), ta trừ đa thức \(A(x)\) khỏi đa thức \(B(x)\).
\(B(x) - A(x) = (x^2 - 5x + 6) - (x^2 - 2x - 4)\)
Khi trừ đa thức, ta đổi dấu tất cả các hạng tử của đa thức bị trừ.
\(B(x) - A(x) = x^2 - 5x + 6 - x^2 + 2x + 4\)
\(B(x) - A(x) = (x^2 - x^2) + (-5x + 2x) + (6 + 4)\)
\(B(x) - A(x) = 0x^2 - 3x + 10\)
\(B(x) - A(x) = -3x + 10\)
Vậy, \(B(x) - A(x) = -3x + 10\).
Задание 3 (1 điểm)
Cho tam giác \(ABC\), hai đường cao \(BD\) và \(CE\) cắt nhau tại \(H\). Biết \(AE = AD\), chứng minh rằng \(AH\) là tia phân giác của góc \(BAC\).
Chứng minh:
Xét hai tam giác vuông \(ABD\) và \(ACE\):
1. Góc \(A\) chung.
2. \(AE = AD\) (giả thiết).
3. \(\angle ADB = \angle AEC = 90^\circ\) (do \(BD\) và \(CE\) là đường cao).
Theo trường hợp bằng nhau cạnh góc vuông - góc nhọn, ta có \(\triangle ABD = \triangle ACE\).
Suy ra \(AB = AC\).
Xét hai tam giác vuông \(ABH\) và \(ACH\):
1. \(AB = AC\) (chứng minh trên).
2. \(AH\) là cạnh chung.
3. \(\angle AHB = \angle AHC\) (hai góc kề bù).
Tuy nhiên, cách này chưa đúng vì \(\angle AHB\) và \(\angle AHC\) không nhất thiết bằng nhau. Ta cần sử dụng cách khác.
Xét hai tam giác vuông \(AEH\) và \(ADH\):
1. Góc \(A\) chung.
2. \(AE = AD\) (giả thiết).
3. \(\angle AEH = \angle ADH = 90^\circ\) (do \(CE\) và \(BD\) là đường cao).
Theo trường hợp bằng nhau cạnh góc vuông - góc nhọn, ta có \(\triangle AEH = \triangle ADH\).
Suy ra \(AH\) là tia chung và \(\angle EAH = \angle DAH\).
Do \(\angle EAH = \angle DAH\), nên \(AH\) là tia phân giác của góc \(BAC\).
Vậy, \(AH\) là tia phân giác của góc \(BAC\).
Задание 4 (0,5 điểm)
Gia đình bác An đang có kế hoạch mua một căn nhà tại khu đô thị mới. Bác An mong muốn vị trí căn nhà phải đáp ứng tiêu chí: khoảng cách từ nhà đến ba địa điểm quan trọng là Siêu thị (A), Trường học (B) và Bệnh viện (C) phải bằng nhau để thuận tiện cho việc sinh hoạt, học tập và chăm sóc sức khỏe. Biết rằng ba địa điểm \(A, B, C\) không nằm trên cùng một đường thẳng. Em hãy giúp bác An xác định vị trí của căn nhà?
Phân tích:
Theo đề bài, vị trí căn nhà phải cách đều ba điểm \(A, B, C\). Tập hợp các điểm cách đều hai điểm \(A\) và \(B\) là đường trung trực của đoạn thẳng \(AB\). Tương tự, tập hợp các điểm cách đều hai điểm \(B\) và \(C\) là đường trung trực của đoạn thẳng \(BC\).
Vì căn nhà phải cách đều cả ba điểm \(A, B, C\), nên vị trí căn nhà là điểm chung của các đường trung trực này. Giao điểm của hai đường trung trực của hai cạnh bất kỳ của tam giác sẽ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đó.
Xác định vị trí:
- Vẽ đường trung trực của đoạn thẳng \(AB\): Lấy trung điểm của \(AB\), kẻ đường thẳng vuông góc với \(AB\) tại trung điểm đó.
- Vẽ đường trung trực của đoạn thẳng \(BC\): Lấy trung điểm của \(BC\), kẻ đường thẳng vuông góc với \(BC\) tại trung điểm đó.
- Giao điểm: Giao điểm của hai đường trung trực trên chính là vị trí căn nhà mà gia đình bác An cần tìm. Điểm này gọi là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\).
Kết luận: Vị trí căn nhà là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\).
