Производная функции

Определение и геометрический смысл

Производная функции $f(x)$ в точке $x_0$ — это скорость изменения функции в этой точке. Обозначается $f'(x_0)$ или $\frac{df}{dx}|_{x=x_0}$.

Геометрически производная представляет собой угловой коэффициент касательной к графику функции в точке $(x_0, f(x_0))$. Математически это выражается формулой:

$$f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$$

Основные правила дифференцирования

Производная константы: $(C)' = 0$
Производная степенной функции: $(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$
Линейность производной:
- $(f(x) + g(x))' = f'(x) + g'(x)$
- $(C \cdot f(x))' = C \cdot f'(x)$
Правило произведения (Лейбница): $(f(x) \cdot g(x))' = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)$
Правило частного: $\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)' = \frac{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x)}{[g(x)]^2}$
Правило цепи (сложной функции): $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$

Таблица производных элементарных функций

Функция $f(x)$	Производная $f'(x)$
$x^n$	$n \cdot x^{n-1}$
$e^x$	$e^x$
$a^x$	$a^x \ln a$
$\ln x$	$\frac{1}{x}$
$\log_a x$	$\frac{1}{x \ln a}$
$\sin x$	$\cos x$
$\cos x$	$-\sin x$
$\tan x$	$\frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x$
$\cot x$	$-\frac{1}{\sin^2 x} = -\csc^2 x$
$\arcsin x$	$\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
$\arccos x$	$-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
$\arctan x$	$\frac{1}{1+x^2}$
$\text{arccot}\,x$	$-\frac{1}{1+x^2}$

Примеры нахождения производных

Пример 1: Производная многочлена

Найдем производную функции $f(x) = 3x^4 - 2x^2 + 5x - 7$

Решение:
$f'(x) = (3x^4)' - (2x^2)' + (5x)' - (7)'$
$f'(x) = 3 \cdot (x^4)' - 2 \cdot (x^2)' + 5 \cdot (x)' - 0$
$f'(x) = 3 \cdot 4x^3 - 2 \cdot 2x^1 + 5 \cdot 1 - 0$
$f'(x) = 12x^3 - 4x + 5$

Пример 2: Производная произведения

Найдем производную функции $f(x) = x^2 \sin x$

Решение:
Используем правило произведения: $(u \cdot v)' = u' \cdot v + u \cdot v'$
Где $u(x) = x^2$ и $v(x) = \sin x$

$f'(x) = (x^2)' \cdot \sin x + x^2 \cdot (\sin x)'$
$f'(x) = 2x \cdot \sin x + x^2 \cdot \cos x$

Пример 3: Производная сложной функции

Найдем производную функции $f(x) = \sin(x^2)$

Решение:
Используем правило цепи: $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$
Где $f(u) = \sin u$ и $g(x) = x^2$

$f'(x) = \cos(x^2) \cdot (x^2)'$
$f'(x) = \cos(x^2) \cdot 2x$
$f'(x) = 2x \cos(x^2)$

Типичные ошибки при нахождении производных

Забывание правила произведения: Неверно считать, что $(f \cdot g)' = f' \cdot g'$. Правильно: $(f \cdot g)' = f' \cdot g + f \cdot g'$.
Неправильное применение правила цепи: При дифференцировании сложной функции важно учитывать производную внутренней функции.
Ошибки в производных тригонометрических функций: Помните, что $(\sin x)' = \cos x$, а $(\cos x)' = -\sin x$.
Неверное дифференцирование дроби: Используйте правило частного, не забывая о знаменателе в квадрате.

Методические рекомендации

Разбивайте сложные функции на более простые части и применяйте соответствующие правила.
Проверяйте результат на простых значениях аргумента, если это возможно.
Используйте таблицу производных для стандартных функций.
Практикуйтесь регулярно, решая разнообразные задачи на дифференцирование.